二面角——1定義法
二面角二面角大小的求法中知識的綜合性較強，方法的靈活性較大，一般而言，二面角的大小往往轉化為其平面角的大小，從而又化歸為三角形的內角大小，在其求解過程中，主要是利用平面幾何、立體幾何、三角函式等重要知識。求二面角大小的關鍵是，根據不同問題給出的幾何背景，恰在此時當選擇方法，作出二面角的平面角，有時亦可直接運用射影面積公式（設二面角的度數為，則，多用於求無稜二面角）求出二面角的大小。求二面角的大小的基本方法為先證後算,即先由有關立幾結論找出二面角的平面角(大多數題是用三垂線法去找),然後借助於解三角形求出平面角.
現將二面角大小的求法歸類分析如下：
定義法：
利用二面角的平面角定義，在二面角稜上取一點（特殊點），過該點在兩個半平面內作垂直於稜的射線、兩射線所成角就是二面角的平面角.用定義法時，要認真觀察圖形的特性
1.如圖，四面體abcd的稜bd長為2，其餘各稜的長均是，求：二面角a－bd－c、b－ac－d的大小
解析：(1)取bd的中點o，連ao、oc
在δabd中，∵ab＝ad＝，bd＝2，
∴δabd是等腰直角三角形，ao⊥bd，
同理oc⊥bd
∴∠aoc是二面角a－bd－c的平面角。
又ao＝oc＝1，ac＝，
∴∠aoc＝90°
即二面角a－bd－c為直二面角。
(2)取ac的中點e，連be、de
∵ab＝bc，ad＝dc，∴bd⊥ac，de⊥ac，
∴∠bed就是二面角的平面角
在δbde中，be＝de＝，
由餘弦定理，得
2.在四稜錐p－abcd中，abcd是正方形，pa⊥平面abcd，pa＝ab＝，求二面角b－pc－d的大小。解：，
過b作bh⊥pc於h，鏈結dh使dh⊥pc，
故∠bhd為二面角b－pc－d的平面角。
因pb＝,bc＝,pc＝,
pb·bc＝＝pc·bh，則bh＝＝dh
又bd＝，在△bhd中由餘弦定理，得：
cos∠bhd＝
又0＜∠bhd＜π，則∠bhd＝，二面角b－pc－d的大小是。
3.三稜錐a－bcd中，∠bac＝∠bcd＝90°，∠dbc＝30°，ab＝ac＝，ad＝4，求二面角a－bc－d的度數。
解：由已知條件∠bac＝90°，ab＝ac，
設bc的中點設為o，則oa＝oc＝
bc＝∴
解之得：
∴4.如圖ac⊥面bcd，bd⊥面acd，若ac＝cd＝1，∠abc＝30°，求二面角的大小。
解： 即所求角的大小為。
（此題也可用垂線法）
練習：1.已知四稜錐p-abcd的底面為直角梯形，ab∥dc，底面abcd，且pa=ad=dc=ab=1，m是pb的中點。
（ⅰ）證明：面pad⊥面pcd；
（ⅱ）求ac與pb所成的角；
（ⅲ）求面amc與面bmc所成二面角的大小。
方案一：
（ⅰ）證明：∵pa⊥面abcd，cd⊥ad，
∴由三垂線定理得：cd⊥pd.
因而，cd與面pad內兩條相交直線ad，pd都垂直，
∴cd⊥面pad.
又cd面pcd，∴面pad⊥面pcd.
（ⅱ）解：過點b作be//ca，且be=ca，
則∠pbe是ac與pb所成的角.
鏈結ae，可知ac=cb=be=ae=，又ab=2，
所以四邊形acbe為正方形. 由pa⊥面abcd得∠peb=90°
在rt△peb中be=，pb=，
（ⅲ）解：作an⊥cm，垂足為n，鏈結bn.
在rt△pab中，am=mb，又ac=cb，
∴△amc≌△bmc,
∴bn⊥cm，故∠anb為所求二面角的平面角.
∵cb⊥ac，由三垂線定理，得cb⊥pc，
在rt△pcb中，cm=mb，所以cm=am.
在等腰三角形amc中，an·mc=，
. ∴ab=2，
故所求的二面角為
方法二：因為pa⊥pd，pa⊥ab，ad⊥ab，以a為座標原點ad長為單位長度，如圖建立空間直角座標系，則各點座標為
a（0，0，0）b（0，2，0），c（1，1，0），d（1，0，0），p（0，0，1），m（0，1，.
（ⅰ）證明：因
由題設知ad⊥dc，且ap與ad是平面pad內的兩條相交直線，由此得dc⊥面pad.
又dc在面pcd上，故面pad⊥面pcd.
（ⅱ）解：因
（ⅲ）解：在mc上取一點n（x，y，z），則存在使
要使為所求二面角的平面角.
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