知識點利用法向量求二面角
利用二面角的法向量求二面角時，需要直觀估計二面角是銳角還是鈍角．設、分別是二面角的面、的法向量，二面角大小為，則
（1）當所求二面角明顯為銳角或鈍角時，直接由法向量夾角余弦求出相應結果即可．
（2）當所求二面角比較接近或者圖形放的位置不適宜時，很容易估錯所求二面角究竟是銳角還是鈍角，這時要結合兩個法向量的方向關係來確定二面角的大小，具體如下：
（ⅰ）當、均指向二面角內部或外部時， ， ．
（ⅱ）當、乙個指向二面角內部，另乙個指向二面角外部時， ， ．
口訣： 「碰頭」「碰尾」互補 ， 「一顛一倒」相等 ．
例1 （2014浙江）如圖，在四稜錐中，平面平面，
，，，．
（1）證明：平面；
（2）求二面角的大小．
解：（1）在直角梯形中，由，，得，
由，，得，即．又平面平面，
平面平面，從而平面．
因為平面，所以．又，，從而平面．
（2）以為原點，分別以射線，為，軸的正半軸，建立空間直角座標系，如圖所示．
由題意知各點座標如下：，，，，．
設平面的法向量為，平面的法向量為，可算得，，，
由即可取．由即可取．
於是．由題意可知，所求二面角是銳角，故二面角的大小為．
自主體驗 （2013新課標全國卷ⅱ理，18）如圖，直三稜柱中，，
分別是，的中點，．
（1）證明：∥平面；
（2）求二面角的正弦值．
解：（1）連線交於點，則為中點．又是中點，連線，則∥．
因為平面，平面，所以∥平面．
（2）由得，．以為座標原點，的方向為軸正方向，建
立如圖所示的空間直角座標系．設，則，，，，
，．設是平面的法向量，則即可取．
同理，設是平面的法向量，則可取．從而
，故．即二面角的正弦值為．
例2 （2015浙江）如圖，在三稜柱中，，
，，在底面的射影為的中點，
是的中點．
（1）證明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
解：（1）設為的中點，鏈結，，，依題意
得平面，所以．
因為，所以．故平面．
由，分別為，的中點，得∥且，
從而∥且，所以為平行四邊形．
故∥．又因為平面，所以平面．
（2）解法一（座標法）：以的中點為原點，分別以射線，為，軸的正半軸，建立空間直角座標系．
由題意知各點座標如下：，，，．因此，，．
設平面的法向量為，平面的法向量為，
由即可取．由即可取．
於是．由題意可知，所求二面角是鈍角，所以其餘弦值為．
解法二（綜合法）：作且，鏈結．由，，得．
由，，得與全等．由，得，因此為二面角的平面角．
由，，，得，，由餘弦定理得．
自主體驗1 如圖，四稜錐中，底面是菱形，，
平面平面，．
（1）證明：；（2）求二面角的余弦值．
解：（1）連線，設的中點為，連線，．因為，是的
中點，所以．
因為四邊形是菱形，，所以為等邊三角形，
所以，所以平面．因為平面，所以．
（2）因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面．
以為原點，分別以，，的方向為軸、軸、軸的正方向，建立空間直角座標系．
設，由（1）得，，，則，
，，，於是，，
．設平面的法向量為，則所以取．
設平面的法向量為，則所以取．
所以．因為所求二面角是鈍角，所以其餘弦值為．
自主體驗2 （2014遼寧）如圖，和所在平面互相垂直，且，，，分別是，
的中點．求二面角的正弦值．
解：以為座標原點，在平面內過作垂直於的直線為軸，所在
直線為軸，在平面內作垂直於的直線為軸，建立如圖所示的空間直角座標系．
易得，，．易知平面的法向量為．
設平面的法向量為，又，，
所以得其中乙個．
設二面角大小為，且由題意可知為銳角，則，因此，即所求二面角正弦值為．
自主體驗3 （2015北京）如圖，在四稜錐中，為等邊三角形，平面平面，∥，，，
，為的中點．
（1）求證：；
（2）求二面角的余弦值．
解：（1）因為是等邊三角形，為的中點，所以．又因為
平面平面，平面，所以平面．所以．
（2）取中點，連線．由題設知是等腰梯形，所以．
由（1）知平面，又平面，所以．
如圖建立空間直角座標系，則，，，，
．設平面的法向量為，則即
令，則，．於是．平面的法向量為．
所以．由題知二面角為鈍角，所以它的余弦值為．
自主體驗4 （2014大綱全國卷）如圖，三稜柱中，點在平面內的射影在上，，，．設
直線與平面的距離為，求二面角的余弦值．
解：以為座標原點，射線為軸，以的長為單位長，建立如圖所示的空間直角
座標系．由題設知與軸平行．軸在平面內．
設，由題設有，，，則，，
，，．由，得，即．於是，所以．
設平面的法向量為，則，，因，
，故可得．點到
平面的距離為．又依題設，到平面的
距離為，所以．所以（捨去）或．於是．
設平面的法向量為，則，，即可取．
又為平面的法向量，故．
所以二面角的余弦值為．
自主體驗5 （2015山東）如圖，在三稜臺中，，，分別為，的中點．
（1）求證：∥平面；
（2）若平面，，，
，求平面與平面所成角（銳角）的大小．
解：（1）連線，，設，連線．在三稜臺中，，為的中點，可得∥，，所以四邊形為平行四邊形．則為的中點，又為的中點，所以∥．又平面，平面，所以∥平面．
（2）設，則．在三稜臺中，為的中點，由，可得四邊形為平行四邊形，因此∥．又平面，所以平面．連線，在中，由，，是的中點，所以，，因此，，兩兩垂直．
以為座標原點，建立如圖所示的空間直角座標系．所以，，，．可得，．故，．
設是平面的法向量，則可得可得平面的乙個法向量．
因為是平面的乙個法向量，，所以．所以平面與平面所成角（銳角）的大小為．
自主體驗6 （2014山東）如圖，在四稜柱中，底面是等腰梯形，，，是線段的中點．
（1）求證：∥平面；
（2）若垂直於平面且，
求平面和平面所成的角（銳角）的余弦值．
二面角的求法
方法一 定義法 即從二面角稜上一點在兩個麵內分別引稜的垂線。適用兩邊三角形全等 或都為等腰三角形 例1 如圖1 5所示，在四稜錐p abcd中，底面是邊長為2的菱形，bad 120 且pa 平面abcd，pa 2，m，n分別為pb，pd的中點 1 證明 mn 平面abcd 2 過點a作aq pc，垂...
二面角求法大全
peq pef aef，那麼在圖2 2 中，有a1q a1f.作fm a1p於m，連線qh qf，則易得 a1qp a1fp，qmp fmp，所以 pmq pmf 90o，qmf為二面角b a1p f的平面角，使題解取得了突破性的進展.設正三角形的邊長為3，依次可求得a1p qm fm 在 qmf中...
二面角大小的幾種求法 歸類總結分析
二面角大小的幾種求法 二面角大小的求法中知識的綜合性較強，方法的靈活性較大，一般而言，二面角的大小往往轉化為其平面角的大小，從而又化歸為三角形的內角大小，在其求解過程中，主要是利用平面幾何 立體幾何 三角函式等重要知識。求二面角大小的關鍵是，根據不同問題給出的幾何背景，恰在此時當選擇方法，作出二面角...