至善教育
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【課前回顧】
【知識要點】
1.定義：
二面角:由一條直線出發的所組成的圖形叫做二面角
平面角：過稜上同一點分別位於二面角的兩個麵內，且與稜同時垂直的兩條射線所成的角叫做二面角的平面角，二面角的取值範圍是
注:二面角是空間圖形，平面角是平面圖形。在書寫時不要寫成」 aob為所求二面角」，而應寫成」 aob為二面角的平面角」。
2.求法：幾何法向量法
（1）幾何法：作出二面角的平面角，再求解，常見的有
（2）向量法：
①分別求出和的法向量，則二面角的大小為或—
用此法須知：
〈1〉需建空間直角座標系，定準相應點的座標
〈2〉通常容易找到乙個面的法向量，只需通過二次垂直，求另乙個平面的法向量
〈3〉當為銳角時 （為銳角）
或 —（為鈍角）
②在平面內在平面內，bdef，且bef分別求出，則即為二面角的大小
【典型例題】
例1、如圖，已知稜柱的底面是菱形，且面，，，為稜的中點，為線段的中點，
（1）求證：面；
（2）求面與面所成二面角的大小．
（1）證明：底面是菱形，
又面，面
，面又面（2）延長、交於點
是的中點且是菱形
又由三垂線定理可知為所求角
在菱形中，
例2、如圖，直二面角d—ab—e中，四邊形abcd是邊長為2的正方形，ae=eb，f為ce上的點，且bf⊥平面ace。
（1）求證：ae⊥平面bce；
（2）求二面角b—ac—e的大小；
解：（1）如圖，∵ bf⊥平面ace ∴ bf⊥ae
又∵ 二面角d—ab—e為直二面角，且cb⊥ab
∴ cb⊥平面abe ∴ cb⊥ae
∵ ∴ ae⊥平面bce
（2）連bd交ac於g，連fg
∵ 正方形abcd邊長為2 ∴ bg⊥ac，
∵ bf⊥平面ace 由三垂線定理逆定理得fg⊥ac
∴ ∠bgf是二面角b—ac—e的平面角
由（1）ae⊥平面bce ∴ ae⊥eb
又∵ ae=eb ∴ 在等腰直角三角形aeb中，
又∵ rt△bce中，
∴ ∴ 在rt△bfg中，
∴ 二面角b—ac—e等於
例3、如圖所示的幾何體中,平面， ,，，是的中點.
(ⅰ)求證:;
(ⅱ)求二面角的余弦值.
解法一:
(ⅰ)證明:取的中點,連線,則,
故四點共面，∵平面
又由，平面
(ⅱ)取的中點,連,則
平面過作,連,則
是二面角的平面角.
設, 與的交點為,記 ,,則有
, 又
在中,即二面角的余弦值為.
解法二: 分別以直線為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角座標系，設，則
，所以.
(ⅰ)證:
,即.(ⅱ)解:設平面的法向量為, ，由,得
取得平面的一非零法向量為
又平面bda的法向量為 ，
∴二面角的余弦值為.
例4、 已知四稜錐的底面為直角梯形，，底面，且，，是的中點
（ⅰ）證明：面面；
（ⅱ）求面與面所成二面角的大小
證明：以為座標原點長為單位長度，如圖建立空間直角座標系，則各點座標為
（ⅰ）證明：因
由題設知，且與是平面內的兩條相交直線，由此得面又在面上，故面⊥面
（ⅱ）解：在上取一點，則存在使
要使所求二面角的平面角
例5、如圖，三稜錐p—abc中， pc平面abc，pc=ac=2，
ab=bc，d是pb上一點，且cd平面pab．
() 求證：ab平面pcb；
() 求二面角c-pa-b的大小．
解法一：() ∵pc平面abc，平面abc，
∴pcab．
∵cd平面pab，平面pab，
∴cdab．又，∴ab平面pcb．
() 取ap的中點e，鏈結ce、de．
∵pc=ac=2，∴ce pa，ce=．
∵cd平面pab，由三垂線定理的逆定理，得 de pa．
∴為二面角c-pa-b的平面角．由() ab平面pcb，
又∵ab=bc，可求得bc=．在中，pb=，
． 在中， sin∠ced=．
∴二面角c-pa-b的大小為arcsin
解法二：（）同解法一．
() 設平面pab的法向量為m= (x，y，z)．
，，則即
解得令= -1, 得 m= (，0，-1)．
設平面pac的法向量為n=()．，，
則即解得令=1, 得 n= (1，1，0)．
二面角c-pa-b的大小為arccos．
【課堂練習】
1.如圖：三稜錐a-bcd中，ac=ab=bd=da=2，bc=cd=，則二面角a-bd-c大小為
。二面角b-ac-d大小為
2.已知，所成角為，與所成角為2，大小為3則恆成立的是（ ）
a. b.
c. d.
3.如圖，四邊形bcef、afed都是矩形，且平面afed平面bcef，，則下列結論中正確的是
a． b．
c． d．
3.如圖，四稜錐p-abcd中所有的稜長都相等。求：
①二面角c-pd-b大小
②設m、n分別為ad、pc中點，
試求mn與底面ac及平面bdp所成的角
③平面pab與平面pcd所成二面角的大小
4. 如圖，四邊形abcd為直角梯形，ad//bc bad=90，pa底面abcd，且pa=ad=ab=2bc，m、n分別為pc、pb的中點
①求證：pbdm
②求bd與平面admn所成角的大小
③求二面角a-pb-c
5.如圖所示多面體是由底面為abcd的長方體被截面aec1f所截而得到的，其中ab=4，bc=2，c c1=3，be=1 （補形成正方體）
①求bf
②求二面角a-ef-b
6.如圖，在正方體abcd-a1b1c1d1中，點e在稜cc1上
①求證：aebd
②當a1e與面bed所成角為多大時，面a1bd面ebd
③在（2）的結論下，求此時二面角a-a1d-e的大小
8.如圖，在稜長ab=ad=2，aa1=3的長方體ac1中點e是平面bcc1b1上動點，點f是cd的中點
①試確定e的位置，使d1e平面ab1f
②求二面角b1-af-b的大小
9、 如圖，在四稜錐中，底面是正方形，側面是正三角形,
平面底面
（ⅰ）證明：平面；
（ⅱ）求面與面所成的二面角的大小
證明：以為座標原點，建立如圖所示的座標圖系
（ⅰ）證明：不防設作，則，，
由得，又，
因而與平面內兩條相交直線，都垂直 ∴平面
（ⅱ）解：設為中點，
則， 由因此，是所求二面角的平面角，
解得所求二面角的大小為
10、（2023年高考天津卷）如圖，在四稜錐中，底面是矩形．已知，，，，．
（ⅰ）證明平面；
（ⅱ）求異面直線與所成的角的大小；
（ⅲ）求二面角的大小．
11、（2008高考山東卷）如圖，已知四稜錐p-abcd，
底面abcd為菱形，pa⊥平面abcd，,
e，f分別是bc, pc的中點.
（ⅰ）證明：ae⊥pd;
（ⅱ）若h為pd上的動點，eh與平面pad所成最大角的正切值為，求二面角e—af—c的余弦值.
（ⅰ）證明：由四邊形abcd為菱形，∠abc=60°，可得△abc為正三角形.因為e為bc的中點，所以ae⊥bc.
又 bc∥ad，因此ae⊥ad.因為pa⊥平面abcd，ae平面abcd，所以pa⊥ae.
而 pa平面pad，ad平面pad 且pa∩ad=a，所以 ae⊥平面pad，
又pd平面pad.所以 ae⊥pd.
（ⅱ）解：設ab=2，h為pd上任意一點，連線ah，eh.
由（ⅰ）知 ae⊥平面pad，則∠eha為eh與平面pad所成的角. 在rt△eah中，ae=，所以當ah最短時，∠eha最大，即當ah⊥pd時，∠eha最大.
此時 tan∠eha=因此 ah=.又ad=2，所以∠adh=45°，所以 pa=2.
解法一：因為 pa⊥平面abcd，pa平面pac，所以平面pac⊥平面abcd.
過e作eo⊥ac於o，則eo⊥平面pac，
過o作os⊥af於s，連線es，則∠eso為二面角e-af-c的平面角，
在rt△aoe中，eo=ae·sin30°=，ao=ae·cos30°=,
又f是pc的中點，在rt△aso中，so=ao·sin45°=,
又在rt△eso中，cos∠eso=
即所求二面角的余弦值為
解法二：由（ⅰ）知ae，ad，ap兩兩垂直，以a為座標原點，建立如圖所示的空間直角座標系，又e、f分別為bc、pc的中點，所以e、f分別為bc、pc的中點，所以a（0，0，0），b（，-1，0），c（，1，0），
d（0，2，0），p（0，0，2），e（，0，0），f（），
所以設平面aef的一法向量為
則因此取
因為 bd⊥ac，bd⊥pa，pa∩ac=a，所以 bd⊥平面afc，
故為平面afc的一法向量.又=（-），
所以 cos＜m,＞=
因為二面角e-af-c為銳角，所以所求二面角的余弦值為
【課後作業】
見課堂作業
【下次課教學主題】
二面角 習題
1.如圖三稜錐 p abc中，pc 平面abc，pc d是 bc的中點，且 adc是邊長為 2的正三角形，求二面角 p ab c的大小。2.如圖在三稜錐 s abc中，sa 底面abc，ab bc，de 垂直平分sc，且分別交 ac sc於d e，又sa ab，bs bc，求以bd為稜，bde與bd...
二面角求法大全
peq pef aef，那麼在圖2 2 中，有a1q a1f.作fm a1p於m，連線qh qf，則易得 a1qp a1fp，qmp fmp，所以 pmq pmf 90o，qmf為二面角b a1p f的平面角，使題解取得了突破性的進展.設正三角形的邊長為3，依次可求得a1p qm fm 在 qmf中...
二面角的求法
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