peq≌△pef≌△aef，那麼在圖2(2)中，有a1q=a1f.作fm⊥a1p於m，連線qh、qf，則易得△a1qp≌△a1fp，△qmp≌△fmp，所以∠pmq=∠pmf=90o，∠qmf為二面角b-a1p-f的平面角，使題解取得了突破性的進展.設正三角形的邊長為3，依次可求得a1p=，qm=fm=，在△qmf中，由餘弦定理得cos∠qmf=。
練習：2011廣東高考理18.(本小題滿分13分)
如圖5.在錐體p-abcd中，abcd是邊長為1的菱形，
且∠dab=60，,pb=2, e,f分別是bc,pc的中點.
(1) 證明：ad 平面def; (2) 求二面角p-ad-b的余弦值.
解：(2) 由（1）知為二面角的平面角，
在中，；在中，；
在中，.
2 三垂線法
這是最典型也是最常用的方法，當然此法仍扎「根」於二面角平面角的定義.
此法最基本的乙個模型為：如圖3，設銳二面角，過面
內一點p作pa⊥於a，作ab⊥l於b，連線pb，由三垂線定理得pb
⊥l，則∠pba為二面角的平面角，故稱此法為三垂線法.
最重要的是在「變形(形狀改變)」和「變位(位置變化)」中能迅速作
出所求二面角的平面角，再在該角所在的三角形(最好是直角三角形，如圖3中的rt△pab)中求解.對於鈍二面角也完全可以用這種方法，銳角的補角不就是鈍角嗎？
例3(2023年陝西試題)如圖4，平面⊥平面，∩=l，a∈，b∈，點a在直線l上的射影為a1，點b在l的射影為b1，已知ab=2，aa1=1，bb1=，求：
(ⅰ)略；(ⅱ)二面角a1－ab－b1的正弦值.
分析與略解：所求二面角的稜為ab，不像圖3的那樣一看就明白
的狀態，但本質卻是一樣的，對本質的觀察能力反映的是思維的深刻性.
作a1e⊥ab1於ab1於e，則可證a1e⊥平面ab1b.過e作ef⊥a
b交ab於f，連線a1f，則得a1f⊥ab，∴∠a1fe就是所求二面角的
平面角.
依次可求得ab1=b1b=，a1b=，a1e=，a1f=，則在rt△a1ef中，sin∠a1fe==.
與圖3中的rt△pab比較，這裡的rt△a1ef就發生了「變形」和「變位」，所以要有應對各種變化，乃至更複雜變化的思想準備.
3 垂面法
事實上，圖1中的平面coc1、圖2(2)中的平面qmf、圖3中的平面pab、圖4中的平面a1fe都是相關二面角稜的垂面，這種通過作二面角稜的垂面得平面角的方法就叫做垂面法.在某些情況下用這種方法可取得良好的效果.
例4空間的點p到二面角的面、及稜l的距離分別
為4、3、，求二面角的大小.
分析與略解：如圖5，分別作pa⊥於a，pb⊥於b，則易知
l⊥平面pab，設l∩平面pab=c，連線pc，則l⊥pc.
分別在rt△pac、rt△pbc中，pc=，pa=4，pb=3，則ac=，bc=.
因為p、a、c、b四點共圓，且pc為直徑，設pc=2r，二面角的大小為.
分別在△pab、△abc中，由餘弦定理得
ab2=ac2+bc2-2·ac·bccos=pa2+pb2-2·pa·pbcos()，
則可解得cos=， =120o，二面角的大小為120o.
4 面積法
如圖1，設二面角c-bd-c1的大小為，則在rt△coc1中，cos，在某些情況下用此法特別方便.
例5 如圖6，平面外的△a1b1c1在內的射影是邊長為1的正三角形abc，且aa1=2，bb1=3，cc1=4，求△a1b1c1所在的平面與平面所成銳二面角的余弦值
分析與略解：問題的情境很容易使人想到用面積法，分別在bb1、cc1取bd=ce=aa1，
則△a1b1c1≌△a1de，可求得a1b=，a1c1=，b1c1=
，所以等腰△a1b1c1的面積為，又正△abc的面積為.
設所求二面角的大小為，則cos=.
5 變式二面角的求法
以上列舉了求解二面角的四種基本方法，但在現實中，問題往往不是那麼簡單與單純，而是有諸多的變化，「源於基本方法，適應各種變化」就是我們總的策略.
5.1 「無稜」二面角的求法
嚴格地說，任何二面角都是有稜的，「無稜」其實是指二面角的稜處於隱含的狀態.對於這樣的問題，有兩種處理辦法：
(1)用面積法，見例5；
(2)找出隱含的稜，此法可稱為「找稜法」.
在例5中，延長c1b1和c1a1分別交cb和ca的延長線於g、h，連gh.
作cm⊥gh於m，連c1m，c1m⊥gh，則∠cmc1是所求二面角的平面角.
由平幾知識得cg=4，ch=2，則△cgh的面積為，又△cgh的面積為ch·cm.
又由餘弦定理得gh=，所以cm=2，則在rt△cmc1中，cos=.
在原圖中，面a1b1c1與的公共點都不知道，所以必須找出它們的兩個公共點，才能找到二面角的稜；而在另一些問題中，知道兩個面的乙個公共點，那麼只須再找出另乙個公共點就可以了.
面積法比找稜法似乎要簡單些，但看問題不能簡單化，例5的第二種解法是非常重要的一種方法，其中蘊涵的知識和技能的「營養」對於滋補人大大腦是十分有價值的，所以決不要忽視找稜法.
5.2 有關二面角的最值問題
求最值是代數、三角、解幾的「熱點」問題，殊不知立體幾何中也有引人入勝的最值問題.
例6 二面角-l-的大小是變數，點b、c在l
上，a、d分別在面、內，且ad⊥bc，ad與麵成角，若
△abc的面積為定值s，求△bcd面積q的最大值.
分析與略解：如圖9，作ae⊥bc於e，連de，則由ad⊥bc得
bc⊥平面ade，則de⊥bc，∠aed=，∠ade=.
在△aed中，由正弦定理得，所以，
則當時，有qmax=2s.
△bcd和△abc有公共的底邊bc，則它們的面積比等於對應高之比，這是簡單的平幾知識，但用在這裡卻發揮了以簡馭繁的奇妙功能.三角函式與正弦定理給題目注入了新的活力.
二面角的求法
方法一 定義法 即從二面角稜上一點在兩個麵內分別引稜的垂線。適用兩邊三角形全等 或都為等腰三角形 例1 如圖1 5所示，在四稜錐p abcd中，底面是邊長為2的菱形，bad 120 且pa 平面abcd，pa 2，m，n分別為pb，pd的中點 1 證明 mn 平面abcd 2 過點a作aq pc，垂...
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知識點利用法向量求二面角 利用二面角的法向量求二面角時，需要直觀估計二面角是銳角還是鈍角 設 分別是二面角的面 的法向量，二面角大小為，則 1 當所求二面角明顯為銳角或鈍角時，直接由法向量夾角余弦求出相應結果即可 2 當所求二面角比較接近或者圖形放的位置不適宜時，很容易估錯所求二面角究竟是銳角還是鈍...
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