二面角大小的幾種求法
二面角大小的求法中知識的綜合性較強，方法的靈活性較大，一般而言，二面角的大小往往轉化為其平面角的大小，從而又化歸為三角形的內角大小，在其求解過程中，主要是利用平面幾何、立體幾何、三角函式等重要知識。求二面角大小的關鍵是，根據不同問題給出的幾何背景，恰在此時當選擇方法，作出二面角的平面角，有時亦可直接運用射影面積公式求出二面角的大小。
i. 尋找有稜二面角的平面角的方法 ( 定義法、三垂線法、垂面法、射影面積法 )
一、定義法：利用二面角的平面角的定義，在二面角的稜上取一點（特殊點），過該點在兩個半平面內作垂直於稜的射線，兩射線所成的角就是二面角的平面角，這是一種最基本的方法。要注意用二面角的平面角定義的三個「主要特徵」來找出平面角。
例空間三條射線ca、cp、cb，∠pca=∠pcb=60o，∠acb=90o，求二面角b-pc-a的大小。
解：過pc上的點d分別作de⊥ac於e，df⊥bc於f，連ef.
∴∠edf為二面角b-pc-a的平面角，設cd=a，∵∠pca=∠pcb=600，
∴ce=cf=2a，de=df=，又∵∠acb=900，∴ef=，
∴∠edf=
1. 在三稜錐p-abc中， apb=bpc=cpa=600，求二面角a-pb-c的余弦值。
2. 如圖，已知二面角α-а-β等於120°，pa⊥α，a∈α，pb⊥β，b∈β，求∠apb的大小。
3. 在四稜錐p-abcd中，abcd是正方形，pa⊥平面abcd，pa=ab=a，求二面角b-pc-d的大小。
二、三垂線法：已知二面角其中乙個麵內一點到乙個面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角。
例在四稜錐p-abcd中，abcd是平行四邊形，pa⊥平面abcd，pa=ab=a，∠abc=30°，求二面角p-bc-a的大小。
解：如圖，pa⊥平面bd，過a作ah⊥bc於h，鏈結ph，則ph⊥bc
又ah⊥bc，故∠pha是二面角p-bc-a的平面角。
在rt△abh中，ah=absin∠abc=asin30°=；
在rt△pha中，tan∠pha=pa/ah=，則∠pha=arctan2.
5. 在四稜錐p-abcd中，abcd是平行四邊形，pa⊥平面abcd，pa=ab=a，∠abc=30°，求二面角p-bc-a的大小。
6. 如圖，在三稜錐p-abc中，pa⊥平面abc，pa=ab，ac=bc=1，∠acb=900，m是pb的中點。(1)求證：
bc⊥pc，(2)平面mac與平面abc所成的二面角的正切。
7. δabc中，∠a=90°，ab=4，ac=3，平面abc外一點p在平面abc內的射影是ab中點m，二面角p—ac—b的大小為45°。求（1）二面角p—bc—a的大小；（2）二面角c—pb—a的大小。
8. 如圖，已知△abc中，ab⊥bc，s為平面abc外的一點，sa⊥平面abc，am⊥sb於m，an⊥sc於n,(1)求證平面sab⊥平面sbc (2)求證∠anm是二面角a－sc－b的平面角.
9. 第8題的變式：如上圖，已知△abc中，ab⊥bc，s為平面abc外的一點，sa⊥平面abc，∠acb＝600，sa＝ac＝a，(1)求證平面sab⊥平面sbc (2)求二面角a－sc－bc的正弦值.
10. 如圖,abcd-a1b1c1d1是長方體，側稜aa1長為1，底面為正方體且邊長為2，e是稜bc的中點，求面c1de與面cde所成二面角的正切值。
11. 如圖4，平面⊥平面，∩=l，a∈，b∈，點a在直線l上的射影為a1，點b在l的射影為b1，已知ab=2，aa1=1，bb1=，求：二面角a1－ab－b1的大小。
三、垂面法：已知二面角內一點到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面與兩個半平面的交線所成的角即為平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面與稜垂直。
例在四稜錐p-abcd中，abcd是正方形，pa⊥平面abcd，pa=ab=a，求b-pc-d的大小。
解：（垂面法）如圖，pa⊥平面bd bd⊥ac
bd⊥bc 過bd作平面bdh⊥pc於hpc⊥dh、bh
∠bhd為二面角b-pc-d的平面角。
因pb=a,bc=a,pc=a, pb·bc=s△pbc=pc·bh則bh==dh， 又bd=在△bhd中由餘弦定理，得：
cos∠bhd＝，又0＜∠bhd＜π ，則
∠bhd=，二面角b-pc-d的大小是。
12. 空間的點p到二面角的面、及稜l的距離分別為4、3、，求二面角的大小.
13．如圖，在三稜錐s－abc中，sa⊥底面abc，ab⊥bc，de垂直平分sc且分別交ac、sc於d、e，又sa＝ab，sb＝bc，求二面角e－bd－c的度數。
ii. 尋找無稜二面角的平面角的方法 ( 射影面積法、平移或延長(展)線(面)法 )
四、射影面積法：利用面積射影公式s射＝s原cos,其中為平面角的大小，此方法不必在圖形中畫出平面角。
例在四稜錐p-abcd中，abcd為正方形，pa⊥平面abcd，pa＝ab＝a，求平面pba與平面pdc所成二面角的大小。
解：（面積法）如圖，，
同時，bc⊥平面bpa於b ，故△pba是△pcd在平面pba上的射影
設平面pba與平面pdc所成二面角大小為θ，
則cosθ= θ=45°
14. 如圖，設m為正方體abcd-a1b1c1d1的稜cc1的中點，求平面bmd1與底面abcd所成的二面角的大小。
15. 如圖，，α與β所成的角為600，於c，於b，ac＝3，bd＝4，cd＝2，求a、b兩點間的距離。
五、平移或延長（展）線（面）法：對於一類沒有給出稜的二面角，應先延伸兩個半平面，使之相交出現稜，然後再選用上述方法（尤其要考慮射影法）。
例在四稜錐p-abcd中，abcd為正方形，pa⊥平面abcd，pa＝ab＝a，求平面pba與平面pdc所成二面角的大小。（補形化為定義法）
解：（補形化為定義法）如圖，將四稜錐p-abcd補形得正方體abcd-pqmn，
則pq⊥pa、pd，於是∠apd是兩面所成二面角的平面角。
在rt△pad中，pa=ad，則∠apd=45°。
即平面bap與平面pdc所成二面角的大小為45°
16. 在四稜錐p-abcd中，abcd為正方形，pa⊥平面abcd，pa＝ab＝a，求平面pba與平面pdc所成二面角的大小。
六、向量法
解立體幾何中是一種十分簡捷的也是非常傳統的解法，可以說所有的立體幾何題都可以用向量法求解，用向量法解立體幾何題時，通常要建立空間直角座標系，寫出各點的座標，然後將幾何圖中的線段寫成用座標法表示的向量，進行向量計算解題。
例（2009天津卷理）如圖，在五面體abcdef中，fa 平面abcd, ad//bc//fe，abad，
m為ec的中點，af=ab=bc=fe=ad。
,(i)求異面直線bf與de所成的角的大小；
(ii) 證明平面amd平面cde；
(iii)求二面角a-cd-e的余弦值。
解：如圖所示，建立空間直角座標系，以點為座標原點。設依題意得
（i）所以異面直線與所成的角的大小為.
（ii）證明： ，
（iii）
又由題設，平面的乙個法向量為
18.（2008湖北）如圖，在直三稜柱中，平面側面.
(i) 求證：；
(ii) 若直線與平面所成的角為,二面角的大小為，
試判斷與的大小關係，並予以證明.
分析：由已知條件可知：平面abb1 a1⊥平面bcc1 b1⊥平面abc於是很容易想到以b 點為空間座標原點建立座標系，並將相關線段寫成用座標表示的向量，先求出二面角的兩個半平面的法向量，再利用兩向量夾角公式求解。
（答案：，且）
由此可見，二面角的型別和求法可用框圖展現如下：
分析：所求二面角與底面abc所在的位置無關，故不妨利用定義求解。
略解：在二面角的稜pb上任取一點q，在半平面pba和半平面pbc上作qmpb，qnpb，則由定義可得mqn即為二面角的平面角。設pm=a,則在rtpqm和rtpqn中可求得qm=qn=a；又由pqnpqm得pn=a,故在正三角形pmn中mn=a,在三角形mqn中由餘弦定理得cosmqn=，即二面角的余弦值為。
因為ab=ad=a，，。
過b作bh⊥pc於h，鏈結dh
dh⊥pc 故∠bhd為二面角b-pc-d的平面角。
因pb=a,bc=a,pc=a, pb·bc=s△pbc=pc·bh，則bh==dh又bd=。在△bhd中由餘弦定理，得：
cos∠bhd＝，又0＜∠bhd＜π 則∠bhd=，二面角b-pc-d的大小是。
[基礎練習]
1． 二面角是指（ ）
a 兩個平面相交所組成的圖形
b 乙個平面繞這個平面內一條直線旋轉所組成的圖形
c 從乙個平面內的一條直線出發的乙個半平面與這個平面所組成的圖形
d 從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形
2．平面α與平面β、γ都相交，則這三個平面可能有（ ）
a 1條或2條交線b 2條或3條交線
c 僅2條交線d 1條或2條或3條交線
3．在300的二面角的乙個麵內有乙個點，若它到另乙個面的距離是10，則它到稜的距離是( )
a 5b 20cd
4．在直二面角α-l-β中，rtδabc在平面α內，斜邊bc在稜l上，若ab與面β所成的角為600，則ac與平面β所成的角為
a 300b 450c 600d 1200
5．如圖，射線bd、ba、bc兩兩互相垂直，ab=bc=1，bd=，
則弧度數為的二面角是（ ）
a. d-ac-b b. a-cd-b c. a-bc-d d. a-bd-c
6．△abc在平面α的射影是△a1b1c1，如果△abc所在平面和平面α成θ角，有( )
a. s△a1b1c1=s△abc·sinb. s△a1b1c1= s△abc·cosθ
二面角的求法
方法一 定義法 即從二面角稜上一點在兩個麵內分別引稜的垂線。適用兩邊三角形全等 或都為等腰三角形 例1 如圖1 5所示，在四稜錐p abcd中，底面是邊長為2的菱形，bad 120 且pa 平面abcd，pa 2，m，n分別為pb，pd的中點 1 證明 mn 平面abcd 2 過點a作aq pc，垂...
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