【考試要求】
掌握平面的性質，能夠畫出空間兩條直線、直線和平面的各種位置關係的圖形，能夠根據圖形想象它們的位置關係；掌握兩條直線平行與垂直、直線和平面平行與垂直、兩個平面平行與垂直的判定與性質；掌握兩條直線所成的角和距離、斜線在平面上的射影、直線和平面所成的角和距離、二面角、二面角的平面角、兩個平面間的距離等概念；了解多面體、稜柱、稜錐、球的概念；掌握稜柱、稜錐、球的性質和球面距離的概念；掌握稜柱、稜錐、球的表面積和體積公式．
【命題導向】
本專題高考命題形式比較穩定，難度適中，主要考查線線、線面及麵麵的平行與垂直，三垂線定理及逆定理的應用，空間角和距離的計算．從解答題來看，遵循先證明後計算的原則，即融推理於計算之中，突出模型法、體積法、割補法等數學方法，注重考查轉化與化歸的思想（即立體問題平面化；幾何問題代數化；面面問題線面問題線線問題）．
【試題精選】
題型1 空間點、線、面位置關係的判斷與證明
1．設均為直線，其中在平面內，則「」是「且」的
a．充分不必要條件 b．必要不充分條件
c．充分必要條件 d．既不充分也不必要條件
答案：a
解析：設均為直線，其中在平面內，若「」則「且」，反之若「且」，當時，無法判斷「」，所以「」是「且」的充分不必要條件．
2．平面平面的乙個充分條件是（ ）
a．存在一條直線 b．存在一條直線
c．存在兩條平行直線
d．存在兩條異面直線
答案：d
解析：由兩個平面平行的判定定理知，平面平面的乙個充分條件是存在兩條異面直線，，，，．
3．設為兩條直線，為兩個平面．下列四個命題中，正確的命題是（ ）
a．若與所成的角相等，則 b．若，，，則
c．若，則 d．若，則
答案：d
解析：a項中若與所成的角相等，則可以平行、相交、異面故a錯；b項中若，，則可以平行、異面故b錯；c項中若，則可以平行、相交故c錯；而d項是對，因為此時所成的角與所成的角是相等或是互補的，則．
4．已知兩條直線，兩個平面，給出下面四個命題：
① ②
其中正確命題的序號是
abcd．②③
答案：c
解析：用線面垂直的性質和麵麵平行的性質可判斷①④正確，②中可以平行或異面③中可以在內．
5．平面外有兩條直線和，如果和在平面內的射影分別是和，給出下列四個命題：①；②；③與相交與相交或重合；④與平行與平行或重合．其中不正確的命題個數是 （ ）
a．1b．2c．3d．4
答案：d
解析：由射影的概念以及線線垂直關係的判定方法，可知①②③④均錯，具體可觀察正方體：但不垂直，故①錯；，但它們在底面上的射影都是，故②錯；相交，但異面，故③錯；，但異面，故④錯．
6．若是兩條異面直線外的任意一點，則 （ ）
a．過點有且僅有一條直線與都平行
b．過點有且僅有一條直線與都垂直
c．過點有且僅有一條直線與都相交
d．過點有且僅有一條直線與都異面
答案：b
解析：設過點的直線為，若與都平行，則平行，與已知矛盾，故選項a錯誤；由於只有惟一的公垂線，而過點與公垂線平行的直線只有一條，故選項b正確；對於選項c、d，若點與直線確定的平面與直線平行，則過點與直線相交的直線與平行或異面，因而過點無法作出與直線都相交的直線，故選項c錯誤；若點在乙個與都平行的平面內，則過點可作無數條直線與異面，故選項d錯誤．
7．為正方體，下面結論錯誤的是（ ）
a．平面b．
c．平面
d．異面直線與所成的角為
答案：d
解析：由正方體的有關性質知a、b、c正確，而異面直線與所成的角為．
8．如圖，在正四稜柱中，分別是的中點，則以下結論中不成立的是 （ ）
a．與垂直 b．與垂直
c．與異面 d．與異面
答案：d
解析：連，則交於且為中點，中， ，所以∥平面，而⊥面，所以；又，所以，與異面；由，得．
9．已知是兩條不同直線，是三個不同平面，下列命題中正確的是（ ）
a．若，，則 b．若，，則
c．若，，則 d．若，，則
答案：d
解析：均為直線，其中平行，可以相交也可以異面，故a不正確；
，，則同垂直於乙個平面的兩條直線平行，故d正確．
10．已知平面平面，，點，，直線，直線，直線，則下列四種位置關係中，不一定成立的是 （ ）
a． b． c． d．
答案：d
解析：由且知，容易判斷a、b都是正確的；又由線面平行的判定定理知c正確；對d，雖然，但不一定在平面內，故它可以與平面相交、平行，故不一定垂直．
11．設直線與平面相交但不垂直，則下列說法中正確的是 （ ）
a．在平面內有且只有一條直線與直線垂直
b．過直線有且只有乙個平面與平面垂直
c．與直線垂直的直線不可能與平面平行
d．與直線平行的平面不可能與平面垂直
答案：b
解析：由線線垂直、線面平行、面面垂直的判定與性質知選項b正確，具體可觀察正方體：直線與平面相交但不垂直，在平面內至少有兩條直線與垂直，直線與垂直且與平面平行，平面與平行且與平面垂直，故選項a、c、d錯誤．
12．在正方體中，分別為稜、的中點，則在空間中與三條直線、、都相交的直線 （ ）
a．不存在 b．有且只有兩條c．有且只有三條d．有無數條
答案：d
解析：在上任意取一點，直線與確定乙個平面，這個平面與有且僅有1個交點, 當取不同的位置就確定不同的平面，從而與有不同的交點,而直線與這3條異面直線都有交點，因而在空間中與三條直線、、都相交的直線有無數條．
13．對兩條不相交的空間直線和，必定存在平面，使得 （ ）
ab．，
cd．，
答案：b
解析：∵兩條不相交的空間直線和，∴存在平面，使得，．
14．如圖，動點在正方體的對角線上，過點作垂直於平面的直線，與正方體表面相交於，設，，則函式的圖象大致是 （ ）
答案： b
解析：設、的中點分別為，顯然，只有當移動到中心時，有唯一的最大值，淘汰選項a、c；點移動時，，因而選項b是正確的．
15．在正方體上任意選擇4個頂點，它們可能是如下各種幾何形體的4個頂點，這些幾何形體是寫出所有正確結論的編號）．
①矩形不是矩形的平行四邊形；
③有三個面為等腰直角三角形，有乙個面為等邊三角形的四面體；
④每個面都是等邊三角形的四面體； ⑤每個面都是直角三角形的四面體．
答案：①③④⑤
解析：在正方體abcd－a1b1c1d1上任意選擇4個頂點，它們可能是如下各種幾何形體的4個頂點，這些幾何形體是①矩形如acc1a1；． ③有三個面為等腰直角三角形，有乙個面為等邊三角形的四面體，如a－a1bd；④每個面都是等邊三角形的四面體，如acb1d1；⑤每個面都是直角三角形的四面體，如aa1dc，所以填①③④⑤．
16．如圖，正方體的稜長為1，過點作平面的垂線，垂足為點．有下列四個命題：
①點是的垂心 ②平面
③二面角的正切值為
④點到平面的距離為
其中真命題的代號是寫出所有真命題的代號）
答案：①②③
解析：因為三稜錐是正三稜錐，故頂點在底面的射影是底面中心，①正確；面∥面，而平面，所以平面，②正確；連線交於點，則即為二面角的平面角，由知③正確； 對於④，連線，則面，故點是的三等分點，故點到平面的距離為，從而④錯．則應填①②③．
題型2：求空間的角和空間的距離
17．已知正三稜柱abc－a1b1c1的側稜長與底面邊長相等，則ab1與側面acc1a1所成角的正弦等於 （ ）
abcd．
答案：a
解析：已知正三稜柱abc－a1b1c1的側稜長與底面邊長相等，取a1c1的中點d1，連線bd1，ad1，則∠b1ad1是ab1與側面acc1a1所成的角，．
18．已知三稜錐的側稜長的底面邊長的2倍，則側稜與底面所成角的余弦值等於 （ ）
abcd．
答案：a
解析：設底面邊長為1，則側稜長為2，連線頂點與底面中心，則側稜在底面上的射影長為，所以側稜與底面所成角的余弦值等於．
19．如圖，在正方體中，分別為、、、的中點，則異面直線與所成的角等於
a．45° b．60c．90° d．120°
答案：b
解析：連a1b、bc1、a1c1，則a1b=bc1=a1c1，且ef∥a1b、gh∥bc1，所以異面直線ef與gh所成的角等於60°．
20．在稜長為1的正方體中，分別為稜、的中點，為稜上的一點，且（0≤≤1），則點到平面的距離為
a． b． cd．
答案：選d
解析：因為a1b1∥ef，g在 a1b1上，在所以g到平面d1ef的距離即是a1到面d1ef的距離，即是a1到d1e的距離，d1e=，由三角形面積可得所求距離為．
21．已知平面∥平面，直線，直線，點，點，記點a、b之間的距離為，點a到直線的距離為，直線和的距離為，則（ ）
a．b≤a≤c b．a≤c≤b c． c≤a≤bd．c≤b≤a
答案：選d
解析：由線線距離、線面距離、點線距離的定義知最小，最大．
22．已知三稜柱的側稜與底面邊長都相等，在底面內的射影為的中心，則與底面所成角的正弦值等於 （ ）
abcd．
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