直線、平面、簡單幾何體
一、知識結構
另註：三余弦公式？其中為線面角，為斜線與平面內直線所成的角，為？
二、主要型別及證明方法（主要複習向量法）
1、定性：
（1）直線與平面平行：向量法有幾種證法；非向量法有種證法。
（2）直線與平面垂直：向量法有幾種證法；非向量法有種證法。
（3）平面與平面垂直：向量法有幾種證法；非向量法有種證法。
2、定量：
（1）點p到面的距離d=
（2）異面直線之間的距離：（同上）
（3）異面直線所成的角：
（4）直線與平面所成的角：
（5）銳二面角：
三、例題
1. 設集合a＝，b＝，c＝，則a、b、c之間的關係為( a )
2. 集合a＝，b＝，c＝，則a、b、c之間的關係為( b )
3. 長方體abcd－a'b'c'd'中，e、f、g分別是ab、bc、bb'上的點，則△efg的形狀是( c )
a.等邊三角形 b.直角三角形 c.銳角三角形 d.鈍角三角形
4. 長方體的一條對角線與同一頂點處的三條稜所成角分別為α、β、γ，則有( a )
5. 長方體的一條對角線與同一頂點處的三個面所成角分別為α、β、γ，則有( b )
6. 長方體abcd－a'b'c'd'中，∠d'ba＝45,∠d'bb'＝60，則∠d'bc＝( c )
a.30 b.45 c.60 d.75
7. 長方體的全面積為11，所有稜長之和為24，則這個長方體的一條體對角線長為( c )
a.2 b. c.5 d.6
8. 稜錐的底面積為s，高位h，平行於底面的截面面積為s'，則截面與底面的距離為( )
a. b. c. d.
a9. 三稜錐p－abc的三條側稜長相等，則頂點在底面上的射影是底面三角形的( )
a.內心 b.外心 c.垂心 d.重心
b10. 三稜錐p－abc的三條側稜與底面所成的角相等，則頂點在底面上的射影是底面三角形的( )
a.內心 b.外心 c.垂心 d.重心
b11. 三稜錐p－abc的三個側面與底面所成的二面角相等，則頂點在底面上的射影是底面三角形的( )
a.內心 b.外心 c.垂心 d.重心
a12. 三稜錐p－abc的三條側稜兩兩垂直，則頂點在底面上的射影是底面三角形的( )
a.內心 b.外心 c.垂心 d.重心
c13. 三稜錐v－abc中，va＝bc,vb＝ac,vc＝ab，側面與底面abc所成的二面角分別為α、β、γ(都是銳角)，則cosα＋cosβ＋cosγ＝( )
a.1 b.2 c. d.
a14. 四面體的四個麵中，下列說法錯誤的是( )
a.可以都是直角三角形 b.可以都是等腰三角形
c.不能都是頓角三角形 d.可以都是銳角三角形
c15. 正n稜錐側稜與底面所成角為α，側面與底面所成角為β，則tanα∶tanβ＝( )
b16. 乙個簡單多面體的各個面都是三角形，且有6個頂點，則這個多面體的面數為( )
a.4 b.6 c.8 d.10
c17. 正八面體的相鄰兩個面所成二面角的大小為( )
b.π－arccos c.－arccos d.－arccos
b18. 正方體的全面積為a2，它的頂點都在乙個球面上，這個球的表面積為( )
a. b. c.2πa2 d.3πa2
b19. 乙個長方體的長、寬、高分別為3、4、5，且它的頂點都在乙個球面上，這個球的表面積為( )
a.20π b.25π c.50π d.200π
c20. 在球面上有四個點p、a、b、c，如果pa、pb、pc兩兩互相垂直，且pa＝pb＝pc＝a，那麼這個球面的面積是( )
a.2πa2 b.3πa2 c.4πa2 d.6πa2
b21. 北緯30的圓把北半球面積分為兩部分，這兩部分面積的比為( )
a.1∶1 b.2∶1 c.∶1 d.∶1
a22. 地球半徑為r，在北緯30的圓上有兩點a、b，a點的經度為東經120，b點的經度為西經60，則a、b兩點的球面距離為( )
a.πr b.πr c.πr d.πr
d23. 球面上有三個點，其中任意兩個點的球面距離都等於大圓周長的，經過這三個點的小圓周長為4π，那麼這個球的半徑為( )
a.4 b.2 c.2 d.
b24. 球面上有三個點a、b、c，其中ab＝18,bc＝24,ac＝30，且球心到平面abc的距離為球半徑的一半，那麼這個球的半徑為( )
a.10 b.10 c.20 d.30
a25. 在北緯60圈上有甲、乙兩地，它們在緯度線上的弧長等於r，r為地球半徑，則這兩地的球面距離為( )
a.πr b.πr c.πr d.πr
b填空題：
設m、n是不重合的兩條直線，是不重合的平面，給出下列命題：請判斷其是否正確，如錯誤，請舉出反例。
若，則若，則
若，則若，則
若，則若內有不共線的三點到的距離相等，則
若，則若a、b是異面直線，，則
三、解答題
26. 如圖：已知正三稜柱abc－a'b'c'的側稜長為2，底面邊長為1，m是bc的中點。
(1)求異面直線ab'與bc'的夾角；
(2)在直線cc'上求一點n，使得mn⊥ab'。
（3） 若ab的中點為p，bc』的中點q，求證：pq//面abc
(1)解法一：因為又因為abc－a'b'c'是正三稜柱，∴ < 由題意，＝2從而得：＝＝＝4＋＝∴ cos< ∴ < 即異面直線ab'與bc'的夾角為arccos
解法二：以a點為座標原點，aa'為z軸，ac為y軸，建立空間直角座標系，
由題意：a(0，0，0)，b(，0)，b'(，2)，c'(0，1，2)
cos<＝
∴ < 即異面直線ab'與bc'的夾角為arccos
(2)解法一：設由題意可得：
<∵ 也就是
∴ ∴∴ －＋4x＝0∴ x＝ 即當時，ab'⊥mn.
解法二：同解法一建立空間直角座標系，
有a(0，0，0)，b(，0)，m(，0)，n(0，1，z)∵
∴ ∴ －＋2z＝0
解得z＝，∴ n＝(0，1，) 即cn＝時，ab'⊥mn.
（3）非向量法略，另向量法：方法
一、基向量（待定係數法）
，則，又因為，
設得得x=0,y=1/2,所以所以pq與面abc共面，又因為，所以pq//面abc
例2已知（**課本第二冊p17、ex9；p23、ex4；p31、ex3）
的單調區間；(2)求證：
（3）若
講解: （1） 對已知函式進行降次分項變形 , 得,
（2）首先證明任意事實上,
而函式與不等式證明的綜合題在高考中常考常新 , 是既考知識又考能力的好題型 , 在高考備考中有較高的訓練價值.. 針對本例的求解, 你能夠想到證明任意採用逆向分析法, 給出你的想法!
例4 對於函式，若存在成立，則稱的不動點。如果函式有且只有兩個不動點0，2，且
（1）求函式的解析式；
（2）已知各項不為零的數列，求數列通項；
（3）如果數列滿足，求證：當時，恒有成立.
講解: 依題意有,化簡為由違達定理, 得
解得代入表示式，由得不止有兩個不動點，
（2）由題設得 （*）
且由（*）與（**）兩式相減得：
解得（捨去）或，由，若這與矛盾，，即在時單調遞減，由，可知上成立.
比較上述兩種證法,你能找出其中的異同嗎? 數學解題後需要進行必要的反思, 學會反思才能長進.
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