高考數學必勝秘訣在哪？
――概念、方法、題型、易誤點及應試技巧總結
九、直線、平面、簡單多面體
1、三個公理和三條推論：
（1）公理1：一條直線的兩點在乙個平面內，那麼這條直線上的所有的點都在這個平面內。這是判斷直線在平面內的常用方法。
（2）公理2、如果兩個平面有兩個公共點，它們有無數個公共點，而且這無數個公共點都在同一條直線上。這是判斷幾點共線（證這幾點是兩個平面的公共點）和三條直線共點（證其中兩條直線的交點在第三條直線上）的方法之一。
（3）公理3：經過不在同一直線上的三點有且只有乙個平面。推論1：
經過直線和直線外一點有且只有乙個平面。推論2：經過兩條相交直線有且只有乙個平面。
推論3：經過兩條平行直線有且只有乙個平面。公理3和三個推論是確定平面的依據。
如（1）在空間四點中，三點共線是四點共面的_____條件（答：充分非必要）；（2）給出命題：①若a∈l，a∈α，b∈l ，b∈α，則 lα；②若a∈α，a∈β，b∈α，b∈β，則α∩β＝ab；③若lα ，a∈l，則aα ④若a、b、c∈α，a、b、c∈β，且a、b、c不共線，則α與β重合。
上述命題中，真命題是_____（答：①②④）；（3）長方體中abcd-a1b1c1d1中，ab=8，bc=6，**段bd，a1c1上各有一點p、q，在pq上有一點m，且pm=mq，則m點的軌跡圖形的面積為_______（答：24）
2、直觀圖的畫法（斜二側畫法規則）：在畫直觀圖時，要注意：（1）使，所確定的平面表示水平平面。
（2）已知圖形中平行於軸和軸的線段，在直觀圖中保持長度和平行性不變，平行於軸的線段平行性不變，但在直觀圖中其長度為原來的一半。如（1）用斜二測畫法畫乙個水平放置的平面圖形為如下圖的乙個正方形，則原來圖形的形狀是（ ）（答：a）
（2）已知正的邊長為，那麼的平面直觀圖的面積為_____（答：）
3、空間直線的位置關係：（1）相交直線――有且只有乙個公共點。（2）平行直線――在同一平面內，沒有公共點。
（3）異面直線――不在同一平面內，也沒有公共點。如（1）空間四邊形abcd中，e、f、g、h分別是四邊上的中點，則直線eg和fh的位置關係_____（答：相交）；（2）給出下列四個命題：
①異面直線是指空間既不平行又不相交的直線；②兩異面直線，如果平行於平面，那麼不平行平面；③兩異面直線，如果平面，那麼不垂直於平面；④兩異面直線在同一平面內的射影不可能是兩條平行直線 。其中正確的命題是_____（答：①③）
4、異面直線的判定：反證法。 如（1）「ａ、ｂ為異面直線」是指：
①ａ∩ｂ＝φ，但ａ不平行於ｂ；②ａ面α，ｂ面β且a∩b＝φ；③ａ面α，ｂ面β且α∩β＝φ；④ａ面α，b面α ；⑤不存在平面α，能使ａ面α且ｂ面α成立。上述結論中，正確的是_____（答：①⑤）；（2）在空間四邊形abcd中，m、n分別是ab、cd的中點，設bc+ad=2a，則mn與a的大小關係是_____（答：
mn5、異面直線所成角的求法：（1）範圍：；（2）求法：
計算異面直線所成角的關鍵是平移（中點平移，頂點平移以及補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，以便易於發現兩條異面直線間的關係）轉化為相交兩直線的夾角。如（1）正四稜錐的所有稜長相等，是的中點，那麼異面直線與所成的角的余弦值等於____（答：
）；（2）在正方體ac1中，m是側稜dd1的中點，o是底面abcd的中心，p是稜a1b1上的一點，則op與am所成的角的大小為____（答：90°）；（3）已知異面直線a、b所成的角為50°，p為空間一點，則過p且與a、b所成的角都是30°的直線有且僅有____條（答：2）；（4）若異面直線所成的角為，且直線，則異面直線所成角的範圍是____（答：
）；6、異面直線的距離的概念：和兩條異面直線都垂直相交的直線叫異面直線的公垂線。兩條異面直線的公垂線有且只有一條。
而和兩條異面直線都垂直的直線有無數條，因為空間中，垂直不一定相交。如（1）abcd是矩形，沿對角線ac把δadc折起，使ad⊥bc，求證：bd是異面直線ad與bc的公垂線；（2）如圖，在正方體abcd—a1b1c1d1中，ef是異面直線ac與a1d的公垂線，則由正方體的八個頂點所連線的直線中，與ef平行的直線有____條（答：
1）；7、兩直線平行的判定：（1）公理4：平行於同一直線的兩直線互相平行；（2）線面平行的性質：
如果一條直線和乙個平面平行，那麼經過這條直線的平面和這個平面相交的交線和這條直線平行；（3）面面平行的性質：如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那麼它們的交線平行；（4）線面垂直的性質：如果兩條直線都垂直於同乙個平面，那麼這兩條直線平行。
8、兩直線垂直的判定：（1）轉化為證線面垂直；（2）三垂線定理及逆定理。
9、直線與平面的位置關係：（1）直線在平面內；（2）直線與平面相交。其中，如果一條直線和平面內任何一條直線都垂直，那麼這條直線和這個平面垂直。
注意：任一條直線並不等同於無數條直線；（3）直線與平面平行。其中直線與平面相交、直線與平面平行都叫作直線在平面外。
如（1）下列命題中，正確的是 ａ、若直線平行於平面內的一條直線b , 則// ｂ、若直線垂直於平面的斜線b在平面內的射影，則⊥b ｃ、若直線垂直於平面,直線b是平面的斜線，則與b是異面直線 ｄ、若乙個稜錐的所有側稜與底面所成的角都相等，且所有側面與底面所成的角也相等，則它一定是正稜錐（答：d）；（2）正方體abcd-a1b1c1d1中，點p在側面bcc1b1及其邊界上運動，並且總保持ap⊥bd1，則動點p的軌跡是答：線段b1c）。
10、直線與平面平行的判定和性質：（1）判定：①判定定理：
如果平面內一條直線和這個平面平面平行，那麼這條直線和這個平面平行；②面面平行的性質：若兩個平面平行，則其中乙個平面內的任何直線與另乙個平面平行。（2）性質：
如果一條直線和乙個平面平行，那麼經過這條直線的平面和這個平面相交的交線和這條直線平行。在遇到線面平行時，常需作出過已知直線且與已知平面相交的輔助平面，以便運用線面平行的性質。如（1）α、β表示平面，a、b表示直線，則a∥α的乙個充分不必要條件是 a、α⊥β，a⊥β b、α∩β＝b，且a∥b c、a∥b且b∥α d、α∥β且aβ（答：
d）；（2）正方體abcd-a１b１c１d１中，點n在bd上，點m在b1c上，且cm=dn，求證：mn∥面aa1b1b。
11、直線和平面垂直的判定和性質：（1）判定：①如果一條直線和乙個平面內的兩條相交直線都垂直，那麼這條直線和這個平面垂直。
②兩條平行線中有一條直線和乙個平面垂直，那麼另一條直線也和這個平面垂直。（2）性質：①如果一條直線和乙個平面垂直，那麼這條直線和這個平面內所有直線都垂直。
②如果兩條直線都垂直於同乙個平面，那麼這兩條直線平行。如（1）如果命題「若∥z，則」不成立，那麼字母x、y、z在空間所表示的幾何圖形一定是_____（答：x、y是直線，z是平面）；（2）已知a，b，c是直線，α、β是平面，下列條件中能得出直線a⊥平面α的是 a、a⊥b，ａ⊥ｃ其中ｂα，ｃα b、a⊥b ，ｂ∥α cd、ａ∥ｂ，ｂ⊥α（答：
d）；（3）ab為⊙o的直徑，c為⊙o上的一點，ad⊥面abc，ae⊥bd於e，af⊥cd於f，求證：bd⊥平面aef。
12、三垂線定理及逆定理：（1）定理：在平面內的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那麼它也和這條斜線垂直。
（2）逆定理：在平面內的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線，那麼它也和這條斜線在平面內的射影垂直。其作用是證兩直線異面垂直和作二面角的平面角。
13、直線和平面所成的角：（1）定義：平面的一條斜線和它在平面內的射影所成的銳角，叫這條直線和這個平面所成的角。
（2）範圍：；（3）求法：作出直線在平面上的射影；（4）斜線與平面所成的角的特徵：
斜線與平面中所有直線所成角中最小的角。如（1）在正三稜柱abc-a1b1c1中，已知ab=1，d在稜bb1上，bd=1，則ad與平面aa1c1c所成的角為______（答：arcsin）；（2）正方體abcd-a1b1c1d1中，e、f分別是ab、c1d1的中點，則稜 a1b1 與截面a1ecf所成的角的余弦值是______（答：
）；（3）是從點引出的三條射線，每兩條的夾角都是，則直線與平面所成角的余弦值為______（答：）；（4）若一平面與正方體的十二條稜所在直線都成相等的角θ，則sinθ的值為______（答：）。
14、平面與平面的位置關係：（1）平行――沒有公共點；（2）相交――有一條公共直線。
15、兩個平面平行的判定和性質：（1）判定：乙個如果平面內有兩條相交直線和另乙個平面平行，則這兩個平面平行。
（2）性質：如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那麼它們的交線平行。如（1）是兩個不重合的平面，在下列條件中，不能判定平面的條件是a、是內乙個三角形的兩條邊，且 b、內有不共線的三點到的距離都相等 c、都垂直於同一條直線 d、是兩條異面直線，，且（答：
b）；（2）給出以下六個命題：①垂直於同一直線的兩個平面平行；②平行於同一直線的兩個平面平行；③平行於同一平面的兩個平面平行；④與同一直線成等角的兩個平面平行；⑤乙個平面內的兩條相交直線於另乙個平面內的兩條相交直線平行，則這兩個平面平行；⑥兩個平面分別與第三個平面相交所得的兩條交線平行，則這兩個平面平行。其中正確的序號是答：
①③⑤）；（3）正方體abcd-a１b１c１d１中ab=。①求證：平面ad1b1∥平面c1db；②求證：
a1c⊥平面ad1b1 ；③求平面ad1b1與平面c1db間的距離（答：）；
16、二面角：（1）平面角的三要素：①頂點在稜上；②角的兩邊分別在兩個半平面內；③角的兩邊與稜都垂直。
（2）作平面角的主要方法：①定義法：直接在二面角的稜上取一點（特殊點），分別在兩個半平面內作稜的垂線，得出平面角，用定義法時，要認真觀察圖形的特性；②三垂線法：
過其中乙個麵內一點作另乙個面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角；③垂面法：過一點作稜的垂面，則垂面與兩個半平面的交線所成的角即為平面角；（3）二面角的範圍：；（4）二面角的求法：
①轉化為求平面角；②面積射影法：利用面積射影公式，其中為平面角的大小。對於一類沒有給出稜的二面角，應先延伸兩個半平面，使之相交出現稜，然後再選用上述方法（尤其可考慮面積射影法）。
如（1）正方形abcd-a1b1c1d1中，二面角b-a1c-a的大小為________（答：）；（2）將∠a為60°的稜形abcd沿對角線bd摺疊，使a、c的距離等於bd，則二面角a-bd-c的余弦值是______（答：）；（3）正四稜柱abcd—a1b1c1d1中對角線bd1＝8，bd1與側面b1bcc1所成的為30°，則二面角c1—bd1—b1的大小為______（答：
）；（4）從點p出發引三條射線pa、pb、pc，每兩條的夾角都是60°，則二面角b-pa-c的余弦值是______（答：）；（5）二面角α--β的平面角為120°，a、b∈，acα，bdβ，ac⊥，bd⊥，若ab=ac=bd=1，則cd的長______（答：2）；（6）abcd為菱形，∠dab＝60°，pd⊥面abcd，且pd＝ad，則面pab與面pcd所成的銳二面角的大小為______（答：）。
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