知識專題檢測八立體幾何
一、選擇題（共10 小題，每小題3分，共30分）
1．表面積為的正八面體的各個頂點都在同乙個球面上，則此球的體積為
ab． cd．
2．（06北京）平面的斜線交於點，過定點的動直線與垂直，且交於點，則動點的軌跡是
a．一條直線b.乙個圓
c．乙個橢圓d.雙曲線的一支
3．已知正方體外接球的體積是，那麼正方體的稜長等於
a.2bcd.
4．（06湖北）關於直線與平面，有以下四個命題：
①若且，則；②若且，則；
③若且，則；④若且，則；
其中真命題的序號是
abcd．②③
5．（06湖南）稜長為2的正四面體的四個頂點都在同乙個球面上,
若過該球球心的乙個截面如圖1,則圖中三角形(正四面體的截面)
的面積是 ( )
a. bcd.
6．如圖，在四面體abcd中，截面aef經過四面體的內切球（與四個面都相切的球）球心o，且與bc，dc分別截於e、f，如果截面將四面體分成體積相等的兩部分，設四稜錐a－befd與三稜錐a－efc的表面積分別是s1，s2，則必有（ ）
a．s1s2b. s1s2
c. s1=s2d. s1，s2的大小關係不能確定
7.過球的一條半徑的中點，作垂直於該半徑的平面，則所得截面的面積與球的表面積的比為
abcd.
8． (06上海)若空間中有兩條直線，則「這兩條直線為異面直線」是「這兩條直線沒有公共點」的
a.充分非必要條件；b.必要非充分條件；c.充要條件；d.非充分非必要條件
9．（06四川）已知二面角的大小為，為異面直線，且，則所成的角為
abcd.
10.（06浙江）如圖，o是半徑為l的球心，點a、b、c在球面上，
oa、ob、oc兩兩垂直，e、f分別是大圓弧ab與ac的中點，
則點e、f在該球面上的球面距離是
a. bcd.
二、填空題（共6小題，每小題4分 ，共24分）
11.（06北京）已知三點在球心為，半徑為的球面上，，且那麼兩點的球面距離為球心到平面的距離為
12．過三稜柱 abc－a1b1c1 的任意兩條稜的中點作直線，其中與平面abb1a1平行的直線共有條.
13.（06江西）如圖，已知正三稜柱的底面邊長為1，高為8，一質點自點出發，沿著三稜柱的側面繞行兩周
到達點的最短路線的長為 .
14.水平桌面α上放有4個半徑均為2r的球,且相鄰的球都相切(球心的連線構成正方形).在這4個球的上面放1個半徑為r的小球,它和下面4個球恰好都相切,則小球的球心到水平桌面α的距離是
15.（06天津）如圖，在正三稜柱中，若二面角的大小為，則點c1到直線的距離為
16．（06浙江）如圖，正四面體 abcd的稜長為 1，平面α過稜 ab， 且 cd∥α，則正四面體上的所有點在平面α內的射影構成的圖形面積是。
三．解答題（共4小題，10+12+12+12=46，共46分）
17. （06安徽）如圖，p是邊長為1的正六邊形abcdef所在平面外一點，，p在平面abc內的射影為bf的中點o。
（ⅰ）證明⊥；
（ⅱ）求面與面所成二面角的大小。
18．如圖，四面體abcd中，o、e分別bd、
bc的中點,ca=cb=cd=bd=2
（ⅰ）求證：ao⊥平面bcd；
（ⅱ）求異面直線ab與cd所成角的大小；
（ⅲ）求點e到平面的距離.
19．（06廣東）如圖5所示，、分別世、的直徑，與兩圓所在的平面均垂直，.是的直徑，,.
()求二面角的大小；
()求直線與所成的角.
20．（06湖北）如圖，在稜長為1的正方體中，是側稜上的一點，。
（ⅰ）、試確定，使直線與平面所成角的正切值為；
（ⅱ）、**段上是否存在乙個定點，使得對任意的，在平面上的射影垂直於，並證明你的結論。
答案與點撥：
1 a 解：此正八面體是每個面的邊長均為的正三角形，所以由知，，則此球的直徑為，故選a。
2 a 解：設與是其中的兩條任意的直線，則這兩條直線確定乙個平面，且斜線垂直這個平面，由過平面外一點有且只有乙個平面與已知直線垂直可知過定點與垂直所有直線都在這個平面內，故動點c都在這個平面與平面的交線上，故選a
3 d解：正方體外接球的體積是，則外接球的半徑r=2，正方體的對角線的長為4，稜長等於，選d.
4 d 解：用排除法可得選d
5 c 解：稜長為2的正四面體abcd 的四個頂點都在同乙個球面上, 若過該球球心的乙個截面如圖為△abf，則圖中ab=2，e為ab中點，則ef⊥dc，在△dce中，de=ec=，dc=2，∴ef=，∴三角形abf的面積是，選c.
6 c 解：連oa、ob、oc、od，則va－befd＝vo－abd＋vo－abe＋vo－befd，va－efc＝vo－adc＋vo－aec＋vo－efc又va－befd＝va－efc而每個三稜錐的高都是原四面體的內切球的半徑，故sabd＋sabe＋sbefd＝sadc＋saec＋sefc又面aef公共，故選c
7 a 解：設球的半徑為r, 過球的一條半徑的中點，作垂直於該半徑的平面,由勾股定理可得乙個半徑為的圓,所以,故選a
8 a 解：若空間中有兩條直線，若「這兩條直線為異面直線」，則「這兩條直線沒有公共點」；若 「這兩條直線沒有公共點」，則 「這兩條直線可能平行，可能為異面直線」；∴ 「這兩條直線為異面直線」是「這兩條直線沒有公共點」的充分非必要條件，選a.
9 b解：二面角的大小為，為異面直線，且，則所成的角為兩條直線所成的角，∴ θ=，選b.
10 b 解：如圖，
∴∴，∴點e、f在該球面上的球面距離為
故選擇b。
11 解：如右圖，因為，所以ab是截面
的直徑，又ab＝r，所以△oab是等邊三角形，
所以aob＝，故兩點的球面距離為，
於是o1oa＝30，所以球心到平面的距離
oo1＝rcos30＝.
12 6 解：過三稜柱 abc－a1b1c1 的任意兩條稜的中點作直線，其中與平面abb1a1平行的直線共有6條。
13 10解：將正三稜柱沿
側稜cc1展開，其側面展開圖如
圖所示，由圖中路線可得結論。
14 3r 解：水平桌面α上放有4個半徑均為2r的球，且相鄰的球都相切(球心的連線構成正方形)．在這4個球的上面放1個半徑為r的小球，它和下面4個球恰好都相切，5個球心組成乙個正四稜錐，這個正四稜錐的底面邊長為4r，側稜長為3r，求得它的高為r，所以小球的球心到水平桌面α的距離是3r．
15 解：如圖，在正三稜柱中，若二面角的大小為，過c作cd⊥ab，d為垂足，連線c1d，則c1d⊥ab，∠c1dc=60°，cd=，則c1d=，所以點c1到直線的距離為。
16 解：如圖，正四面體 abcd的稜長為 1，平面α過稜 ab， 且 cd∥α，則cd在平面內的射影c』d』恰好與ab垂直平分，即正四面體上的所有點在平面α內的射影構成的圖形為正方形ac』bd』，它的面積是。
17 解：（ⅰ）在正六邊形abcdef中，為等腰三角形，
∵p在平面abc內的射影為o，∴po⊥平面abf，∴ao為pa在平面abf內的射影；∵o為bf中點，∴ao⊥bf，∴pa⊥bf。
（ⅱ）∵po⊥平面abf，∴平面pbf⊥平面abc；而o為bf中點，abcdef是正六邊形 ，∴a、o、d共線，且直線ad⊥bf，則ad⊥平面pbf；又∵正六邊形abcdef的邊長為1，∴，，。
過o在平面pob內作oh⊥pb於h，連ah、dh，則ah⊥pb，dh⊥pb，所以為所求二面角平面角。
在中，oh=， =。
在中，；
而（ⅱ）以o為座標原點，建立空間直角座標系，p(0,0，1)，a(0，,0)，b(，0,0)，d(0,2，0)，∴，，
設平面pab的法向量為，則，，得，；設平面pdb的法向量為，則，，得，；
,所求二面角的大小為arccos().
18 本小題主要考查直線與平面的位置關係、異面直線所
成的角以及點到平面的距離基本知識，考查空間想象
能力、邏輯思維能力和運算能力。
方法一： （i）證明：鏈結oc
在中，由已知可得
而即平面（ii）解：取ac的中點m，鏈結om、me、oe，由e為bc的中點知
直線oe與em所成的銳角就是異面直線ab與cd所成的角
在中，是直角斜邊ac上的中線， 異面直線ab與cd所成角的大小為
（iii）解：設點e到平面acd的距離為
在中，而 點e到平面acd的距離為
方法二： （i）同方法一。
（ii）解：以o為原點，如圖建立空間直角座標系，則
異面直線ab與cd所成角的大小為
（iii）解：設平面acd的法向量為則
令得是平面acd的乙個法向量。
又點e到平面acd的距離
19 解：(ⅰ)∵ad與兩圓所在的平面均垂直,
∴ad⊥ab, ad⊥af,故∠bad是二面角b—ad—f的平面角，
依題意可知，abcd是正方形，所以∠bad＝450.
即二面角b—ad—f的大小為450；
(ⅱ)以o為原點，bc、af、oe所在直線為座標軸，建立空間直角座標系（如圖所示），則o（0，0，0），a（0，，0），b（，0，0）,d（0，，8），e（0，0，8），f（0，，0）
所以，設異面直線bd與ef所成角為，
則直線bd與ef所成的角為
20 本小題主要考查線面關係、直線與平面所成角的有關知識及空間想像能力和推理運算能力。考查應用向量知識解決數學問題的能力。
解法１：（１）
故。所以。又.故
在△，即.
故當時，直線。
專題九直線 平面 簡單幾何體
考試要求 掌握平面的性質，能夠畫出空間兩條直線 直線和平面的各種位置關係的圖形，能夠根據圖形想象它們的位置關係 掌握兩條直線平行與垂直 直線和平面平行與垂直 兩個平面平行與垂直的判定與性質 掌握兩條直線所成的角和距離 斜線在平面上的射影 直線和平面所成的角和距離 二面角 二面角的平面角 兩個平面間的...
高考數學應試技巧直線 平面 簡單多面體
高考數學必勝秘訣在哪？概念 方法 題型 易誤點及應試技巧總結 九 直線 平面 簡單多面體 1 三個公理和三條推論 1 公理1 一條直線的兩點在乙個平面內，那麼這條直線上的所有的點都在這個平面內。這是判斷直線在平面內的常用方法。2 公理2 如果兩個平面有兩個公共點，它們有無數個公共點，而且這無數個公共...
《點 直線 平面之間的位置關係》單元檢測題
必修2第2章 點直線平面之間的位置關係 單元檢測題 一選擇題 每題5分共50分 1 是兩個不重合的平面，在下列條件下，可判斷 的是 a 都垂直於同乙個平面 b 平面內又不共線三點到 平面距離相等 c l,m是 內的直線，且l m d l,m是兩異面直線且l m l m 2 三稜柱 abc a1b1c...