(時量：120分鐘滿分：150分)
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有
一項是符合題目要求的．
1．已知m、l是直線，α、β是平面，則下列命題正確的是
a．若l平行於α，則l平行於α內的所有直線b．若mα，lβ，且m∥l，則α∥β
c．若mα，lβ，且m⊥l，則α⊥β d．若mβ，m⊥α，則α⊥β
2．正三稜錐p—abc中，∠apb=∠bpc=∠cpa=90°，pa=pb=pc=a，ab的中點m，一小蟲沿錐體側面由m爬到c點，最短路段是
a． b． c． d．
3．下列命題中正確的是
a．過平面外一點作此平面的垂面是唯一的
b．過直線外一點作此直線的垂線是唯一的
c．過平面的一條斜線作此平面的垂面是唯一的
d．過直線外一點作此直線的平行平面是唯一的
4．如圖，在正三稜錐p—abc中，m、n分別是側稜pb、pc的中點，若截面amn⊥側面pbc，則此三稜錐的側稜與底面所成角的正切值是
a． b． c． d．
5．如圖是正方體的平面展開圖，在這個正方體中
⑴bm與ed平行 ⑵cn與be是異面直線
⑶cn與bm成 ⑷dn與bn垂直
以上四個命題中，正確命題的序號是（ ）
ab.⑵⑷
cd.⑵⑶⑷
6．如圖，在正方體abcd—a1b1c1d1中，a1b與平面bb1d1d所成的角的大小是
a．90° b．30°
c．45° d．60°
7．三稜錐a—bcd的高ah = 3，h是底面△bcd的重心。若ab=ac，二面角a—bc—d為60°，g是△abc的重心，則hg的長為
a． b． c． d．
8．在長方體abcd—a1b1c1d1中，ab=12，bc=6，aa1=5，分別過bc和a1d1的兩個平行平面把長方體分成體積相等的三部分，則平行平面與底面abcd所成角的大小為( )
a. b. c. d.
9．稜長為a的正四面體中，高為h，斜高為h，相對稜間的距離為d，則a、h、h、d的大小關係正確的是（ ）
a．a>h>h>d b．a>d>h>h c．a>h>d>h d．a>h>h>d
10．正四稜錐的側稜長與底面邊長都是1，則側稜與底面所成的角為
a．75° b．60° c．45° d．30°
11．球面上三點中任意兩點的球面距離都等於大圓周長的，若經過這三點的小圓面積為2,則球的體積為（ ）
a． b． c． d．
12．已知α－l－β是大小確定的乙個二面角，若a,b是空間兩條直線，則能使a,b所成的角為定值的乙個條件是（ ）
a．a⊥α且b⊥β b．a∥α且b⊥β c．a⊥α且b∥β d．a∥α且b∥β
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．答案填在題中橫線上．
13．有三個球和乙個正方體，第乙個球與正方體各個面相內切，第二球與正方體各條稜相切，第三個球過正方體各頂點，則這三個球的面積之比為________。
14．將正方形abcd沿著對角線bd折成乙個四面體abcd，在下列給出的四個角度中，
①30° ②60° ③90° ④120°，不可能是ac與平面bcd所成的角是把你認為正確的序號都填上）
15．將直角三角形abc沿斜邊上的高ad折成120°的二面角，已知直角邊，那麼二面角a—bc—d的正切值為
16．右圖為一正方體，a、b、c分別為所在邊的中點，過a、b、c三點的平面與此正方體表面相截，則其截痕的形狀是 .
三、解答題：本大題共6小題，共74分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17．（本小題滿分12分）如圖，將一副三角板拼接，使它們有公共邊bc，且使兩個三角形所在的平面互相垂直，若∠bac＝90°，ab＝ac，∠cbd＝90°，∠bdc＝60°，bc＝6。
⑴求證：平面平面acd；
⑵求二面角的平面角的正切值；
⑶設過直線ad且與bc平行的平面為，求點b到平面的距離。
18．（本小題滿分12分）正三稜柱abc—a1b1c1的側稜長和底面邊長都等於2，d是bc上一點，且ad⊥bc.
⑴求證：a1b∥平面adc1;
⑵求截面adc1與側面acc1a1所成的二面角d—ac1—c的大小.
19．（本小題滿分12分）如圖，某建築物的基本單元可近似地按以下方法構作：先在地平面內作菱形abcd，其邊長為1，∠bad＝60°，再在平面的上側，分別以△abd與△cbd為底面安裝上相同的正三稜錐p－abd與q－cbd，∠apb＝90°。
⑴求證：pq⊥bd；
⑵求二面角p－bd－q的大小；
⑶求點p到平面qbd的距離。
20．（本小題滿分12分）梯形bcdq中，bc∥qd，bc=1，qd=4，過b點的高ab=1，且a點平分qd，將△qba沿ab折起，記折起後點q的位置為p，且使平面pab⊥平面abcd
⑴求證：平面pcd⊥平面pac；
⑵求直線ad與平面pcd所成角的正弦值；
⑶求二面角a—pd—c的正弦值.
21．（本小題滿分12分）如圖，已知三稜錐s—abc的三條側稜長均為10，若且.
⑴求證：平面sab⊥平面abc；
⑵求：三稜錐s—abc的體積.
22．（本小題滿分14分）如圖,異面直線ac與bd的公垂線段ab=4,又ac=2,bd=3,cd=4.
⑴求二面角c—ab—d的大小；
⑵求點c到平面abd的距離；
⑶求異面直線ab與cd間的距離。
高三單元試題之九：直線、平面、簡單幾何體參***
一、1．d 2．a 3．c 4．b 5．c 6．b 7．c 8．b 9．d 10．c 11．c 12．a
二、13．1：2：3 14． ③④ 15． 16．矩形(長方形)
三、17．⑴平面bcd⊥平面abc，bd⊥bc，平面bcd∩平面abc＝bc，∴bd⊥平面abc。
ac平面abc，∴ac⊥bd，又ac⊥ab，bd∩ab＝b，∴ac⊥平面abd。
又ac平面acd，∴平面abd⊥平面acd；
⑵設bc中點為e，連ae，過e作ef⊥cd於f，連af。
由三垂線定理：∠efa為二面角的平面角
∴二面角的平面角的正切值為2 。
（iii）過點d作dg//bc，且cb＝dg，連ag
∴平面adg為平面
∥平面adg
∴b到平面adg的距離與c到平面adg的距離h
．18．⑴解：在正三稜柱abc—a1b1c1中，∵ad⊥bc，∴d是bc的中點。
連a1c交ac1於e，則e是a1c的中點，連ed，則ed為△a1bc的中位線。
∴ed∥a1b。又ed平面adc1，∴a1b∥平面adc。
⑴過d作dm⊥ac於m，∵正三稜柱abc—a1b1c1中，側面acc1a1⊥底面abc，
dm底面abc，∴dm⊥側面acc1a1，作mn⊥ac1於n，連nd，則根據三垂線定理知：ac1⊥nd，∴ac1⊥面ndm，∴∠dnm即為二面角d—ac1—c的平面角，
在rt△dmc中，dm=dc
在rt△anm中，nm=am
在rt△dmn中，tan∠dnm=
即所求二面角的大小為
19．解：證明
∵p－abd，q－cbd是相同的正三稜錐，∴△這bd與△qbd是全等的等腰三角形，
取bd中點e，鏈結pe，qe，則bd⊥pe，bd⊥qe
∴bd⊥平面pqe ，從而pq⊥bd。
⑵證明：由⑴知∠peq是二面角p－bd－q的平面角；
作pm⊥α，垂足為m，作qn⊥α，垂足為n，則pm//qn，m，n分別為正與正的中心，從而a，m，e，n，c在一條直線上。
pm與qn確定平面pacd且pmnq為矩形
經計算，
，二面角為。
⑶解：由⑴知：平面peq，設點p到平面qbd的距離為h
則又。即點p到平面qbd的距離為。
20．⑴（如右圖）證：
又，且平面pab⊥平面abcd，∴pa⊥平面abcd.
∴pa⊥cd. ∴cd⊥平面pac. 又cd平面pcd，
∴平面pcd⊥平面pac.
（2）過a作ae⊥pc於e. ∴ae平面pac.
由（1）知平面pac⊥平面pdc， ∴ae⊥平面pcd. 連線ed，
∴∠ade是直線ad與平面pdc所成的角.，
（3）解由（2）∵ae⊥平面pdc，過e作ef⊥pd於f，鏈結af，∴af⊥pd.
∴∠afe是二面角a—pd—c的平面角.
21．解：⑴在同理
因為，所以ac2+bc2+ab2，即△abc是直角三角形（∠acb=90°）.又sa=sb=sc=10，則s在底面的射影o為△abc的外心，由△abc是直角三角形知o為斜邊ab的中點. ∴so⊥平面abc，so平面sab.
∴平面sab⊥平面abc.
⑵可求得
22．⑴過a作ae∥bd，過d在作de⊥ae，垂足為e， ab⊥bd ∴ab⊥ae 又 ab⊥ac ∴∠cae 為二面角c－ab－d的平面角，這時ab ⊥平面ace，於是de⊥ 平面ace,連ce在rt△cde中，cd=4，de=ab=4，∴ce=4，在△ace中，ae=bd=3，ac=2，由餘弦定理得
即二面角c—ab—d 的大小為；
⑵由⑴可知，過c在平面ace內作ch⊥ae，垂足為h，∵ab⊥平面ace，∴平面abd⊥平面ace，∴ch⊥平面abd，則ch為c到平面abd的距離，；
⑶∴ab∥de，∴ab與平面cde的距離即ab與cd的距離，在平面ace內作an⊥ce，垂足為n， de⊥平面ace。 ∴平面cde⊥平面ace，於是an⊥平面cde。則an為ab與平面cde的距離。
在△ace中可得an=，即ab與cd的距離為。
專題九直線 平面 簡單幾何體
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