———— 一道習題的延伸
山東省萊陽市穴坊鎮中心中學王良良
在魯教版初中數學課本八年級下冊p106頁提出了這樣乙個問題：在乙個反比例函式圖象上任取兩點p、q，過點p分別作x軸和y軸的平行線，與座標軸圍成的矩形面積為s1，過點q分別作x軸和y軸的平行線，與座標軸圍成的矩形面積為s2，那麼s1與s2有什麼關係？為什麼？
對於上面的問題，應結合反比例函式中的幾何意義來解決。如圖1所示，若p(x,y)是雙曲線y＝(k≠0)上任意一點，過p作pb⊥x軸於b，pc⊥y軸於c，則ob=|x|,oc=|y|，所以s矩形pboc=ob·oc=|xy|，又因xy=k，即s矩形pboc=|k|，將其繼續推廣，可得s△pob=s△poc=，由此可以很容易解決課本中的問題。
將反比例函式和正比例函式的影象結合，也會有意想不到的結論。如圖2所示，反比例函式y＝與正比例函式y=mx相交於兩點a、b，過其中任意一點向某一座標軸作垂線，由交點與垂足所構成的三角形的面積s△abc=|k|。
若借助於這些基本圖形，學生在解決反比例函式面積類的問題時，就不會覺得困難了。下面結合幾個例題分析此類問題的解法，供參考。
例1 如圖3，一次函式的圖象y=x-2分別交x軸、y軸於a、b，p為ab上一點，且pc為△aob的中位線，pc的延長線交反比例函式y＝(k≠0)的圖象於點q，s△ocq=,求k的值和點q的座標。
解析：因為s△ocq=，所以k=2×=3，易求得點a(4,0)，點c的橫座標為2，代入y=，得y=，所以點q的座標為(2,3)。
例2 兩個反比例函式y＝(k≠0)和y=在第一象限內的圖象如圖4所示，點p在y＝的圖象上，pc⊥x軸於點c,交y=的圖象於點a，pd⊥y軸於點d，交y=的圖象於點b，當點p在y＝的圖象上運動時，以下結論：①△odb與
△oca的面積相等；②四邊形paob的面積不會發生變化；③pa與pb始終相等；④當a是pc中點時，點b一定是pd的中點。其中一定正確的是
解析：因為s△odb=s△oca=，所以①正確。又因為s四邊形paob=s矩形pdoc-s△odb-s△oca=k-1，當k值固定不變時，顯然四邊形paob的面積不會發生變化，故②正確。
由於點p是動點，所以pa與pb不可能始終相等，所以③錯誤。由於s△odb=s△oca，若a為pc中點，則s△oca=s矩形pdoc，即s△odb=s矩形pdoc，此時b也為pd中點，故④正確。綜上可知，應填①②④。
例３ 在反比例函式y=的影象中，陰影部分的面積不等於４的是（ ）
解析：由基本圖形知，選項a中的圖形的面積為|k|=4，c、d兩個圖形的面積都為|k|=4，所以選b。
綜上所述，利用基本圖形及其結論，能夠將複雜的問題簡單化，幫助學生在較短的時間內抓住問題的本質，進而提高學生的思維水平。教師在教學過程中，要不斷的引導學生發掘、提煉、總結基本圖形，從而提高學生的數學素養和創造性解決問題的能力。
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