「三角形邊的關係」教學思考與實踐
清華附小張紅
實錄整理：清華附小王立星
思考：一、哪種方式更容易幫助學生理解三邊關係？
「三角形三邊之間的關係」這一內容，中小學教材中都有：
中學教材：
小學教材：
學生理解三角形邊的關係，一般有以下幾種方法：一是利用歐氏幾何中「兩點之間線段最短」這一公理；二是用不完全歸納的方法，通過比較任意兩邊長度之和與第三邊長度發現規律；三是通過固定乙個端點重合的兩邊，觀察第三邊的變化，或固定一邊，觀察另外兩邊的變化，發現三角形任兩邊和必須大於第三邊。
從教材編排來看，中學重在證明，小學重在直觀理解。上面三種方法都可以在小學應用，第一種方法學生憑生活經驗都能理解，但從提出問題到得出結論，都需要教師帶領，而且中學還要進一步利用公理證明。第二種方法便於學生操作，但大部分時間學生都要按教師的指令活動，學生自己的思考少。
最後學生發現的只是這幾組線段的共同特點，對為什麼要選取這幾組線段，為什麼三角形任意兩邊的和要大於第三邊學生不能真正理解。也就是說這樣的活動很好地解決了三邊關係是什麼的問題，但對為什麼必須具備這樣的關係揭示不足。第三種方法能彌補這一不足，而且研究會促使學生進一步體會三角形的意義，為中學學習積澱更多的活動經驗。
但教的痕跡較重。要淡化教的痕跡，讓學生由被動變主動，就需要進一步思考從哪切入方便學生自己研究。
二、對理解三角形三邊關係來說，圍成的和圍不成的，誰的價值更大？
要真正理解三角形三邊關係，圍不成的現象會帶給學生更多的啟發。學生把什麼情況下會圍不成研究透了，再把圍不成的情況排除，怎樣的情況能圍成就很好理解了。
三、要不要給學生提供現成的小棒？要不要量小棒的長度？
提供現成的小棒試圍三角形，學生就不會去主動思考怎樣的三根小棒圍不成三角形。同時學生在量小棒長度時會出現誤差，這樣會使他們更多地關注資料本身。更重要的是我們是在借小棒研究三角形，量小棒誤差大的時候會影響學生對問題實質的理解。
調研：學生能用上面提到的第三種方法自己探索並發現三角形三邊關係嗎？要回答這一問題，必須先了解學生前期對三角形邊的關係有哪些認知基礎。
我對我校四年級乙個班的38名學生進行了問卷調查，發現有12個學生知道三邊關係，但多數表述不清或表述錯誤，有4個學生是真正理解。
在此基礎上，我從這個班選取了6名學生（2名成績較優秀，2名成績中等，2名成績有待提高）做進一步的觀察與訪談。內容是：
老師準備了兩根吸管，請你自己再裁一根，使這三根吸管首尾相接圍成三角形。隨便裁一根行不行？你是怎麼想的？（提示：可以擺小棒或者畫圖研究）
6名學生均用10分鐘左右的時間完成了任務。
生1：教師追問為什麼必須滿足這樣的條件，學生又畫了一**：
很明顯，這個學生知道結論，而且一直在用結論解釋結論，但並不明白道理。同時她認為三角形兩邊的和等於第三邊能圍成三角形。
生2：這個學生發現了一種圍不成的情況，另外兩名學生經過長時間思考也得出了跟他同樣的結論。看學生批掉的句子，我們可以看出學生原來並沒關注到問題的本質，通過試圍小棒，改變了原來的想法。
生3： 寫得很亂，原話如下：
隨便裁的時候要有一定的要求，如果說用兩根長的和一根短的就可以成乙個三角形。如果說每三根不一樣長的管子也可以成乙個三角形。
他意識到不是任意三根小棒都能圍成三角形，但沒有找到解決問題的關鍵。
生4：這是一位班級內成績有待提高的學生，她寫得不太清楚，通過追問，發現她是真理解了。
前面的觀察與訪談活動帶給我很多啟發（後邊一併說明），但我發現多數學生不容易想
到兩短邊和與較長邊同樣長這一情況，主要是設計的問題並不需要學生考慮周全。於是我把問題重新調整為：請你把一根吸管剪成三段，使這三段圍不成乙個三角形。
思考圍不成的原因是什麼？如果要改變最長的吸管的長度，使它們能圍成三角形，最長要多長？最短呢？
如果在剪吸管的活動中學生想不到同樣長的情況，後邊在研究最長要多長、最短要多短時也會自然面臨同樣長怎麼辦的問題。對這一問題學生能否自己研究呢？我又選取了班內3名學生（a：
成績較優秀，在學奧數。b：成績較優秀，沒有學過奧數。
c：成績有待提高）做二次觀察。觀察情況小結如下：
生a已經知道結論，也知道結論是怎麼來的，通過拼擺觀察，他又有了一些新的發現，比如他談到只要兩條短邊相加比第三邊長就行了，不長的話就沒有高了。最長要這兩邊之和稍大於第三邊，最短要小於這兩邊之差。
生b是不知道結論的，她從遇到困難到解決問題開始，自始至終運用一根吸管不斷地拼擺，思考，最終找到結論。
生c：（在擺吸管約5分鐘後）發現邊的長短與角度有關係： 最長長到那兩根（較短的兩根小棒）最大角度就行了（指比180度小一點），因為兩個端點離得最長（遠），最短短到最小角度，因為角度越小空隙越小，就短些。
以上調研說明學生是可以自己研究的，而且研究會使不同層次的學生有不同的發展：它可以很好地幫助中等和中等以下學生理解學習內容。對只是知道結論的學生，可以通過操作達到真理解；對已經掌握了這部分內容的學生，可以使他們進一步思考與此相關的更多的問題。
同時，活動對發展學生的空間觀念非常有幫助，也會促使學生更多地用聯絡變化的眼光來看問題：角的變化會帶來邊的變化，它們是互相影響的，而不是研究邊眼裡就只有邊。
實踐：( 一)**任意三條線段能否圍成乙個三角形
師：今天這節課我們一起研究三角形。（板書）請看螢幕：
隨著六個圖形依次出現，教師問：下面哪些圖形是三角形？
學生靜靜地觀察幾秒鐘後，舉起了手。
生1：第①、②、⑤、⑥個圖形是三角形。
師：為什麼第③和第④個就不是三角形呢？
生2：第④個有一塊沒有接上。第③個有一塊被分出來了。
師：能明白她的話嗎？
其餘學生：明白。（ 教師點選滑鼠，第③和第④個圖隨之消失）。
師：三角形是由三條線段圍成的圖形，想一想，是不是三條線段一定能圍成乙個三角形呢？
話音剛落，馬上有人舉手，教師沒有馬上請孩子回答，而是靜靜地等待更多的學生有了自己的思考後才示意學生回答。
生3：我認為不一定，因為有的時候線條有長有短，長的要是和短的拼不起來就完了。
師：我明白你的意思了，如果我們能找到圍不成的情況，就說明三條線段不一定都能圍成乙個三角形。
現在給大家乙個任務，咱們看能不能找到這樣的三角形。每個人桌上都有一根吸管，你先想象一下，怎麼剪就可能圍不成，然後試著剪一剪，圍一圍。
學生開始剪、圍……
師：真有圍不成的呀！現在這樣，同學之間幫幫忙，讓我們都找到圍不成的情況。
學生繼續活動……
師：現在，我們請幾個同學來展示一下。
生1：生2：不同意，我覺得稍微動一動就可以圍成。
師：（對生1）你再擺擺看。
生1圍成了乙個三角形。
師：還真圍成了！掌聲感謝這兩位同學的合作。剛才這位同學（指生2）提醒大家，你怎麼圍也圍不成的時候才說明是真的圍不成。
生3把吸管剪成了5段，擺成下面的圖形：
下邊有很多反對的聲音，他聽完馬上把上邊的兩根吸管放到下邊：
師：（指生3）請你通過動作讓大家相信怎麼著都圍不成。（吸管滾來滾去，學生不好操作）
師：你用老師的工具試試好嗎？
生3在黑板上演示
（指 ）最小的都圍不成，（指）越來越往大走肯定就更圍不成了。
生4：我還知道乙個方法怎麼圍不成，比如說先剪一條比較長的邊，再剪兩條長度沒有它長的邊，無論怎麼拼也拼不成。
師：真棒，現在我們找到了這樣一種從兩邊圍圍不成的情況，還有沒從兩邊圍的嗎？（有學生示意）
師：這樣，你來前邊來給大家展示一下。你也做個動作，讓大家相信怎麼也圍不成。
學生演示從一邊圍……
還有其他圍不成的情況嗎？學生說沒有。
師：只要我們找到了一種圍不成的情況，我們就可以下結論，任意的三條線段不一定能圍成乙個三角形。
(二）探索三條線段圍成乙個三角形需要滿足的條件
師：現在，我想請大家改變這條最長邊的長度，然後和原來兩條邊合在一起，圍成乙個三角形，你有辦法嗎？
生1：可以把最長邊的長度剪成比那兩條（指兩條短邊）的長度和短。
師：哦，看來不能隨便剪，那最長剪到什麼程度，最短剪到什麼程度能圍成呢？請你靜靜的想想，有沒有辦法找到答案。
學生獨立活動……
師：有的同學找到答案了，還有一些同學有困難，有困難大家幫，四人一組商量一下，好不好？
學生小組活動……
師：誰想和大家分享一下你們的研究成果？
生2和生3：
師：他們的意見最長是這麼長，同意嗎？（有學生同意，有學生反對）
生4：我覺得最長應該這兩條短邊的夾角達到179度的時候。否則就不是乙個三角形了。
師：現在是多少度？
生5：如果相等的話，這個角是180度，這兩個角就是0度了，內角和還是180度。所以我覺得是。
師：誰還有不同意見？
生6: （指）把它（指下面長邊）剪下1公釐1奈米就能組成乙個三角形了。
師：他是說最長的邊比那兩條邊要短那麼一點點，不管是1公釐還是比1公釐小，反正是要短那麼一點點兒。
師：長邊是要和它們（指兩短邊）一樣長呢？還是要短一點點兒？給1分鐘，請各組討論一下。
生7：因為三角形肯定都是三條線段組成的，兩條短的拼在一起的話，（和長邊算在一起）只是兩條線段。兩條線段不可能拼成乙個三角形呀。
師：真正的重合是什麼樣的呢？請大家看螢幕
課件演示畫圖
師：上面兩短邊和底下的長邊都重合在一起，你根本看不到下面這條長邊，三角形是不在一條直線上的三條線段圍成的。如果想讓它們不在一條直線上，怎麼辦呢？
生：往上動那麼一點兒。
師：那最長的邊究竟可以多長呢？
生8：比最長的邊短一點點兒。
師：還可以怎麼說？
生：比兩條短邊短一點點兒
師：現在我們研究第二個問題，最短到什麼程度？
生9和生10合作
生9：我們覺得最短應該短到這兩個夾角是1度的時候。這個時候是最短的情況。
生10：我補充一下，應該短到零點一，零點零零零零零……一，無限迴圈下去，最後一位再加個一，這個時候是最短的。
師：比0度要大一點兒，是嗎？
教師課件演示兩短邊合在一起上移，角度由大變小，對應的邊也由長變短，直到這兩條邊重合在一起，邊演示教師邊講解。
師：如果三條線段圍成乙個三角形，需要滿足什麼條件？
三角形邊的關係
三角形邊的關係 聽課心得 一節好課，不僅關注學生獲得哪些知識，更關注他們是如何獲得 不僅關注學生某方面能力的發展，更關注他們能力發展的延續性 不僅關注學生學習態度和價值觀的表現，更關注他們學習經驗的可持續發展。我傾聽了孫貴合執教的 三角形邊的關係 一課，感觸很深。覺得孫老師這節課的設計和實施，的確是...
《三角形邊的關係》教學反思
3 密切數學知識與現實生活的聯絡。蘇霍姆林思激曾經說過 源於生活的教育是最無痕的教育。數學離不開生活，數學知識源於生活而最終服務於生活。本節課我結合學生已有的生活知識和生活經驗，創設學生熟知的 貼近他們生活實際的教學活動情境，架起現實生活與數學學習的橋梁，使學生從周圍熟悉的事物中學習，感受數學與現實...
三角形邊的關係教學設計
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