初中已研究過解直角三角形，這節所研究的正、餘弦定理是解直角三角形知識的延伸與推廣，它們都反映了三角形邊、角之間的等量關係，並且應用正、餘弦定理和三角形內角和定理，可以解斜三角形．正弦定理的推證運用了從特殊到一般的方法，把直角三角形中得到的邊角關係式推廣到銳角三角形，再推廣到鈍角三角形，進而得出一般性的結論．餘弦定理的推證採用向量的數量積做工具，將向量的長度與三角形的邊長、向量的夾角與三角形的內角聯絡起來．對於正、餘弦定理的推論，除了這節課的證法之外，還有其他的一些推證方法．教材中還要求，在證明了正、餘弦定理之後，讓學生嘗試用文字語言敘述兩個定理，以便理解其實質．當然，就知識而言，正弦定理有三個等式，可視為三個方程；餘弦定理的三個式子也可看成三個方程，每個方程中均有四個量，知道其中任意三個量便可求第四個量．
這節課的重點是正、餘弦定理的證明，以及用正、餘弦定理解斜三角形，難點是發現定理、推證定理以及用定理解決實際問題．
這節內容是在初中對三角形有了初步認識的基礎上，進一步研究三角形的邊、角之間的等量關係．對正弦定理的推導，教材中採用了從特殊到一般的方法，逐層遞進，學生易於接受，而餘弦定理的證明採用了向量的方法．應用兩個定理解三角形時，要分清它們的使用條件．將正、餘弦定理結合起來應用，經常能很好地解決三角形中的有關問題．
1. 理解正、餘弦定理的推證方法，並掌握兩個定理．
2. 能運用正、餘弦定理解斜三角形．
3. 理解並初步運用數學建模的思想，結合解三角形的知識，解決生產、生活中的簡單問題．
1. a，b兩地相距2558m，從a，b兩處發出的兩束探照燈光照射在上方一架飛機的機身上（如圖43-1），問：飛機離兩探照燈的距離分別是多少？
2. 如圖43-2，自動卸貨汽車的車廂採用液壓機構，設計時應計算油幫浦頂桿bc的長度．已知車廂的最大仰角為60°，油幫浦頂點b與車廂支點a之間的距離為1.95m，ab與水平的夾角為6°20′，ac長為1.
40m，計算bc的長．（精確到0.01m）
問題：（1）圖中涉及怎樣的三角形？
（2）在三角形中已知什麼？求什麼？
1. 教師引導學生分析討論
在問題情景（1）中，已知在△abc中，∠a＝72.3°，∠b＝76.5°，ab＝2558m．求ac，bc的長．
組織學生討論如何利用已知條件求出ac，bc的長度．（讓學生思考，允許有不同的解法）
結論：如圖40-3，作ad⊥bc，垂足為d．由三角函式的定義，知ad＝ac·sinc，ad＝ab·sinb．
由此可得ac·sinc＝ab·sinb．
又由∠a，∠b的度數可求∠c的度數，代入上式即可求出ac的長度，同理可求bc的長度．
教師明晰：
（1）當△abc為直角三角形時，由正弦函式的定義，得
（2）當△abc為銳角三角形時，設ab邊上的高為cd，根據三角函式的定義，得cd＝asinb＝bsina，所以，同理.
（3）當△abc為鈍角三角形時，結論是否仍然成立？引導學生自己推出．（詳細給出解答過程）
事實上，當∠a為鈍角時，由（2）易知.
設bc邊上的高為cd，則由三角函式的定義，得
cd＝asinb＝bsin（180°－a）．
根據誘導公式，知sin（180°－a）＝sina，
∴asinb＝bsina，即.
正弦定理在乙個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即.
正弦定理指出了任意三角形中三條邊與它對應角的正弦之間的乙個關係式，描述了任意三角形中邊、角之間的一種數量關係．
思考：正弦定理可以解決有關三角形的哪些問題？
2. 組織學生討論問題情景（2）
這一實際問題可化歸為：已知△abc的邊ab＝1.95，ac＝1.4，夾角為6°20′，求bc的長．
組織學生討論：能用什麼方法求出bc？（學生有可能有多種不同的解法）
教師明晰：如果已知三角形的兩邊和夾角，這個三角形為確定的三角形，那麼怎樣去計算它的第三邊呢？由於涉及邊長及夾角的問題，故可以考慮用平面向量的數量積．（也可用兩點間的距離公式）
如圖，設＝a，＝b，＝c，則c＝a－b．
∵｜c｜2＝c·c＝（a－b）·（a－b）＝ａ2＋ｂ2－2abcosc，
∴c2＝ａ2＋b2－2abcosc．
同理a2＝b2＋c2－2bccosa，b2＝c2＋a2－2accosb．
於是得到以下定理：
餘弦定理三角形中任何一邊的平方等於其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍．即
a2＝b2＋c2－2bccosa，
b2＝c2＋a2－2accosb，
c2＝a2＋b2－2abcosc．
思考：餘弦定理可以解決一些怎樣的解三角形問題？
3. 進一步的問題
勾股定理指出了直角三角形中三邊之間的等量關係，餘弦定理則指出了一般三角形三邊之間的等量關係，那麼這兩個定理之間存在怎樣的關係？如何利用餘弦定理來判斷三角形是銳角三角形還是鈍角三角形？
［例題］
1. （1）已知：在△abc中，a＝32.0°，b＝81.8°，ａ＝42.9cm，解三角形．
（2）已知：在△abc中，ａ＝20cm，ｂ＝28cm，a＝40°，解三角形．（角精確到1°，邊長精確到1cm）
分析：（1）本題為給出三角形的兩角和一邊解三角形問題，可由三角形內角和定理先求出第三個角，再兩次利用正弦定理分別求出另兩邊．
（2）本題給出了三角形的兩邊及其中一邊的對角，於是可用正弦定理求出b邊的對角b的正弦，sinb≈0.8999，但0＜b＜π，故ｂ角有兩個值（如圖43-8），從而c角與c邊的取值也有兩種可能．學生在解題時容易丟掉一組解，應引導學生從圖形上尋找漏掉的解．
2. （1）已知：在△abc中，已知b＝60cm，c＝34cm，a＝41°，解三角形．（角精確到1°，邊長精確到1cm）
（2）已知：在△abc中，ａ＝134.6cm，ｂ＝87.8cm，ｃ＝161.7cm，解三角形．（角精確到1′）．
分析：本例中的（1）題，給出了兩邊及其夾角，可先用餘弦定理求出第三邊，求其他兩角時既可用餘弦定理也可用正弦定理．（2）題給出了三邊長，可先用餘弦定理求出其中一角，然後同樣既可用正弦定理，也可用餘弦定理求出其他兩角．
3. ab是底部b不可到達的建築物，a為建築物的最高點．設計一種測量建築物高度ab的方法．
分析：由於建築物的底部b是不可到達的，所以不能直接測量出建築物的高．由解直角三角形的知識，只要能知道一點c到建築物頂部a的距離ca，並能測出由點c觀察a的仰角，就可以計算出建築物的高．為了求出ca的長，可選擇一條水平基線hg（如圖43-9），使h，g，b三點在同一條直線上．在g，h兩點用測角儀器測得a的仰角分別為α，β，設cd＝ａ，測角儀器的高為ｈ，則在△acd中，由正弦定理，得，sin（α－β），從而可求得ab＝ae＋h＝acsinα＋h＝＋h．
［練習］
1. 在△abc中，已知下列條件，解三角形．（角精確到1°，邊長精確到1cm）
（1）a＝45°，c＝30°，ｃ＝10cm．
（2）a＝60°，b＝45°，ｃ＝20cm．
（3）ａ＝20cm，ｂ＝11cm，b＝30°．
（4）ｃ＝54cm，ｂ＝39cm，ｃ＝115°．
2. 在△abc中，已知下列條件，解三角形．（角精確到0.1°，邊長精確到0.1cm）
（1）ａ＝2.7cm，ｂ＝3.696cm，c＝82.2°．
（2）ｂ＝12.9cm，ｃ＝15.4cm，a＝42.3°．
（3）ａ＝7cm，ｂ＝10cm，ｃ＝6cm．
1. 在△abc中，有正弦定理
這涉及比值的連等式．請探索並研究是乙個什麼樣的量，並加以證明．
2. 在△abc中，已知三邊的長為ａ，ｂ，ｃ，如何判定△abc的形狀？
3. 已知：在△abc中，ａ＝60，ｂ＝50，ａ＝38°，求b．（精確到1°）
分析：.
∵0°＜b＜180°，∴b≈31°或b≈149°，
但當b≈149°時，a＋b＝187°，這與a，b為三角形內角矛盾，故b角只能取31°．
由此題與例1中的（2）題的分析可以發現，在已知三角形兩邊及其一邊對角解三角形時，在某些條件下會出現一解或兩解的情形，那麼會不會出現無解的情形呢？
（1）當a為鈍角或直角，必須滿足ａ＞ｂ才有解（ａ≤ｂ無解），並且由sinb＝計算b時，只能取銳角，因此，只有一解，如圖43-10．
（2）當a為銳角時，
①若ａ＞ｂ或ａ＝ｂ，則由sinb＝計算b時，只能取銳角的值，因此，只有一解，如圖40-11．
②若ａ＜ｂsina，則由sinb＝，得sinb＞1，因此，無解．如圖43-12．
③若ａ＝bsina，則由sinb＝，得sinb＝1，即ｂ為直角，故只有一解，如圖43-13．
④若ｂ＞ａ＞bsina，則sinb＜1，故b可取乙個銳角和乙個鈍角的值，如圖43-14．
思考：若已知三角形的兩角和一邊、三邊、兩邊及其夾角來解三角形時，它們的解會是怎樣的？
這篇案例設計，思路清晰，突出現實．首先通過恰當的問題情景闡述三角形邊角關係產生的背景，使學生體會到了數學在解決實際問題中的作用．然後通過**、推導活動，使學生體會到了數學知識的發現和發展的歷程．例題與練習的配備由淺入深，注重了教學與自然界的關係．拓展延伸有深度，為提高學生的思維能力和創造力提供了良好平台．
總之，從現實出發建立正、餘弦定理的模型，又在現實應用中昇華有關正、餘弦定理的理解，是這篇案例的突出特點．
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