課題：4.3 任意角的三角函式（二）
教學目的：
1.理解並掌握各種三角函式在各象限內的符號.
2.理解並掌握終邊相同的角的同一三角函式值相等.
教學重點：三角函式在各象限內的符號,終邊相同的角的同一三角函式值相等
教學難點：正確理解三角函式可看作以「實數」為自變數的函式
授課型別：新授課
課時安排：1課時
教具：多**、實物投影儀
教學過程：
一、複習引入：
1.設是乙個任意角，在的終邊上任取（異於原點的）一點p（x,y）
則p與原點的距離
2.比值叫做的正弦記作：
比值叫做的余弦記作：
比值叫做的正切記作：
比值叫做的餘切記作：
比值叫做的正割記作：
比值叫做的餘割記作：
以上六種函式，統稱為三角函式.
3.突出**的幾個問題：
①角是「任意角」，當=2k+(kz)時，與的同名三角函式值應該是相等的，即凡是終邊相同的角的三角函式值相等
②實際上，如果終邊在座標軸上，上述定義同樣適用
③三角函式是以「比值」為函式值的函式
④而x,y的正負是隨象限的變化而不同，故三角函式的符號應由象限確定.
⑤定義域：
rr4.注意:
(1)以後我們在平面直角座標系內研究角的問題，其頂點都在原點，始邊都與x軸的非負半軸重合.
(2)op是角的終邊，至於是轉了幾圈，按什麼方向旋轉的不清楚，也只有這樣，才能說明角是任意的.
(3)sin是個整體符號，不能認為是「sin」與「」的積.其餘五個符號也是這樣.
(4)定義中只說怎樣的比值叫做的什麼函式，並沒有說的終邊在什麼位置(終邊在座標軸上的除外)，即函式的定義與的終邊位置無關.
(5)比值只與角的大小有關.
二、講解新課：
1. 三角函式在各象限內的符號規律：
第一象限：
∴sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0
第二象限：
∴sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0
第三象限：
∴sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0
第四象限：
∴sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0
記憶法則：
第一象限全為正,二正三切四余弦.
為正全正
為正為正
2. 終邊相同的角的同一三角函式值相等
例如390°和-330°都與30°終邊位置相同，由三角函式定義可知它們的三角函式值相同，即
sin390°=sin30° cos390°=cos30°
sin(-330°)=sin30° cos(-330°)=cos30°
誘導公式一（其中用弧度制可寫成
這組公式的作用是可把任意角的三角函式值問題轉化為0～2π間角的三角函式值問題．
三、講解範例：
例1 確定下列三角函式值的符號
(1)cos250° （2） （3）tan（－672°） (4)
解：(1)∵250°是第三象限角 ∴cos250°＜0
(2)∵是第四象限角，∴
(3)tan（－672°）＝tan（48°－2×360°）＝tan48°
而48°是第一象限角，∴tan（－672°）＞0
(4)而是第四象限角，∴.
例2 求證角θ為第三象限角的充分必要條件是
證明：必要性：∵θ是第三象限角，
∴充分性：∵sinθ＜0，
∴θ是第三或第四象限角或終邊在ｙ軸的非正半軸上
∵tanθ＞0，∴θ是第一或第三象限角.
∵sinθ＜0，tanθ＞0都成立.
∴θ為第三象限角.
例3 求下列三角函式的值
(1)sin1480°10′ (2) （3）.
解:(1)sin1480°10′＝sin（40°10′＋4×360°）
＝sin40°10′＝0.6451
(2)(3)例4 求值：sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tg4950°．
解：原式=sin(-4×360°+120°)·cos(3×360°+30°)
+cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°)+tg(360°+135°)．
=sin120°·cos30°+cos60°·sin30°+tg135°
=-1=0
四、課堂練習：
1.確定下列各式的符號
(1)sin100°·cos2402)sin5+tan5
分析:由角所在象限分別判斷兩個三角函式值的符號,再確定各式的符號.
解(1)∵100°是第二象限的角,240°是第三象限的角.
∴sin100°＞0,cos240°＜0,於是有sin100°·cos240°＜0.
(2)∵∴5是第四象限的角
∴sin5＜0,tan5＜0,於是有sin5+tan5＜0.
2. .x取什麼值時,有意義?
分析：因為正弦、余弦函式的定義域為r，故只要考慮正切函式的定義域和分式的分母不能為零.
解:由題意得解得:
即: 所以,當時，有意義.
3．若三角形的兩內角，滿足sincos0，則此三角形必為……（b）
a銳角三角形 b鈍角三角形 c直角三角形 d以上三種情況都可能
4．若是第三象限角，則下列各式中不成立的是………………（b）
a：sin+cos0b：tansin0
c：coscot0d：cotcsc0
5．已知是第三象限角且，問是第幾象限角？
解：∵則是第二或第四象限角
又∵ 則是第二或第三象限角
∴必為第二象限角
6．已知，則為第幾象限角？
解： 由 ∴sin20
∴2k22kkk+
∴為第一或第三象限角
五、小結本節課我們重點討論了兩個內容，一是三角函式在各象限內的符號，二是一組公式，兩者的作用分別是：前者確定函式值的符號，後者將任意角的三角函式化為0°到360°角的三角函式，這兩個內容是我們日後學習的基礎.
六、課後作業：
1. 確定下列三角函式值符號：
2.化簡.
解法一：(定義法)
設點p(x,y)是角α終邊上的一點，且|op|=r,則將sinα=,cosα=,tanα=,cotα=代入得：
原式=解法二：(化弦法)
原式=解法三：(換元法)
設cos2α=a,則sin2α=1-a,tan2α=,代入得
原式評注：「切化弦」與「弦化切」是三角變形的基本方法，而通過定義、換元方法，使得三角式的化簡問題轉化為代數式的化簡問題，則體現了數學中的化歸思想.
七、板書設計（略）
八、課後記：
已知sin3α+cos3α=1,求下列各式的值：
(1)sinα+cosα；(2)sin4α+cos4α
分析：對已知式的左邊利用代數公式進行變形，使原式轉化為關於sinα+cosα的方程，然後求解.
(1)解法一：∵(sinα+cosα)3
=sin3α+3sin2αcosα+3sinαcos2α+cos3α
=(sin3α+cos3α)+3(1-cos2α)cosα+3(1-sin2α)sinα
=1+3cosα-3cos3α+3sinα-3sin3α
=1+3(sinα+cosα)-3(sin3α+cos3α)
=3(sinα+cosα)-2.
∴(sinα+cosα)3-3(sinα+cosα)+2=0.
令sinα+cosα=t,則t3-3t+2=0 (t-1)2(t+2)=0.
∴t=1或t=-2
即sinα+cosα=1或sinα+cosα=-2(捨去).
解法二：∵sin3α+cos3α=(sinα+cosα)(sin2α-sinαcosα+cos2α)=(sinα+cosα)(1-sinαcosα).
∴(sinα+cosα)(1-sinαcosα)=1.
注意到sinαcosα可用sinα+cosα表示，並令sinα+cosα=t,則sinαcosα=,故上式化為t(1-)=1t3-3t+2=0.(下同解法一).
(2)解：∵sinα+cosα=1，∴(sinα+cosα)2=1sinαcosα=0.
故sin4α+cos4α=(sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α=1-2sin2αcos2α=1.
評注：對於sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα三個式子，只要已知其中乙個的值，都可計算另外兩個的值.
高一數學任意角的三角函式經典例題
例1 已知角 的終邊上一點p 15 8 r，且 0 求 的各三角函式值 分析根據三角函式定義來解 a 1 b 0 c 2 d 2 例3 若sin2 0，且cos 0，試確定 所在的象限 分析用不等式表示出 進而求解 解 sin2 0，2 在第一或第二象限，即2k 2 2k k z 當k為偶數時，設k...
高一數學三角函式
1 函式在乙個週期內的圖象如圖所示，為圖象的最高點，為圖象與軸的交點，且為正三角形。1 求的值及函式的單調遞增區間 2 若，且，求的值。2 在中，為角所對的邊，且.1 求角的值 2 若bc邊上的中線長為，求的最大值.3 已知函式圖象的一部分如圖所示 1 求函式的解析式 2 當時，求函式的最大值與最小...
任意角的三角函式
課題知識點能力目標德育目標本課重點 任意角的三角函式 1 任意角的三角函式概念能正確理解三角函式的概念培養學生探索精神三角函式的定義及理解 備註三角函式須在掌握概念的情況下，才能深入學習以後的知識，由此可見其重要性 本課難點三角函式的定義及理解 教課前練習 已知兩角,之差為1 其和為1弧度，則,的大...