高考數學總複習第七講：三角函式
一、三角函式的圖象和性質
一、教學目的：
1．使學生熟知三角函式的基本性質，並能以此為依據研究一些解析式為三角式的函式的性質，切實掌握判定目標函式的奇偶性，確定其單調區間及週期的方法。
2．會求函式y=asin(ωx+φ)的週期，或者經過簡單恒等變形便可轉化為上述函式的三角函式的週期；
3．了解正弦函式、余弦函式、正切函式、餘切函式的圖象的畫法，會用「五點法」畫四函式及y=asin(ωx+φ)的簡圖，並能解決與正弦曲線有關的實際問題。
考試內容：用單位圓中的線段表示三角函式值；正、余弦與正、餘切函式的圖象和性質；函式y=asin(ωx+φ)的圖象。
二、基本三角函式的圖象
三、（一）性質——單調性、奇偶性、週期性（注意書寫格式及對角的討論）
例1．用定義證明：f(x)=tgx在遞增。
例2．比較下列各組三角函式的值的大小
（1）sin194°和cos160°；
（2）和
（3）和；
（4）tg1，tg2和tg3；
（1）>（2）<（3）>（4）tg2化為同名、角在同一單調區間內的函式，進而利用增減性比較函式值大小。
例3．求下列各函式的單調區間
（1）；
（2）（減區間）
（3）；
（4）（增區間）
（1）4kπ-2π/3≤x≤4kπ+4π/3（增）；4kπ+4π/3≤x≤4kπ+10π/3（減），k∈z
（2）（3）[2kπ-π/2，2kπ+π/6]與[2kπ+π/2，2kπ+5π/6]（增）；
（4）6kπ-3π/4≤x<6kπ+3π/4
[2kπ-π/6，2kπ+π/2]與[2kπ+5π/6，2kπ+3π/2]（減）； k∈z
例4．有以下三個命題；
（1）因為sin(0+π)=sinπ=0，sin(π+π)=sinπ=0，
sin(2π+π)=sinπ=0，所以π是y=sinx的週期；
（2）因為sin3x=sin(3x+2π)，所以y=sin3x的最小正週期是2π；
（3）設ω≠0，因為，
所以y=sinωx的週期為。
其中正確的命題的個數為（）
a．0 b．1 c．2 d．3
例5 求下列函式最小正週期
（1）；（1）t=1；
（2）；（2）；
（3）；（3）t=π；
（4）；（4）t=π；
（5）；（5）t=2π；
（6）；（6）；
（7）y=|sin2x|；（7）；
例6求函式的週期。
解：y=4sinx·cosx·cosx=2sin2x·cos2x=sin4x
注意到函式的定義域為
在直角座標系中，畫出其圖象
觀察圖象並根據週期函式的定義，可直所求函式的週期是π。
例7．已知函式，
求：f(1)+f(2)+f(3)+……+f(100)的值。
解：由函式的週期為6
可知f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0
又100=6×16+4
∴f(1)+f(2)+……+f(100)
=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)
例8．求下列函式的最小正周
（1）1）
（2）2）t=π
求週期的一般思路大致有兩種：一是化目標函式為單函式的形式，如y=asin(ωx+φ)+b；二是可結合圖象進行判斷。
例10．試判斷下列各函式的奇偶性：
（1）f(x)=|sinx|-xctgx；
（2）f(x)=sinx-cosxtgx；
（3）；非奇非偶函式既奇又偶函式
說明：定義域在數軸上關於原點對稱，是函式具有奇偶性的必要不充分條件，所以在判斷函式的奇偶性時，一定首先判斷函式的定義域的對稱性；
在等價變換的前提下，一般先化簡解析式，再判斷奇偶性，如（2）：
函式圖象的初等變換：平移變換與伸縮變換；對稱變換
平移變換與伸縮變換一注意先平移後伸縮與先伸縮後平移的平移量不同，即綜合多步變換時，要考慮變換順序。
四、（二）y=asin(ωx+φ) ω>0的圖象及變換
三、y=asin(ωx+φ)的圖象與變換
相位變換-φ>0左移；φ<0右移；
週期變換- ω>1，橫座標縮短倍；0< ω<1，橫座標伸長倍；
振幅變換-a>1，縱座標伸長a倍；0練習：已知：如圖是函式y=2sin(ωx+φ) 的圖象，那麼
a．，；
b．，；
c．ω=2，；
d．ω=2，；
例1．用五點法作函式的簡圖，並說明它是通過y=sinx的圖象作怎樣的變換得到的。
先將y=sinx（向左平移）個單位，再把所得的各點（橫座標縮短）到原來的（1/2），（縱座標伸長）到原來的（3）而得到的。
先將y=sinx圖象的各點的（橫座標縮短到原來的1/2）倍，再把各點向（左）平移（π/6）個單位，然後把所得的各點的（縱座標伸長）到原來的（3）而得到的。
例2．函式的影象的一條對稱軸
方程是（）。
a． b．
c． d．
例3．函式在乙個週期內的圖象是（）
例4．如圖，已知正弦函式y=asin(ωx+φ)（a>0）的乙個週期的圖象，試求函式y的解析表示式
例5．已知函式，
（1）當y取得最大值時，求自變數x的集合；
（2）該函式的圖象可由y=sinx（x∈r）的圖象經過怎樣的平移和伸縮變換得到（2023年高考，難度0.70）
（1）（2）
例6．求下列各方程在區間[0，2π]內實數解的個數
（1）；
（2）sinx=sin4x；
（1）乙個實解
（2）九個實解
例7 已知函式
（1）作出它的簡圖：
（2）填空回答問題：
〈1〉振幅 2 ；
〈2〉週期 π ；
〈3〉頻率；
〈4〉相位；
〈5〉初相；
〈6〉定義域 r ；
〈7〉值域 [-2，2] ；
〈8〉當x=時 2 ；
當時， -2 ；
〈9〉單調遞增區間k∈z。；
單調遞減區間k∈z。
〈10〉當x∈k∈z時，y>0
當x∈k∈z時，y<0
〈11〉圖象的對稱軸方程 k∈z。
〈12〉影象的對稱中心k∈z。
作業：1．已知函式
求（1）f（x）的值域
（2）f（x）的最小正週期
（3）f（x）的單調區間
單調遞增區間為k∈z。
k∈z。
2．判斷下列函式的奇偶性。
（1奇）
（2偶）
（3奇）
（4偶）
（5）（偶）
3．求函式的單調區間
單調增區間為k∈z。
單調減區間為k∈z。
4．求下列函式的最小正週期
（1） （）
（2）（3） （t=π）
（4） （t=|a|π）
二、三角函式的求值
例1 求值
利用積化和差原式=
例2 求值先用半形公式降次然後和、差、積互化，原式=．
或者，配完全平方式再降次，化和差，目的只有乙個設法利用，出現特殊角．
解1原式=
解2原式
例3 求值
方法1 可用積化和差
方法2 逆用倍角公式
原式例4 求值
原式=1
例 5 求的值
原式 一般形式
例6 求值
解：原式（直接通分很麻煩，分母越簡單越好，這是原則）
例7 求值
原式例8 求值．
解：設法出現特殊角：原式
（出現倍角關係）
三、三角函式的求值
例1 求值
利用積化和差原式=
例2 求值先用半形公式降次然後和、差、積互化，原式=．
或者，配完全平方式再降次，化和差，目的只有乙個設法利用，出現特殊角．
解1原式=
解2原式
例3 求值
方法1 可用積化和差
方法2 逆用倍角公式
原式例4 求值
原式=1
例 5 求的值
原式 一般形式
例6 求值
解：原式（直接通分很麻煩，分母越簡單越好，這是原則）
例7 求值
原式例8 求值．
解：設法出現特殊角：原式
（出現倍角關係）
四、三角中常用的變角代換技巧
在三角的計算與證明中，往往要進行角之間的變換，為了得到合理的角的變換式，就必須考察待求問題中的角與已知條件中的角之間的聯絡。三角中的變角代換具有很強技巧性，本文就三角中常用到的一些變角代換作些說明。
1. 單角化復角
這裡所說的復角是指由角的和或角的差所形成的角。常用的角變換式有：
<1><2>例1. 求證：。
證明：左邊
例2. 求證：
證明：左邊
2. 單角化倍角
單角化倍角的主要角度換式有。
例3. 求證：
證明：左邊
例4. 求證：
證明：左邊
3. 倍角化復角
倍角化復角常用的角變換式有：
例5. 已知，且，，求。
解：因為
所以又因為所以所以所以4. 復角化復角
復角化復角內容豐富，但主要有以下三組變換式：
<1><2><3>例6. 已知，求之值。
解：因為，所以
所以例7. 已知，並且，試求之值。
解：因為
所以因為所以所以例8. 已知，且，求之值。
解：因為，所以
所以所以所以在有些三角問題中，有時既要把單角化為復角，同時又要把復角化為復角。
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