22.3 實際問題與一元二次方程(3)
教學內容
根據面積與面積之間的關係建立一元二次方程的數學模型並解決這類問題．
教學目標
掌握面積法建立一元二次方程的數學模型並運用它解決實際問題．
利用提問的方法複習幾種特殊圖形的面積公式來引入新課，解決新課中的問題．
重難點關鍵
1．重點：根據面積與面積之間的等量關係建立一元二元方程的數學模型並運用它解決實際問題．
2．難點與關鍵：根據面積與面積之間的等量關係建立一元二次方程的數學模型．
教具、學具準備
小黑板教學過程
一、複習引入
（口述）1．直角三角形的面積公式是什麼？一般三角形的面積公式是什麼呢？
2．正方形的面積公式是什麼呢？長方形的面積公式又是什麼？
3．梯形的面積公式是什麼？
4．菱形的面積公式是什麼？
5．平行四邊形的面積公式是什麼？
6．圓的面積公式是什麼？
（學生口答，老師點評）
二、探索新知
現在，我們根據剛才所複習的面積公式來建立一些數學模型，解決一些實際問題．
例1．某林場計畫修一條長750m，斷面為等腰梯形的渠道，斷面面積為1.6m2，上口寬比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．
（1）渠道的上口寬與渠底寬各是多少？
（2）如果計畫每天挖土48m3，需要多少天才能把這條渠道挖完？
分析：因為渠深最小，為了便於計算，不妨設渠深為xm，則上口寬為x+2，渠底為x+0.4，那麼，根據梯形的面積公式便可建模．
解：（1）設渠深為xm
則渠底為（x+0.4）m，上口寬為（x+2）m
依題意，得：（x+2+x+0.4）x=1.6
整理，得：5x2+6x-8=0
解得：x1==0.8m，x2=-2（舍）
∴上口寬為2.8m，渠底為1.2m．
（2）=25天
答：渠道的上口寬與渠底深各是2.8m和1.2m；需要25天才能挖完渠道．
學生活動：例2．如圖，要設計一本書的封面，封面長27cm，寬21cm，正**是乙個與整個封面長寬比例相同的矩形，如果要使四周的彩色邊襯所佔面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應如何設計四周邊襯的寬度（精確到0.1cm）？
老師點評：依據題意知：**矩形的長寬之比等於封面的長寬之比＝9：
7，由此可以判定：上下邊襯寬與左右邊襯寬之比為9：7，設上、下邊襯的寬均為9xcm，則左、右邊襯的寬均為7xcm，依題意，得：
**矩形的長為（27-18x）cm，寬為（21-14x）cm．
因為四周的彩色邊襯所點面積是封面面積的，則**矩形的面積是封面面積的．
所以（27-18x）（21-14x）=×27×21
整理，得：16x2-48x+9=0
解方程，得：x=，
x1≈2.8cm，x2≈0.2
所以：9x1=25.2cm（捨去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm
因此，上下邊襯的寬均為1.8cm，左、右邊襯的寬均為1.4cm．
三、鞏固練習
有一張長方形的桌子，長6尺，寬3尺，有一塊台布的面積是桌面面積的2倍，並且鋪在桌面上時，各邊垂下的長度相同，求台布的長和寬各是多少?（精確到0．1尺）
四、應用拓展
例3．如圖（a）、（b）所示，在△abc中∠b=90°，ab=6cm，bc=8cm，點p從點a開始沿ab邊向點b以1cm/s的速度運動，點q從點b開始沿bc邊向點c以2cm/s的速度運動．
（1）如果p、q分別從a、b同時出發，經過幾秒鐘，使s△pbq=8cm2．
（2）如果p、q分別從a、b同時出發，並且p到b後又繼續在bc邊上前進，q到c後又繼續在ca邊上前進，經過幾秒鐘，使△pcq的面積等於12.6cm2．（友情提示：過點q作dq⊥cb，垂足為d，則：
）分析：（1）設經過x秒鐘，使s△pbq=8cm2，那麼ap=x，pb=6-x，qb=2x，由面積公式便可得到一元二次方程的數學模型．
（2）設經過y秒鐘，這裡的y>6使△pcq的面積等於12.6cm2．因為ab=6，bc=8，由勾股定理得：ac=10，又由於pa=y，cp=（14-y），cq=（2y-8），又由友情提示，便可得到dq，那麼根據三角形的面積公式即可建模．
解：（1）設x秒，點p在ab上，點q在bc上，且使△pbq的面積為8cm2．
則：（6-x）·2x=8
整理，得：x2-6x+8=0
解得：x1=2，x2=4
∴經過2秒，點p到離a點1×2=2cm處，點q離b點2×2=4cm處，經過4秒，點p到離a點1×4=4cm處，點q離b點2×4=8cm處，所以它們都符合要求．
（2）設y秒後點p移到bc上，且有cp=（14-y）cm，點q在ca上移動，且使cq=（2y-8）cm，過點q作dq⊥cb，垂足為d，則有
∵ab=6，bc=8
∴由勾股定理，得：ac==10
∴dq=
則：（14-y）·=12.6
整理，得：y2-18y+77=0
解得：y1=7，y2=11
即經過7秒，點p在bc上距c點7cm處（cp=14-y=7），點q在ca上距c點6cm處（cq=2y-8=6），使△pcd的面積為12.6cm2．
經過11秒，點p在bc上距c點3cm處，點q在ca上距c點14cm>10，
∴點q已超過ca的範圍，即此解不存在．
∴本小題只有一解y1=7．
五、歸納小結
本節課應掌握：
利用已學的特殊圖形的面積公式建立一元二次方程的數學模型並運用它解決實際問題．
六、布置作業
1．教材p53 綜合運用5、6 拓廣探索全部．
2．選用作業設計:
一、選擇題
1．直角三角形兩條直角邊的和為7，面積為6，則斜邊為（ ）．
a． b．5 c． d．7
2．有兩塊木板，第一塊長是寬的2倍，第二塊的長比第一塊的長少2m，寬是第一塊寬的3倍，已知第二塊木板的面積比第一塊大108m2，這兩塊木板的長和寬分別是（ ）．
a．第一塊木板長18m，寬9m，第二塊木板長16m，寬27m;
b．第一塊木板長12m，寬6m，第二塊木板長10m，寬18m;
c．第一塊木板長9m，寬4.5m，第二塊木板長7m，寬13.5m;
d．以上都不對
3．從正方形鐵片，截去2cm寬的一條長方形，餘下的面積是48cm2，則原來的正方形鐵片的面積是（ ）．
a．8cm b．64cm c．8cm2 d．64cm2
二、填空題
1．矩形的周長為8，面積為1，則矩形的長和寬分別為________．
2．長方形的長比寬多4cm，面積為60cm2，則它的周長為________．
3．如圖，是長方形雞場平面示意圖，一邊靠牆，另外三面用竹籬笆圍成，若竹籬笆總長為35m，所圍的面積為150m2，則此長方形雞場的長、寬分別為_______．
三、綜合提高題
1．如圖所示的一防水壩的橫截面（梯形），壩頂寬3m，背水坡度為1：2，迎水坡度為1：1，若壩長30m，完成大壩所用去的土方為4500m2，問水壩的高應是多少?
（說明：背水坡度=，迎水坡度）（精確到0.1m）
2．在一塊長12m，寬8m的長方形平地**，劃出地方砌乙個面積為8m2的長方形花台，要使花壇四周的寬地寬度一樣，則這個寬度為多少?
3．誰能量出道路的寬度:
如圖22-10，有矩形地abcd一塊，要在**修一矩形花輔efgh，使其面積為這塊地面積的一半，且花圃四周道路的寬相等，今無測量工具，只有無刻度的足夠長的繩子一條，如何量出道路的寬度?
請同學們利用自己掌握的數學知識來解決這個實際問題，相信你一定能行．
答案:一、1．b 2．b 3．d
二、1．2+ 2-
2．32cm
3．20m和7.5m或15m和10m
三、1．設壩的高是x，則ae=x，bf=2x，ab=3+3x，
依題意，得：（3+3+3x）x×30=4500
整理，得：x2+2x-100=0
解得x≈即x≈9.05（m）
2．設寬為x，則12×8-8=2×8x+2（12-2x）x
整理，得：x2-10x+22=0
解得：x1=5+（捨去），x2=5-
3．設道路的寬為x，ab=a，ad=b
則（a-2x）（b-2x）=ab
解得：x= [（a+b）-]
量法為：用繩子量出ab+ad（即a+b）之長，從中減去bd之長（對角線bd=），得l=ab+ad-bd，再將l對折兩次即得到道路的寬，即．
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