弋陽一中數學組葉巨集
一 .教學內容分析
本課內容選自普通高中課程標準實驗教科書數學必修4（北師大版）§2.5從力做的功平面向量的數量積的第一課時,本課主要內容是向量的數量積的定義及運算律,本節課讓學生了解從特殊到一般再由一般到特殊的這種認識規律和體會概念法則的學習過程.
本節的知識結構：
二、學生學習情況分析
本節以力對物體做功作為背景，研究平面向量的數量積。學生在學習本節內容之前，已熟知了實數的運算體系，掌握了向量的概念及其線性運算，具備了功等物理知識，並且初步體會了研究向量運算的一般方法。 在功的計算公式和研究向量運算的一般方法的基礎上,學生基本上能模擬得到數量積的含義和運算律,對於運算律不一定給全或給對,對運算律的證明可能會存在一定的困難,教學中老師要注意引導學生分析判斷.
由向量的線性運算遷移、引申到向量的乘法運算這是個很自然的過渡，深入淺出、符合學生的認知規律，也有利於明確本節課的教學任務，激發學生的學習興趣和求知慾望。
三.設計思想
遵循新課標以人為本的理念，以啟發式教學思想和建構主義理論為指導，採用**式教學，以多**手段為平台，利用問題讓學生自主地參與**，在**過程中注重學生學習過程的體驗和數學能力的發展，引導學生積極將知識融入自己的知識體系。
四、教學目標
1、了解平面向量數量積的物理背景，理解數量積的含義及其物理意義；
2、體會平面向量的數量積與向量投影的關係，理解掌握數量積的性質和運算律，並能運用性質和運算律進行相關的判斷和運算；
3、體會模擬的數學思想和方法，進一步培養學生抽象概括、推理論證的能力。
五、教材重點和難點
重點是平面向量的數量積的概念和性質；用平面向量數量積表示向量的模及向量的夾角；平面向量數量積的運算律的**及應用。
難點是平面向量的數量積的定義及對運算律的**、理解；平面向量數量積的靈活應用。
六.教學過程設計
[情景1]
1、提出問題1：請同學們回顧一下，我們已經研究了向量的哪些運算？這些運算的結果是什麼？
答：向量的加法、減法及數乘運算。這些運算的結果是向量。
2、前面我們用給出物理模型、引入概念、推出性質及運算律的方式研究了，向量的加法，向量的數乘。今天我們要用同樣的方式研究向量的另一種非常重要的運算。
3、新課引入：本節課我們仍然按照這種研究思路來研究向量的另外一種運算。匯入課題：平面向量數量積的物理背景及其含義
［設計意圖］：1.明白新舊知識的聯絡性。2.明確研究向量的數量積這種運算的途徑。
[情景2]
在物理學中，我們知道，乙個物體受到了力的作用，如果在力的方向上發生一段位移，我們就說這個力對物體做了功。
（1）如果力的方向和物體的運動方向相同，功等於什麼？
答：等於力的大小和位移大小的乘積
（2）如果當力f的方向與物體運動的方向成θ角時，功等於什麼？
答：w=|f||s|cosθ
（3）如果我們將公式中的力與位移推廣到一般向量，其結果又該如何表述？
答：兩個向量的大小及其夾角余弦的乘積。
2、明晰數量積的定義
(1)向量的定義：已知兩個非零向量與，把數量叫做與的數量積（或內積），記作：，即（其中是與的夾角）。
（2）定義說明：
①記法「」中間的「·」不可以省略，也不可以用「」代替。
② 「規定」：零向量與任何向量的數量積為零。
（1）（與都是非零向量）；
設定情景：若，則向量與至少有乙個是零向量？模擬時，若或。而且此性質在解決有關線段垂直問題時具有很好的作用。
（2）當向量與共線同向時，；當向量與共線反向時，。特別地或（與二次根式性質：進行模擬）。這是求向量長度的又一重要方法。
［設計意圖］：1.認識向量的數量積的實際背景。
2.使學生在形式上認識數量積的定義。3.
從數學和物理兩個角度創設問題情景，使學生明白為什麼研究這種運算,從而產生強烈的求知慾望
3、提出問題4：向量的數量積運算與線性運算的結果有什麼不同？影響數量積大小的因素有哪些？
答：線性運算的結果是向量，而數量積的結果則是數量，這個數量的大小不僅和向量與的模有關，還和它們的夾角有關。
4、學生討論，並完成下表：
［設計意圖］：引導學生通過自主研究，明確兩個向量的夾角決定它們的數量積的符號，進一步從細節上理解向量數量積的定義。
5、研究數量積的幾何意義
（1）給出向量投影的概念：
如圖，我們把││cosθ（││cosθ）
叫做向量在方向上（在方向上）的投影，
記做：ob1=││cosθ
（2）提出問題5：數量積的幾何意義是什麼？
答：數量積·等於的長度︱︱與在的方向上的投影︱︱cosθ的乘積。
［設計意圖］：這裡將數量積的幾何意義提前，使學生從代數和幾何兩個方面對數量積的特徵有了更加充分的認識
6、研究數量積的物理意義
（1）請同學們用一句話來概括功的數學本質：功是力與位移的數量積 。
（2）嘗試練習：一物體質量是10千克，分別做以下運動：①、豎直下降10公尺；②、豎直向上提公升10公尺；③、在水平面上位移為10公尺； ④、沿傾角為30度的斜面向上運動10公尺；分別求重力做功的大小。
［設計意圖］：通過嘗試練習，一方面使學生嘗試計算數量積，鞏固對定義的理解；另一方面使學生理解數量積的物理意義，明白學科間的聯絡，同時也為數量積的性質埋下伏筆。
活動三：**數量積的運算性質
1、提出問題6：
（1）將嘗試練習中的① ② ③的結論推廣到一般向量，你能得到哪些結論？
（2）比較︱·︱與︱︱︱︱的大小，你有什麼結論？
2、請證明上述結論。
3、明晰：數量積的性質
［設計意圖］：
［設計意圖］：將嘗試練習的結論推廣得到數量積的運算性質，使學生感到親切自然，同時也培養了學生由特殊到一般的思維品質和模擬創新的意識。
活動四：**數量積的運算律
1、提出問題7：我們學過了實數乘法的哪些運算律？這些運算律對向量是否也適用？
答:①交換律：ab=ba ②結合律：(ab)c=a(bc)
③分配律：(a+b)c=ac+bc
猜想2、分析猜想：
猜想①的正確性是顯而易見的。
關於猜想②的正確性，請同學們先討論：猜測②的左右兩邊的結果各是什麼？它們一定相等嗎？
答：左邊是與向量共線的向量，而右邊則是與向量共線的向量，顯然在向量與向量不共線的情況下猜測②是不正確的。
［設計意圖］：要求學生通過對過去所學過的運算律的回顧模擬得出數量積的運算律。通過討論糾錯來理解不同運算的運算律不盡相同，看到數學的法則與法則間的相互聯絡與區別，體會法則，學習研究的重要性。
3、明晰：數量積的運算律：
4、學生活動：證明運算律2
在證明時，學生可能只考慮到λ>0的情況,為了幫助學生完善證明，提出以下問題：當λ<0時，向量與λ，與λ的方向的關係如何？此時，向量λ與及與λ的夾角與向量與的夾角相等嗎？
5、師生活動：證明運算律（3）
［設計意圖］：學會利用定義證明運算律（1）(2)，運算律(3)的圖形構造有些困難，先讓學生討論，後根據學生的情況加以指導或共同完成。
活動五：應用與提高
1、學生獨立完成：例1：判斷下列各題正確與否
［設計意圖］：通過計算鞏固對定義的理解。
例2：如圖在等腰垂直abc中，角abc=120度，腰長為4.
求： 2、師生共同完成：已知︱︱=6，︱︱=4,與的夾角為60°，求，並思考此運算過程類似於哪種實數運算？
3、學生獨立完成：對任意向量，是否有以下結論：
（1）（2）［設計意圖］：讓學生體會解題中運算律的作用，比較向量運算與數運算的異同。
4、師生共同完成：已知︱︱=3，︱︱=4, 且與不共線，k為何值時，向量+k與-k互相垂直？並討論：通過本題，你有什麼體會？
［設計意圖］：學會利用數量積來解決垂直問題，體會用數量積將幾何問題轉化為方程求解，體現向量的工具性。
5、反饋練習
（1） 已知△abc中， =, =，當·<0或·＝0時，試判斷△abc的形狀。
［設計意圖］：1.加強學生的練習。2.通過觀察、問答等方式對學生的掌握情況有了進一步的了解和把握。
活動六：小結
1、本節課我們學習的主要內容是什麼？
2、平面向量的數量積有哪些應用？
3、我們是按照怎樣的思維模式進行概念的歸納和性質的**?
［設計意圖］：通過學生討論總結，加強了學生概念法則的理解和掌握，體會整個內容的研究過程，明白了為什麼要學這些內容，學了這些內容可以做什麼，這對以後的學習有什麼指導意義。
活動七：布置作業
1、課本p95習題2.5a組2、3。
2、拓展與提高：
已知與都是非零向量，且+3 與7 -5垂直， -4與 7-2垂直，求與的夾角。（本題供學有餘力的同學選做）
［設計意圖］：通過設計不同層次的作業既使學生掌握基礎知識，又使學有餘力的學生有所提高，從而達到激發興趣和「減負」的目的。
平面向量的數量積教案
1.平面向量數量積的運算 例題1 已知下列命題 其中正確命題序號是 點評 掌握平面向量數量積的含義,平面數量積的運算律不同於實數的運算律.例題2 已知 2 3 的夾角為,分別求.解 1 當時,或 2 當時,3 當的夾角為時,變式訓練 已知,求 解 點評 熟練應用平面向量數量積的定義式求值,注意兩個向...
空間向量的數量積
教學目標 1 掌握空間向量夾角和模的概念及表示方法 2 掌握兩個向量的數量積的計算方法，並能利用兩個向量的數量積解決立體幾何中的一些簡單問題。教學重 難點 空間數量積的計算方法 幾何意義 立體幾何問題的轉化。教學過程 一 知識講解 1 空間向量的夾角及其表示 已知兩非零向量，在空間任取一點，作，則叫...
空間向量的數量積
教材 全日制普通高階中學教科書 必修 第二冊 下b 第九章第五節 空間向量及其運算 p32 教學目標 1 知識與技能 在充分了解平面向量的概念 運算及空間向量的概念 向量的加 減以及數乘向量等運算基礎上,進一步模擬 並獲得空間向量的數量積的定義 性質並掌握空間向量數量積的應用.2 過程與方法 體會數...