初三數學複習教案
課題：實數與代數式
教學目標：使學生掌握實數的概念；培養學生分析、解決問題的能力。
教學重點：掌握實數的概念，能夠判斷是熟的類別，解決實數運算。掌握代數式。
教學難點：解決不等式運算。二次根式運算。
設計人:楊柯
教學過程：
實數一、知識要點概述
2、數軸：規定了原點，正方向和單位長度的直線叫數軸，數軸上的點與實數是一一對應關係．
3、有理數都可以表示為的形式(p、q為整數且p、q互質)；任何乙個分數都可以化成有限小數或迴圈小數．
4、實數運算：在實數範圍內，可以進行加、減、乘、除、乘方和開方運算，其中除數不能為0；開偶次方時被開方數不能是負數；混合運算時，先算乘方、開方，再算乘、除，最後算加、減，有括號時，按括號指明的運算順序進行．
5、實數的大小比較有三種方法：
①數軸比較法：數軸上表示的兩實數，右邊的數大於左邊的數．
②差值比較法：對於實數a，b，當a－b＞0時a＞b；當a－b=0時，a=b；當a－b＜0時a＜b．
③商值比較法：對於兩個正數a，b，當時a＞b；當時a＜b；當時，a=b．
6、近似數與有效數字：乙個近似數，四捨五入到哪一位，就說這個近似數精確到哪一位，這時，從左邊第乙個不是0的數字起到精確到的數字止，所有的數字都叫這個數的有效數字．
7、科學記數法：把乙個數記成a×10n的形式，叫做科學記數法，其中1≤|a|＜10，n為整數，科學記數法表示的數的有效數字以a的有效數字計算．
8、非負數：正數和零統稱為非負數，象|a|，a2，形式的數都是表示非負數．
9、非負數的性質：①最小的非負數是零；②若n個非負數的和為零，則每個非負數都為零．
二、典例剖析
例1、實數a，b在數軸上對應點的位置如圖所示，化簡．
解： 由數軸可知：a＞0＞b，|a|＜|b|得b－a＜0，a＋b＜0，所以：
點評：數形結合的思想是本題的解題關鍵，應學會從數軸上讀出足夠多的資訊為自己所用，同時要熟記各種法則及應用．
例3、(1)如果，求2x－y＋z的值．
(2)若|x＋2y＋3|＋x2＋y2=2xy，求xy的值．
點評： 算術平方根、絕對值、平方等具有非負性，在解題時應注意運用，同時注意幾個非負數的和為零時，可得絕對值內代數式為0，算術平方根的被開方數為0，平方的底數為0．
例4、填空題：
(1)近似數3.20×107精確到________位，有________個有效數字．
(2)將908070萬保留兩個有效數字，用科學記數法表示為________．
(3)光的速度約為3×105千公尺/秒，太陽光射到地球上需要的時間約為5×102秒，則地球與太陽的距離是________千公尺．
解：(1)十萬，3
(2)9.1×109
(3)3×105×5×102=1.5×108千公尺
點評： 科學記數法是中考中常考的題目．應根據指定的精確度或有效數字的個數用四捨五入法求實數的近似值，並會用科學記數法．
例5、已知a、b是有理數，且，求a、b的值．
點評： 把原等式整理成有理數與無理數兩部分，運用實數的性質建立關於a、b的方程組．
例6、函式y=|x＋1|＋|x＋2|＋|x＋3|，當x取何值時，y有最小值且最小值是多少？
分析： 先確定三個絕值的零點值，把x的取值範圍分為四個部分，然後逐一討論所求代數式的取值情況從而確定其最小值．
解： 當x≥－1時，y=x＋1＋x＋2＋x＋3=3x＋6≥3；
當－2≤x＜－1時，y=－x－1＋x＋2＋x＋3=x＋4≥2；
當－3≤x＜－2時，y=－x－1－x－2＋x＋3=－x，此時無最小值；
當x＜－3時，y=－x－1－x－2－x－3=－3x－6，此時無最小值．
所以當x=－2時，y的值最小，最小值是2．
點評： 解答此類題目的一般步驟是：①求零點，劃分區間；②按區間分別去掉絕對值的符號．
整式一、知識要點概述
1、代數式的分類
2、同類項：所含字母相同並且相同字母的指數也分別相同的項叫做同類項．合併同類項時，只把同類項係數相加，字母和字母的指數不變．
3、整式的運算
(1)整式的加減——先去括號或添括號，再合併同類項．
(2)整式的乘除
a．冪的運算性質
①am·an=am＋n(a≠0，m，n為整數)
②(am)n=amn(a≠0，m，n為整數)
③(ab)n=anbn(n為整數，a≠0，b≠0)
b．零指數冪與負整數指數冪
(3)乘法公式
a．平方差公式(a＋b)(a－b)=a2－b2
b．完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab＋b2
4、基本規律
(1)代數式的分類遵循按所給的代數式的形式分類．
(2)同類項的尋找是遵循兩同兩無關法則(字母相同，相同字母的指數相同；與係數無關，與字母的排列順序無關．)
(3)整式的運算法則與有理數運算法則類似．
5、因式分解：把乙個多項式化為幾個整式的積的形式叫多項式的因式分解．
6、因式分解的基本方法：①提取公因式法；②公式法；③分組分解法；④十字相乘法．
7、因式分解常用的公式如下：
①a2－b2=(a＋b)(a－b)
②a2±2ab＋b2=(a±b)2．
二、典例剖析
例1、填空題
(1)如果單項式與－2x3ya＋b是同類項，那麼這兩個單項式的積是
(2)m，n滿足|m－2|＋(n－4)2=0．分解因式：(x2＋y2)－(mxy＋n)．
例2、若3x3－x=1，求9x4＋12x3－3x2－7x＋2008的值．
分析： 此類代數式求值問題，一般採用整體代入法，即將要求的代數式經過變形，使之含有3x3－x－1的乘積的代數和的形式，再求其值．
解：由3x3－x=1得3x3－x－1=0
所以9x4＋12x3－3x2－7x＋2008
=3x(3x3－x－1)＋4(3x3－x－1)＋2012
=2012
例3、已知多項式2x2＋3xy－2y2－x＋8y－6可分解為(x＋2y＋m)(2x－y＋n)的形式，求的值．
分析： 由題設可知，兩個一次三項式的積等於2x2＋3xy－2y2－x＋8y－6，根據多項式恒等的條件可列出關於m，n的二元一次方程組，進而求出m、n．
解：由題意得：
(x＋2y＋m)(2x－y＋n)=2x2＋3xy－2y2－x＋8y－6
又因為(x＋2y＋m)(2x－y＋n)=2x2＋3xy－2y2＋(2m＋n)x＋(2n－m)y＋mn
根據多項式恒等的條件，得：
點評：解此類題的關鍵是利用多項式恒等對應項的係數相等得到相關方程組，求待定係數．
分析： 本題若直接計算是很複雜的，因每個括號內都是兩個數的平方差，故可利用平方差公式使計算簡化．
點評：涉及與乘法有關的複雜計算，要創造條件運用公式簡化計算．
例5、已知a、b、c，滿足，求(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2的最大值．
分析： 條件等式和待求代數式都涉及數的平方關係，由此聯想到利用完全平方公式求其最大值．
例6、若2x3－kx2＋3被2x＋1除后餘2，求k的值．
分析： 要求k的值，需找到關於k的方程，由2x3－kx2＋3被2x＋1除后餘2，可知2x3－kx2＋1能被2x＋1整除，由此可得關於k的一次方程．
點評：關鍵是利用餘數定理找出關於k的方程，當f(x)能被x－a整除時，f(a)=0．
例7、分解因式
(1)a4＋4；
(2)x3－3x2＋4；
(3)x2＋xy－6y2＋x＋13y－6；
(4)(x＋y)(x＋y＋2xy)＋(xy＋1)(xy－1)
解：(1)a4＋4=a4＋4a2＋4－4a2=(a2＋2)2－(2a)2=(a2＋2a＋2)(a2－2a＋2)
點評： 本題不可分組，又無法直接運用公式，但這兩項都是完全平方數，因此可通過添項利用公式去分解．
(2)解法一：x3－3x2＋4=x3＋x2－4x2＋4
=x2(x＋1)－4(x＋1)(x－1)
=(x＋1)(x－2)2
解法2：x3－3x2＋4=x3＋1－3x2＋3
=(x＋1)(x2－x＋1)－3(x＋1)(x－1)
=(x＋1)(x2－4x＋4)=(x＋1)(x－2)2
解法3：x3－3x2＋4=x3＋x2－4x2－4x＋4x＋4
=x2(x＋1)－4x(x＋1)＋4(x＋1)
=(x＋1)(x2－4x＋4)
=(x＋1)(x－2)2
點評： 這是乙個關於x的三次式，直接運用分組分解法是難以完成的，可以先將二次項或常數項進行拆項，再進行恰當的分組分解．
(3)設x2＋xy－6y2＋x＋13y－6=(x＋3y＋m)(x－2y＋n)
=x2－2xy＋nx＋3xy－6y2＋3ny＋mx－2my＋my
=x2＋xy－6y2＋(n＋m)x＋(3n－2m)y＋mn
比較左、右兩邊對應項係數得：
∴x2＋xy－6y2＋x＋13y－6=(x＋3y－2)(x－2y＋3).
點評： 這是乙個二次六項式，運用分組分解法有困難，根據整式乘法可知，這個二次六項式可分解為兩個一次三項式，且前三項二次式x2＋xy－6y2=(x＋3y)(x－2y)，由此可知，這兩個一次式的常數項待定，因此可用待定係數法分解．
(4)設x＋y=a，xy=b
則原式=a(a＋2b)＋(b＋1)(b－1)=a2＋2ab＋b2－1
=(a＋b)2－1=(a＋b＋1)(a＋b－1)
=(x＋y＋xy＋1)(x＋y＋xy－1)
=(x＋1)(y＋1)(x＋y＋xy－1)
點評： 整體思想，換元思想是常用的數學思想方法，此題設x＋y=a，xy=b進行代換後，再運用公式法和提公因式法來分解．
分式一、知識要點概述
1、分式的概念和性質
(1)定義：若用a、b表示兩個整式，a÷b可以寫成的形式，若b中含有字母，式子叫做分式．
說明：1°分式的值為0的條件是：分子為零且分母不為0；2°當分母為零時，分式無意義；3°分式的基本性質是分式運算的重要依據，分式的運算方法和順序與分數的運算類似．
2、分式的運算法則
說明：分式的符號變化法則是指整個分子分母和分數線前的符號，切忌隻變分子或分母中第一項符號．
3、約分：根據分式的基本性質，把分式的分子和分母中的公因式約去，叫做約分．
代數式設計與反思
儀徵市月塘中學孫獻春 一 教材依據 代數式 是江蘇科學技術出版社七年級 數學 上 中第三章的重點內容之一，在教材的編排中起著至關重要的作用。本節課的主要內容是了解代數式的定義，能辨別代數式，並能正確地書寫代數式以及理解代數式在生活中的應用。二 設計思想 1 指導思想 義務教育階段的數學新課程標準明確...
用代數式推理與證明
1 現用符號表示自然數的各個數字上的數字之和，如，試問是否存在這樣的自然數使得。2 當時，關於的二次多項式的值為，試求時該代數式的值。3 已知 均為整數，且為正數，並滿足關係式 試求的最大值。4 已知 試求的值。5 一種商品，如果進價降低10 且售價保持不變，那麼利潤率就要增加12 試問這種商品原來...
《代數式》教學設計
教學準備 1.學前分析 學生在認識了有理數之後，對有理數有了充分的認識，而在小學時已經學習了用x表示方程中的未知數，這本身就是用字母x表示數，因此，課堂上可以提示學生對用字母表示數的方法在以後的學習中作用很大，以激發學生的學習興趣。2.教學目標 一.知識目標.1.在具體情景中進一步理解字母表示數的意...