教學設計：點到直線的距離公式
一、教材分析
點到直線的距離公式是高中解析幾何課程中最重要的也是最精彩的公式之一，它是解決點與直線 、直線與直線位置關係的基礎，也是研究直線與圓、圓與圓的位置關係的重要工具，同時為後面學習圓錐曲線做準備。教材試圖讓學生通過學習、**點到直線的距離公式的思維過程，深刻領會蘊涵於其中的數學思想和方法；逐步學會利用數形結合、演算法、轉化、函式等數學思想方法來解決數學問題；充分體驗作為學習主體進行**、發現和創造的樂趣。
二、學情分析
我上課的班級是淮北一中的實驗班，從總體上看，本班學生的數學基礎比較好，平時肯思考問題，鑽研精神強，有較好的自主學習和**學習能力，同時，學生已掌握直線的方程和平面上兩點間的距離公式，具備了**新問題的一定的基礎知識。但學生大容量的自主**，對課堂教學過程的控制帶來一定的難度。
三、教學目標
(1)經歷點到直線的距離公式探索過程，抽象出求點到直線距離的步驟；理解用數形結合、演算法、轉化、函式等數學思想來研究數學問題的方法；
(2)會利用點到直線的距離公式求點到直線的距離。
(3)通過自主**、合作交流等方式，培養學生勇於探索、自主**和發散思維能力和合作互助的團隊精神。
（4）通過解題方法的多樣性，展現數學思維的靈活性和開闊性，使學生體會解析幾何的魅力。
四、教學重點
點到直線的距離公式的**過程及公式的簡單應用。
五、教學難點
點到直線的距離公式的**。
六、教學方法
以「學生為主體，教師為主導，問題解決為主線，能力發展為目標」的教學思想為指導，採用「問題**」的教學方法。通過創設問題情景，引導學生在自主**與合作交流中構建新知識。
課堂實錄：
師：同學們！我們知道，數學像文學作品一樣，**於生活，高於生活，並指導生活。那麼，在你的生活中，聽說過以下問題嗎？它們又是怎樣的數學問題？
（多**演示）
如圖，在鐵路的附近，有一座倉庫，現要修建一條公路使之連線起來，那麼怎樣設計能使公路最短? 最短路程又是多少?
生1：我們可以從倉庫向鐵路做垂線，沿垂線段鋪設公路可使其最短。
師：很好！將來你肯定是乙個合格的工程師。再來看下乙個：
（多**演示）
報道：9月15號13號颱風「珊珊」從太平洋出發以近直線型路線運動，如圖，颱風波及區域約直徑100海浬，請**台北人民是否需要做颱風來臨前的相關工作？
（左圖，黑色線代表颱風路線，右上角紫色區域代表台北市）
（設計意圖：蘇聯著名數學家辛欽說過；「我想盡力做到引進新概念、新理論時，學生先有準備，能盡可能地看到這些新概念、新理論的引進是很自然的，甚至是不可避免的。我認為只有利用這種方法，在學生方面才能非形式化地理解並掌握所學到的東西」因此，通過實際問題，創設情境，呼應數學**於生活，激發學生學習的興趣和**問題的慾望。
）生2：如果可以把台北市看作乙個點，那麼，需要計算台北市到颱風路線所在直線的距離，比較這個值和50海浬的大小，若該值較大，則台北人民可以高枕無憂，否則，需做準備工作。
師：回答的很好！以上兩個生活情景和怎樣的數學問題有關？
生齊答：點到直線的距離。
師：什麼是點到直線的距離，你能給它下個定義嗎？
（設計意圖：從感性認識上公升到理性認識，用數學語言表述需準確、精煉、具有高度概括性。此處，為了訓練學生的表達能力而設計，同時為用定義法求點到直線的距離埋下伏筆。）
生3：經過點做已知直線的垂線，垂線的長即點到直線的距離。
生4：不對。怎能是垂線的長，應該是垂線段的長。
師：學生4訂正的很好！「垂線段的長」再具體些是不是「點和垂足間的距離」？
（多**演示）
點到直線的距離：經過點做已知直線的垂線，點和垂足之間的距離。
師：明確了點到直線的距離的概念後，我們回頭看看颱風問題：
(多**演示)
若在某給定的座標系下，在一定的比例尺下，颱風的路線所在的直線方程為台北市所在點的座標為（3，4），此時颱風波及區域的直徑為10，你
能解決上述問題嗎？
（思考，片刻）
（設計意圖：呼應數學高於生活，增強學生的建模意識，能抽象出數學模型，為解決問題做準備工作）
生5：這個問題相當於已知點p（3，4），直線的方程為求點p到直線l的距離. 我們可以先利用點斜式求直線l的垂線l』的方程，然後，直線方程和垂線的方程聯立，可解出垂足座標，再利用兩點間距離公式即可求出點到直線的距離。
（學生5表述時，師在黑板上畫出點和直線）
師：回答的好極了！學生5不僅抽象出了數學模型，而且給出了解題方法。
（螢幕顯示：已知點p（3，4），直線的方程為求點p到直l的距離？）他的方法，實質上是把定義演繹了一遍。
你們看「點到直線的距離」的定義，不正是這樣敘述的嗎？下面讓我們共同來看看用定義的方法解題的步驟。
（數學概念是學生能順利分析問題、轉化問題的必要條件，用上述方法求解點到直線的距離，思路最自然的原因，就是學生對其概念已經認知）
（多**演示）
（設計意圖：新教材引入演算法的目的——讓程式化思想成為我們思考問題的習慣。此環節是為了訓練學生有條理的分析問題，滲透演算法思想）
師：學生5已經率先找到解決問題的方法了。你也是這樣想的嗎？你還有其它方法嗎？師在黑板左側板書：求點到直線的距離的方法（1）利用定義；）
（設計意圖：對於不同的學生，他們有不同的認知結構，即使在相同的外部刺激下都會有不同的同化和順應，因而，要相信會有不同的解題方法，否則需改變或增加外部刺激。）（關於「同化和順應」見後注）（預案1）
（很多學生舉起了手）
生6：老師，我有乙個新方法：過點p分別作x軸，y軸的平行線，交直線l於a，b兩點，再過點p作l的垂線，垂足為h。
根據點的p座標和直線l的方程可求點a的座標，從而∣pa∣易求，∣pb∣ 易求，通過兩點間距離公式可求∣ab∣。然後利用的面積即可表示為，也可表示為，則可求點p到直線l的距離∣ph∣。
（師邊聽邊按照學生6的敘述作圖。如圖並板書：（2）構造，利用面積相等，即=）
師：學生6另闢蹊徑，開啟了構造之門。你們看，他構造了乙個，而我們所需求的線段恰好轉化為△pab斜邊上的高。很好！從無三角形到有三角形——「無中生有」有創意！
（設計意圖：及時總結，昇華。也許學生意識不到自己正在構造，創新，老師的點撥可以使他們意識到自己的行為，從而，實現正遷移，進而解決其它問題。）
（掌聲響起）
生7：不用面積關係，用△pah和△bap相似可知即可求出∣ph生齊答：對！）
（師板書：（3）通過三角形△pah和△bap相似）
生8：（面帶猶豫）我想，學生6作兩條平行線構造出直角△pab，如果只作一條平行線比如說pb也可構造出直角三角形，在直角三角形pbh中應該也能求出∣ph∣，但我還沒有想出該怎樣求？
（師擦去直線pa，如圖）
師：（堅定）學生8有較強的簡化意識，這可是數學家應具有的品質，但他遇到了困難，我們能幫幫他嗎？
（發現有橫在面前的難題，大家都積極思考。片刻）
（設計意圖：數學追求過程的簡潔，結果的簡潔。鼓勵學生不斷地改進方法，策略，可促使學生思維深刻。同時發揮學生的主動性,通過讓學生自主探索,培養學生研究問題及解決問題的能力.）
生9：(邊站起，邊大聲高興地叫道)我解決這個問題了！
師:(笑)恭喜你！那快把你的方案說給我們聽聽。
生9：首先，作為斜邊的∣pb∣易求，欲求∣ph∣可考慮邊邊關係
但∣bh∣不好求，所以排除從邊邊關係入手的方案。現考慮邊角關係，已知一邊還需乙個角，我們知道直線有傾斜角，於是我想△pbh中哪個角和傾斜角有關？果然，我發現∠p和直線的傾斜角互補！
只要在圖中延長pb 便知。 現在∣ph∣=∣pb∣cos（），因而，只需求｜cosθ∣即可。因為， 所以。
這樣，問題就解決了。
（熱烈的掌聲響起。師生共同鼓掌）
師：真是太棒了！充分利用直線方程中的已知資源。僅通過直線方程的係數便把∣cosθ∣求出，進而解決問題。即簡化了構造的圖形，又減少了運算量，真是一箭雙鵰！妙！
（忍不住再次鼓掌）
（設計意圖：及時鼓勵是使學生保持較高的積極性，較強烈的參與性的重要手段）
生10：（突然小聲地說）如果直線的傾斜角是銳角呢？
（冷不妨學生10提出這樣的問題，大家稍愣了一下。馬上意識到有必要研究這個問題。片刻）
( 還是)生9：沒問題！如果傾斜角是銳角，則∠p和它相等！如圖
其他同學都如有所思地齊說：對，對。
師：這是我們**出的第四種方法，它利用了三角函式
的相關知識，既用形又用數，把數和形完美的結合起來！
簡化了問題。
（板書：（4）構造三角形，利用三角函式，通過∣ph∣=∣pb∣∣cosθ∣）
(設計意圖:數形結合思想是中學數學重要的思想方法。老師應該適時地強調。)
生11：老師，我沒有用形僅用數也可以求解！你看，如果在直線上任選一點m（x,y）,則因為點m在直線上，
所以，則∣pm∣=，然後，求這個函式的最小值就行了。
師：噢！原來轉化為函式求最小值的問題了。那函式的定義域是什麼?
(設計意圖:解數學應用題時，從中抽象出數學模型，如果是函式問題時，學生很易忽視定義域，即自變數的取值限制。因而，雖然此處函式的定義域是全體實數，所以仍作了強調。)
生11（愣了一下）：全體實數，因為被開方數是恆大於等於零的。
師（稍激動）：點到直線的距離，實質上是點到直線上所有點中距離最小的點所對應的值！學生11恰好利用了這個最小值的性質。好樣的！
（板書：（5）建構函式，利用函式最小值）
（掌聲又響起）
（設計意圖：數學的抽象性可通過函式窺見一斑，能把定點和垂足間的距離與定點和直線上其它點的距離聯絡起來，可見學生的思維開始深刻起來。老師應該及時地詮釋給其他同學聽並給與生11鼓勵和肯定。
）生12：我受學生11的啟發，又有一種方法：因為給乙個距離所在的值就會有直線上的兩個點和這個值相對應，當且僅當這個值是最小的時候僅有乙個點和其對應。
所以可以利用這種唯一性解題。令∣pm∣=d=，則d2=
點到直線的距離公式
知識與技能 並掌握點到直線的距離公式，能用公式解決一些簡單的問題 過程與方法 學習並領會 點到直線間距離公式的思維過程，掌握用數形結合的數學思想來研究數學問題的方法 情感 態度與價值觀 提高自主 及發散思維的能力，提高團隊合作精神。教學重難點 重點 點到直線距離公式的 過程，有關數學思想方法的應用。...
點到直線的距離公式教學案例
作者 簡素寧 成才之路 2009年第12期 摘要 在點到直線的距離公式教學案例中,用一些常見的 築路 和 颱風 問題作為情境,引導學生提出問題,同時給了學生自由思考的空間。學生在交流中弄清了數學概念,並運用自己的洞察力,把乙個小小的問題與那麼多的知識聯絡在一起,在學生思維豁然開朗之際,也展示了交流合...
點到直線的距離公式》 教學設計與反思
環節內容理論依據或意圖教材分 析教材地位 與作用 點到直線的距離公式 是新課程華師大版必修2第二章 1.5節第二課時內容 從知識上講，點到直線的距離公式是高中解析幾何中最重要也最精彩的公式之一，是基本知識 從方法上講，通過學習 點到直線的距離公式的思維過程，逐步學會利用數形結合 演算法 轉化與化歸 ...