「3.2兩個變數的線性相關(第三課時）」教學設計
—— 最小二乘法求線性回歸方程
杭州長征中學俞旭峰設計
杭州西湖高階中學嚴興光修訂執教
一．內容和內容解析
本節課的主要內容為用最小二乘法求線性回歸方程。
本節課內容作為上節課線性回歸方程**的知識發展，在知識上有很強的聯絡，所以，核心概念還是回歸直線。在「經歷用不同估算方法描述兩個變數線性相關關係」的過程後，解決好用數學方法刻畫「從整體上看，各點與此直線的距離最小」，讓學生在此基礎上了解更為科學的資料處理方式——最小二乘法，有助於更好的理解核心概念，並最終體現回歸方法的應用價值。
就統計學科而言，對不同的資料處理方法進行「優劣評價」是「假設檢驗」的萌芽，而後者是統計學學科研究的另一重要領域。了解「最小二乘法思想」，比較各種「估算方法」，體會它的相對科學性，既是統計學教學發展的需要，又在體會此思想的過程中促進了學生對核心概念的進一步理解。「最小二乘法思想」作為本節課的核心思想，由此得以體現。
而回歸思想和貫穿統計學科中的隨機思想，也在本節課中需有所滲透。
所以，在內容重點的側重上，本節課與上節課有較大的區別：上節課側重於估算方法設計，在不同的資料處理過程中，體會回歸直線作為變數相關關係代表這一概念特徵；本節課側重於估算方法評價與實際應用，在評價中使學生體會核心思想，理解核心概念。
考慮到本節課的教學側重點與新課程標準的要求，對線性回歸方程係數的計算公式，可直接給出。由於公式的複雜性，一方面，既要通過教學設計合理體現知識發生過程，不搞「割裂」；另一方面，要充分利用計算機或計算器，簡化繁瑣的求解係數過程，簡化過於形式化的證明說理過程。
基於上述內容分析，確定本節課的教學重點為知道最小二乘法思想，並能根據給出的線性回歸方程的係數公式建立線性回歸方程。
二．目標和目標解析
本節課要求學生了解最小二乘法思想，掌握根據給出的線性回歸方程係數公式建立線性回歸方程，理解線性回歸方程概念和回歸思想，在以上過程中體會隨機思想：
1．能用數學符號刻畫出「從整體上看，各點與此直線的點的偏差」的表達方式；
2．通過減少樣本點個數，經歷對表示式的展開，把「偏差最小」簡化為「二次多項式」最小值問題，通過合情推理，使學生接受最小二乘法的科學性，在此過程中了解最小二乘法思想；
3．能結合具體案例，經歷資料處理步驟，根據回歸方程係數公式建立回歸方程；
4．通過改變同一問題下樣本點的選擇進而對照回歸方程的差異，體會隨機思想；
5．利用回歸方程**，體現用「確定關係研究相關關係」的回歸思想；
三．教學問題診斷分析
在經歷用不同估算方法描述兩個變數線性相關的過程後，在學生現有知識能力範圍內，如何選擇乙個最優方法，成為知識發展的邏輯必然。
「最小二乘法」作為經典的回歸方程估算方法：通過用數學方法刻畫「從整體上看，各點與此直線的距離最小」這一直觀的幾何描述，並採取合適的數學處理方法，最終獲得回歸直線，對學生認可統計估算的科學性有很大的幫助。
基於此，如何把「從整體上看，各點與此直線的距離最小」用合適的代數符號刻畫並化簡，化幾何問題為代數問題，是順利了解「最小二乘法」思想的前提；而如何化簡複雜的代數表示式，學生缺乏處理的經驗，在計算能力的要求上也較高。要了解「最小二乘法思想」，接受「由係數公式得到的線性方程」為回歸方程，理解此方程可作為兩個具有線性相關關係變數的代表這一回歸直線概念本質，並體現相對於其他估算方法的優越性，又必須要求對給出的係數公式**進行一定的說理。
知識發展的要求與學生能力和經驗的欠缺成為本節課將會遇到的最大矛盾。
教學中，要防止兩種傾向：一是直接套用回歸係數公式求解回歸方程而迴避說理過程；二是過多糾纏於數學刻畫過程，甚至在課堂內花大量時間對回歸係數公式進行證明說理。這兩種傾向，都脫離了實際情況，前者忽略了「最小二乘法思想」，迷失了本節課的教學目標；後者人為拔高教材要求，脫離了本節課教學要求。
所以，本節課的教學難點是：如何通過數學方法刻畫「從整體上看，各點與此直線的距離最小」並在此過程中了解最小二乘法思想。通過「降次舉特例說明，進行合情推理」是學生突破此難點的乙個方法。
四．教學支援條件分析
本節課需要運用回歸係數公式求解回歸直線，此過程要進行大量的運算，需要科學計算器減少繁瑣的計算。在後續例題的解決過程中，還需借助excle軟體，通過大量的回歸直線比較分析，體會回歸思想和隨機思想，因此需要多**電腦展示裝置支援。
五．教學過程設計
1．課題引入
問題1：（投影上節課**結果）如何評價這些「直線」的優劣？理由呢？
問題2：能否從幾何直觀角度用文字語言敘述你的理由？
問題3：「從整體上看，各點與此直線的距離最小」中，距離等於偏差嗎？作為判斷優劣的標準，可以等同嗎？
設計意圖：在上節課「計算**值與實際值偏差」的經驗基礎上，通過學生對「從整體上看，各點與此直線的點的距離的最小」這一新標準與舊經驗的衝突和聯絡，對「優劣問題」展開反思：從舊經驗「單個點」到新標準「所有點」，突出「整體」二字；從舊經驗「偏差計算」到新標準「點線距離」，對比幾何描述直觀性和代數表達便捷性，揭示出兩者是同一標準的不同表述。
師生活動：在上節課鋪墊的基礎上，學生不難回想到上節課比較不同「回歸直線」優劣的方法——通過計算樣本點與直線對應點縱座標差比較偏差。在此鋪墊基礎上，教師可結合圖形，用代數符號yi、i標記，為下一步代數表達做好準備。
第二問更具有幾何直觀性，學生也易於接受此標準，達成「幾何」與「代數」的轉化、「距離」與「偏差」的轉化。若學生對「距離」與「偏差」有疑問，教師可提出問題3，通過觀察課本92頁圖2.3－6，簡單介紹偏差處理法的優越性和等價性即可。
2．知識發展
設回歸直線方程為，（xi，yi）表示第i個樣本點，
問題1：你能用代數式來刻畫「從整體上看，各點與此直線的偏差最小」嗎？
問題2：偏差有正有負，我們可以怎麼規避？比較絕對值處理和平方處理，我們選擇哪種合適？
設計意圖：幾何問題代數化，為下一步**作好準備，經歷「幾何直觀」轉化為「代數表達」過程，體驗「最小二乘法思想」。
師生活動：在引入的設問中，已經解決了轉化的問題，由於上節課學生有「用具體資料來計算偏差」的經驗，學生易於抽象出各點偏差表示式yi－i =yi－（bxi+a）（i=1，2，…，n），進而不難得出：q=（y1－bx1－a）+（y2－bx2－a）+…+（yn－bxn－a）。
問題2可在投影屏上舉極端例子說明，學生會發現此處理方法的侷限性，學生可能會提出多種方法，教師肯定其觀點，說明去絕對值對後續研究不便，可模擬「方差」處理方式，採用平方處理方法，教師投影：
問題3：從代數上說，偏差最小既哪個量最小？當樣本點的座標（xi，yi）確定時，上述表示式可否化為關於a、b的二次式呢？
設計意圖：體會最小二乘法思想，不經歷公式化簡無法真正理解，而直接從n個點的公式化簡，教學要求、教學時間、學生能力都沒達到這個高度。而由具體到抽象，由特殊到一般，是學生順利完成認知過程的一般性原則。
通過此問，讓學生了解化簡的結果，在此過程中，既熟悉了新符號，又通過觀察展開式，能喚起學生已有認知結構中關於處理帶引數的二次多項式最小值問題的數學處理方法，揭示n個點的代數式本質也是關於a、b的二次多項式，從而了解最小二乘法思想，突破教學難點。
師生活動：教師指出：可採用n個偏差的平方和q=（y1－bx1－a）2+（y2－bx2－a）2+…+（yn－bxn－a）2表示n個點與相應直線在整體上的接近程度：
記q=（向學生說明的意義）。
在此基礎上，給出可求出使q為最小值時的a、b的值的線性回歸方程係數公式：
問題4：這個公式不要求記憶，但要會運用這個公式進行運算，那麼，要求a,b的值，你會按怎樣的順序求呢？
設計意圖：公式不要求推導，又不要求記憶，學生對這個公式缺少感性的認識，通過這個問題，使學生從感性的層次上對公式有所了解。
師生活動：由於這個公式比較複雜，因此在運用這個公式求a,b時，必須要有條理，先求什麼，再求什麼，比如，我們可以按照順序來求，再代入公式。
問題5：回歸直線通過樣本點中心，觀察此公式，比照平均數與樣本資料之間的關係，你能發現回歸直線方程如何體現這點？
設計意圖：在不確定問題****現的確定性性質，比較有戲劇性，能再次激發學生的**慾望，而此問題的**，使得學生在「回歸直線是兩個變數具有相關關係的代表」的理解上，上公升到「回歸直線是雙變數樣本點的中心」這一高度，深化對回歸直線和回歸思想的理解，完成學生認知結構的再次建構。
3．知識深化：
問題1：觀察公式，根據表一資料，需要計算哪些新資料，才能求出線性回歸方程係數？計算量大不大？
我們用計算器來代替這重複的勞動，請大家一起跟我來操作（計算器操作流程可列印在學案上）。
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表一：設計意圖：公式形式化程度高、表達複雜，通過分解，可加深對公式結構的理解。同時，通過例題，反映資料處理的繁雜性，體現計算器處理的優越性。
師生活動：可讓學生觀察公式，充分討論，得出要計算：n、、、、五個新資料。而後教師可偕同學生，對計算器操作方式提供示範，師生共同完成。
問題2：利用計算器，根據表二，請同學們獨立解決求出表中兩變數的回歸方程：
表二：師生活動：教師利用excle軟體，示範操作，並適時給出回歸直線答案，檢測正確與否。
回歸直線為：y=0.6541x-4.5659
回歸直線為：y=0.4767x+4.9476
師生活動：教師利用excle軟體，合併表中資料，求出此時的回歸直線，比較回歸直線異同。
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