不等式不等式是高考必考的熱點內容，考查的廣度和深度是其他章節無法比擬的，任何乙份高考試卷中，涉及到不等式內容的考點所佔比例超過70%。一方面，考查不等式的性質、解法、證明以及實際應用；另一方面，與高中階段的數學各個部分都存在著密切的聯絡。因此，對於不等式的學習，應達到多層面，多角度熟練掌握的程度。
第一節基本不等式
1.證明：當,展開後即可得到所求不等式及等號成立的條件。
2.基本不等式的變形（包括2個方面）
①若,若,若, (上述3個不等式，考慮如何證明？)
注：上述的不能僅僅理解為兩個引數，它可以是表示式或函式的解析式。
②（注意：不等式的右邊是）
例題1.已知
解：，∴；
求有兩種方法，其一是配式，，∴；另一種方法是，由,∵∴。
例題2. 已知,求證：。
證明：由基本不等式得： ，∴
而條件是,即對於不等式等號成立，即。
注：本題把等號成立的條件，作為求證的目標，比較新穎。
例題3.已知
解：,這裡
, .注：解答本題的關鍵是，如何運用好，兩次使用了基本不等式，但不矛盾。
例題4. 求的最大值。
解：函式的定義域為,可以用其它的方法來解，比如用兩邊平方轉化成二次函式求極值等。但由於兩式平方和為常數3，故應用基本不等式的變形公式簡單些。
∵2，當且僅當→時成立，故。
例題5. 已知,則的最小值為（ ）。
解：當且僅當等號成立，的最小值為16.
注：這裡要求2元表示式的的最值，不能直接整體應用基本不等式（即不能直接整體消去a、b）而且也沒有給出條件等式（即不可能代入消元）,因此，對區域性用基本不等式的變形公式進行處理。
例題6.若二次函式的值域為[0,+∞),則的最小值為
解：由題意得則，當且僅當a=c=2時，等號成立，所以的最小值為。
注：本題也可用消元法，由消去a或c，比較麻煩。
例題7.已知a,b,c>0,且
例題8.已知a,b,c>0,且的最大值為（ ）。
解： ,當且僅當等號成立，∴所求的最大值為。
例題9.已知函式的定義域是[a,b],其中，(1)求的最小值；
(2)若,求證：.
解：(1)由基本不等式的變形公式可得，∴,上面各式等號成立的條件都是：時取得（雖然兩次使用了基本不等式，但x的取值不矛盾），∴。
(2)設時，由(1)的結論可得：,同理 ②由②得：
.上面兩次用到基本不等式，等號成立的條件都是s=2時取得，∴(2)得證。
例題10. 已知兩條直線和圖象從左至右相交於a,b, 與函式圖象從左至右相交於c,d,記線段ac和bd在x軸上的投影長度分別為a,b,當m變化時，的最小值為（ ）。
解：在同一座標系中作出, 圖象，令
,∴,故由,當且僅當，即取等號，故(。
注：本題經過巧妙的」偽裝」,將基本不等式融入到函式中，將文字語言轉化為符號語言，實現基本不等式模型的構建，對學生的運算能力和思維水平提出了很高要求，具有較好的區分度。
例題11. 若平面向量滿足，則的最小值是（ ）。
解：由，兩邊平方，得4，由基本不等式得：4 (當且僅當)。設θ為夾角 (),則當時， (當且僅當)，因此。
注：本題將基本不等式與向量相結合，通過將向量的模平方，借助基本不等式和斜率數量積的性質，建立關於的不等式。此題視角獨特，構思精心。
例題12. 函式影象上兩相鄰的最低點與最高點之間的最小值是（ ）。
解：如圖，設函式影象上兩相鄰點中最高點為a,最低點為b且過a點平行與x軸的直線與過b點垂直於x軸的直線相交於c,則，即，故。
注：本題將基本不等式滲透到三角函式中，關鍵是運用三角函式的週期、振幅，合理表示出相鄰的最低點與最高點的距離。此題情景新穎，自然貼切，這種不拘題型約束的命題方式是高考的一大亮點。
例題13. 設是等比數列，公比，的前n項和，記。記為數列的最大項，則
解：由題意，
，此時。
注：本題將基本不等式嵌入數列解題中，運用數列的基本量及性質將條件轉化為關於n的代數式，通過換元後轉化為基本不等式模型。
例題14. 乙個四面體的一條長為x，其餘所有稜長均為1，則此四面體體積v的最大值是（ ）。
解：由題意得： (當且僅當等號成立)，故的最大值是。
注：本題把基本不等式與立體幾何的相關知識進行交匯，如果學生對空間圖形有較深刻的認識，可以準確建立v(x)的函式關係式以後求解，使問題的綜合性進一步加強，充分體現出數學試題的多變性。
例題15. 平面直角座標系xoy中，已知點a(0，1),b點在直線上，m點滿足點m的軌跡為切線c,
(1) 求c的方程；(2)p為c上的動點，l為c在得p處的切線，求o點到l的距離的最小值。
解：(1) 所以l的斜率為故l的方程為則o點到l的距離,又∴，∴o點到l的距離的最小值為2.
第二節 「對勾」函式的圖象、性質及應用
「對勾」函式與基本不等式有著密切的聯絡，其影象如右圖， 當x>0時,
; 當x<0時， (同時,也是函式增減區間的分點) 。以上在不少的例題中已經運用了這個結論。事實上，函式還有乙個很重要的代數性質在變數代換中經常使用。
例題1.（2023年江蘇卷13題）在平面直角座標系xoy中，設點a(a,a),p是函式影象上的動點，若點p,a之間的最短距離為，則滿足條件的實數a的所有值為
解：點a(a,a)是直線上的動點，點p,a之間的最短距離為，即以a為圓心，半徑的動圓與函式影象相切時求a的值。依題意可畫出草圖，
點a在直線上運動時，憑直覺認為，動圓都會與函式的影象相切於點c(1,1)，因此不難求出a的兩個值為-1或3；而這個答案是錯的。事實上，當a>0時，兩影象的切點位置是與動圓半徑大小有關的(如圖)，只有半徑較小時，才可能相切於c。→
→,令,則①式可化為：
∴,解得.
注：解答本題有兩個問題需要注意，一是用數形結合的方法解題時，直覺有可能是錯誤的；二是解析式與的可代換關係，這樣的關係還存在於sinx±cosx與sinxcosx; 等。
如果將「對勾」函式變形為： (a,b∈r),研究其影象、性質對解題是很有必要的。
(1) (a>0,b>0)此函式是由疊加而成，通過分析兩個簡單函式的影象特徵，畫出其疊加函式的影象，是數學能力的一種體現。由影象可知:①關於原點對稱；
②時，函式存在極小值點a(); 時，函式存在極大值點b();
③遞減區間為：(), ), 遞增區間為兩條性質可通過導數證明）
④存在兩條漸近線： (漸近線在通過作**題時，起作用)。
(2) 其餘的三種情況的影象如下：
其性質由同學們自己小結，在此不在贅述。
例題2.若函式的值域是,則函式的值域是
解：設,則,只要畫出函式的影象可知：.
注：本題看似簡單，但取不同的表示式時，情況可能變得很複雜。
例題3. 設定義在(0,+∞)上的函式 (a>0)求的最小值。
解1.（基本不等式法）∵,∴當且僅當
時等號成立，∴.
解2.（判別式法）設，則有,顯然,解得 (捨去)，∵，故應將代入①得：
即,因此。
（注：當主元x有範圍使用判別式法時，都應將所求最值回代，檢驗x的解是否在給定的範圍內）
解3.（求導數法）由題意,∵有; 有.故當時，函式時，函式，因此。
變式1：設定義在(0,+∞)上的函式 (a>0)求的最小值。
變式2：設定義在(0,π)上的函式 (a>0)求的最小值。
變式3：設定義在[0,+∞)上的函式 (a>0)求的最小值。
變式4：設函式 (a>0)求的最小值。
變式5：設定義在(1,+∞)上的函式 (a>0,a≠1)求的最值。
注：以上5個變式，若以填空題的形式解答，可使用變數代換，用「對勾」函式的圖象直接得到答案；若
以解答題的形式解答，應使用求導數的方法證明。
變式6：討論函式 (a>0,c>0,n取正整數)。
解：,當n為奇數時，函式是奇函式，只要討論
;當n為偶數時，函式是偶函式，只要討論
。例題4.求函式, 的最值。
解：由於函式的分子分母的次數都是2，因此採用「配式法」降低分子的次數；令,則再令,
∴.注：求型如函式的最值(值域)，可通過換元法() 轉化為函式，只要討論的極值即可；當所求函式的分子分母的次數相同時（如本題）應採用「配式法」降低分子的次數，轉化成的形式。
例題5. ,若對不等式10在上恆成立，求b的取值範圍。
解：∵∴函式上單調遞減，在上單調遞增，則上的最大值為.由∵, 不等式10在上恆成立,∴有即解得.
注：①將不等式恆成立問題轉化為最值問題，是常見的轉化形式。
②變換主元，把看成關於a的一次函式, 不等式10恆成立(分兩步進行)，∴10恆成立，∵在上單調遞減∴10,解得：.
練習1.若關於x的方程至少有乙個實根在區間[1,2]內,則實數a的取值範圍是( ).
練習2.若,則函式的最大值是
練習3.若最小值4)
第三節判別式法解題
利用一元二次方程的判別式求某些函式的值域或極值的方法，稱為判別式法。判別式法的使用通常是對含有引數的二次方程。
例題1.求函式。
解：由判別式可知分母，兩邊同乘以得：
,將此式看成是x的方程，必有實數解，
∴δ=解得：，即函式
例題2. 求函式。
解：當時分母雖然為0，但分子x+4≠0，∴變形後仍然可得到關於x的二次方程，將函式的兩邊同乘得：,此方程x顯然有實數解，∴δ=,解得：，∵二次項係數y≠0，∴函式為
注：在使用判別式法求分式函式的值域時，應注意兩點：一是分式的表示式不能約分，二是變形後，二次項係數為0的y在求得的y的範圍內，要代入方程驗證。
例題3. 求函式
解：,∵由函式的定義域知，∴①∵，∴①式的值域為;再將代入①式,得到的須刪除,∴函式
注：函式的表示式中的分式，可約分時應先約分，再求值域，最後刪除定義域中不存在點所對應的函式值。
例題4. 設為實數，且首項為公差為d的等差數列｛｝的前n項和為，滿足，求公差d的取值範圍。
判別式法證明不等式
解 由分母不為零知，函式的定義域a 1 當y 1時，由 0得y 2 0 y r.檢驗 由 0得y 0，將y 0代入原方程求得x 1，這與原函式定義域a相矛盾，所以y 0.2 當y 1時，將其代入方程 中得x 1，這與原函式定義域a相矛盾，所以y 1.綜上所述知原函式的值域為 對於分式函式y f x ...
基本不等式與不等式證明
1.2基本不等式 主備人 遲克勤張瀅好李紅濤審核 朱玉國 學習目標 1.理解並掌握重要的基本不等式，不等式等號成立的條件 2.初步掌握不等式證明的方法 3 理解從兩個正數的基本不等式到三個正數基本不等式的推廣 複習 1 定理1 如果,那麼 2 定理2 基本不等式 如果,那麼 在定理2中的算術平均值的...
基本不等式
教學重點 基本不等式成立的三個必要條件 一正二定三相等教學難點 積或 和 變換為定值的技巧 教學方法 師生探求，揭示規律 教學過程 基本不等式 當且僅當a b取等號 1 感受基本不等式成立的必要條件之一 正數例1.若 設計意圖 轉化為用基本不等式求解 2 感受基本不等式成立的必要條件之二 定值練習1...