一、填空題
1、d(2420)=12; (2420)=_880_
2、設a,n是大於1的整數，若an-1是質數，則a=_2.
3、模9的絕對最小完全剩餘系是_.
4、同餘方程9x+12≡0(mod 37)的解是x≡11(mod 37)。
5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t，y=700+18t tz。.
6、分母是正整數m的既約真分數的個數為_(m)_。
7、18100被172除的餘數是_256。
8、=-1。
9、若p是素數，則同餘方程x p 1 1(mod p)的解數為 p-1 。
二、計算題
1、解同餘方程：3x211x20 0 (mod 105)。
解：因105 = 357，
同餘方程3x211x20 0 (mod 3)的解為x 1 (mod 3)，
同餘方程3x211x38 0 (mod 5)的解為x 0，3 (mod 5)，
同餘方程3x211x20 0 (mod 7)的解為x 2，6 (mod 7)，
故原同餘方程有4解。
作同餘方程組：x b1 (mod 3)，x b2 (mod 5)，x b3 (mod 7)，
其中b1 = 1，b2 = 0，3，b3 = 2，6，
由孫子定理得原同餘方程的解為x 13，55，58，100 (mod 105)。
2、判斷同餘方程x2≡42(mod 107)是否有解？
故同餘方程x2≡42(mod 107)有解。
3、求（127156+34）28除以111的最小非負餘數。
解：易知1271≡50（mod 111）。
由502 ≡58（mod 111）, 503 ≡58×50≡14（mod 111），509≡143≡80（mod 111）知5028 ≡（509）3×50≡803×50≡803×50≡68×50≡70（mod 111）
從而5056 ≡16（mod 111）。
故（127156+34）28≡（16+34）28 ≡5028≡70（mod 111）
三、證明題
1、已知p是質數，（a,p）=1，證明：
（1）當a為奇數時，ap-1+(p-1)a≡0 (mod p)；
（2）當a為偶數時，ap-1-(p-1)a≡0 (mod p)。
證明：由尤拉定理知ap-1≡1 (mod p)及(p-1)a≡-1 (mod p)立得（1）和（2）成立。
2、設a為正奇數，n為正整數，試證≡1(mod 2n+21）
證明設a = 2m 1，當n = 1時，有
a2 = (2m 1)2 = 4m(m 1) 1 1 (mod 23)，即原式成立。
設原式對於n = k成立，則有 1 (mod 2k + 2) = 1 q2k + 2，
其中qz，所以 = (1 q2k + 2)2 = 1 q 2k + 3 1 (mod 2k + 3)，
其中q 是某個整數。這說明式(1)當n = k 1也成立。
由歸納法知原式對所有正整數n成立。
3、設p是乙個素數，且1≤k≤p-1。證明： （-1 ）k(mod p)。
證明：設a= 得：
k!·a =（p-1）(p-2)…（p-k）≡（-1）(-2)…（-k）(mod p)
又（k!，p）=1，故a = （-1 ）k(mod p)
4、設p是不等於3和7的奇質數，證明：p6≡1(mod 84)。
說明：因為84=4×3×7，所以，只需證明：
p6≡1(mod 4) p6≡1(mod3p6≡1(mod 7) 同時成立即可。
證明：因為84=4×3×7及p是不等於3和7的奇質數，所以
（p，4）=1，（p，3）=1，（p，7）=1。
由尤拉定理知：p(4)≡p2≡1(mod 4)，從而 p6≡1(mod 4)。
同理可證：p6≡1(mod3) p6≡1(mod 7)。 故有p6≡1(mod 84)。
注：設p是不等於3和7的奇質數，證明：p6≡1(mod 168)。（見趙繼源p86）
初等數論練習題二
一、填空題
1、d(1000)=_16_；σ(1000)=_2340_.
2、2010!的標準分解式中，質數11的次數是199__.
3、費爾馬(fermat)數是指fn=+1,這種數中最小的合數fn中的n=5。
4、同餘方程13x≡5(mod 31)的解是x≡29(mod 31)___
5、分母不大於m的既約真分數的個數為(2)+ (3)+…+ (m)。
6、設7∣(80n-1),則最小的正整數n=_6__.
7、使41x+15y=c無非負整數解的最大正整數c=__559__.
8、=_1__.
9、若p是質數，np 1，則同餘方程x n 1 (mod p) 的解數為n .
二、計算題
1、試求被19除所得的餘數。
解：由2002≡7 (mod 19) 20022≡11(mod 19) 20023≡1 (mod 19)
又由20032004≡22004≡（22）1002≡1 (mod 3)可得：
≡20023n+1≡(20023)n×2002≡7(mod 19)
2、解同餘方程3x14 4x10 6x 18 0 (mod 5)。
解：由fermat定理，x5 x (mod 5)，因此，原同餘方程等價於2x2 x 3 0 (mod 5)
將x 0，1，2 (mod 5)分別代入上式進行驗證，可知這個同餘方程解是x 1 (mod 5)。
3、已知a=5，m=21,求使a x 1 (mod m)成立的最小自然數x。
解：因為（5,21）=1，所以有尤拉定理知5(21)≡1(mod 21)。
又由於(21)=12，所以x|12，而12的所有正因數為1,2,3,4,6,12。
於是x應為其中使 5 x 1 (mod 12)成立的最小數，經計算知：x=6。
三、證明題
1、試證13|(54m+46n+2000)。(提示：可取模13進行計算性證明)
證明：54m+46n+2000 252m+642n+2000 （-1）2m+（-1）2n+2000 2002 0(mod 13)。
2、證明wilson定理的逆定理：若n > 1，並且(n 1)! 1 (mod n)，則n是素數。
證明：假設n是合數，即n = n1n2，1 < n1 < n，由題設易知(n 1)! 1 (mod n1)，得
0 1 (mod n1)，矛盾。故n是素數。
3、證明：設ps表示全部由1組成的s位十進位制數，若ps是素數，則s也是乙個素數。
證明：假設s是合數，即s=ab，1其中m＞1是正整數。
由pa＞1也是正整數知ps是合數，這與題設矛盾。故s也是乙個素數。
4、證明：若2p 1是奇素數，則 (p!)2 (1)p 0 (mod 2p 1)。
證明：由威爾遜定理知 1 (2p)! = p!(p 1)(2p) (1)p(p!)2(mod 2p 1)，
由此得(p!)2 (1)p 0 (mod 2p 1)。
5、設p是大於5的質數，證明：p4≡1(mod 240)。（提示：可由尤拉定理證明）
證明：因為240=23×3×5，所以只需證：p4≡1(mod 8)，p4≡1(mod 3)，p4≡1(mod 5)即可。
事實上，由(8)=4，(3)=2，(5)=4以及尤拉定理立得結論。
初等數論練習題三
一、單項選擇題
1、若n＞1，(n)=n-1是n為質數的（ c ）條件。
a.必要但非充分條件 b.充分但非必要條件 c.充要條件 d.既非充分又非必要條件
2、設n是正整數，以下各組a，b使為既約分數的一組數是（ d ）。
3、使方程6x+5y=c無非負整數解的最大整數c是（ a ）。
a.19b.24 c.25d.30
4、不是同餘方程28x≡21(mod 35)的解為（ d ）。
35) b. x≡7(mod 35) c. x≡17(mod 35) d. x≡29(mod 35)
5、設a是整數，(1)a≡0(mod9) (2)a≡2010(mod9)
(3)a的十進位表示的各位數字之和可被9整除
(4)劃去a的十進位表示中所有的數字9，所得的新數被9整除
以上各條件中，成為9|a的充要條件的共有（ c ）。
a.1個 b.2個 c.3個 d.4個
二、填空題
1、σ(2010)=_4896____； (2010)=528。
2、數的標準分解式中，質因數7的指數是_3。3、每個數都有乙個最小質因數。所有不大於10000的合數的最小質因數中，最大者是97。
4、同餘方程24x≡6(mod34)的解是x1≡13(mod34) x2≡30(mod34)_。
5、整數n>1，且(n-1)!+1≡0(mod n),則n為素數。
6、3103被11除所得餘數是_5_。
7、=_-1_。
三、計算題
1、判定 (ⅰ) 2x3 x2 3x 1 0 (mod 5)是否有三個解；
(ⅱ) x6 2x5 4x2 3 0 (mod 5)是否有六個解？
解：(ⅰ) 2x3 x2 3x 1 0 (mod 5)等價於x3 3x2 4x 3 0 (mod 5)，又x5 x = (x3 3x2 4x 3)(x2 3x 5) + (6x2 12x 15)，其中r(x) = 6x2 12x 15的係數不都是5的倍數，故原方程沒有三個解。
初等函式練習題 二
a組題 共100分 一 選擇題 本大題共5小題，每小題7分，共35分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1 函式y lg 2 x 的定義域是 a 2 b 2 c 2d 2,2 下列與函式y x有相同圖象的乙個函式是 a b c d 3 函式y logx log2x2 2的值域是 a...
練習題答案
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練習題答案
濕地練習題答案 2014 12 12 1 5 adddb 6 10 dbbcd 11 1 三江平原，緯度高氣候寒冷，地勢低平 若爾蓋海拔高，氣候寒冷，地勢平坦。4分 2 三江平原，過渡開墾 若爾蓋濕地，過度放牧。4分 建議 建立自然保護區，發展旅遊業 發展特色農業 發展農產品加工業 退耕還濕地。6分...