第一部分：基礎複習
八年級數學(上)
第一章：勾股定理
一、中考要求：
1．經歷探索勾股定理及乙個三角形是直角三角形的條件的過程，發展合情推理能力，體會數形結合的思想。
2．掌握勾股定理，了解利用拼圖驗證勾股定理的方法，並能運用句股定理解決一些實際問題．
3．掌握判斷乙個三角形是直角三角形的條件，並能運用它解決一些實際問題．
4．通過例項了解勾股定理的歷史和應用，休會勾股定理的文化價值．
二、中考卷研究
(一)中考對知識點的考查：
2004、2023年部分省市課標中考涉及的知識點如下表:
(二)中考熱點：
圖形的摺疊，圖形的拼接問題，一般都用勾股定理或其逆定理來解決，這是近幾年來中考的熱點題型．
三、中考命題趨勢及複習對策
運用勾股定理或逆定理解決實際問題，在近幾年中考試題中所佔的比例較大，一般以簡答題或綜合題的形式出現，因此同學們在複習時，應抓住問題的實質，理解題意，將實際問題轉化為數學問題來解決．
i)考點突破★★★
考點1：勾股定理及其證明
一、考點講解：
1．勾股定理：在直角三角形中，兩直角邊的平方和等於斜邊的平方.若用a、b為表示兩條直角邊，c表示斜邊，則，如圖1－1－1，其中
2．勾股定理的證明：勾股定理是通過面積拼圖法來證明，其方法較多．
二、經典考題剖析：
【考題1－1】（2004、內江，2分）如圖l－l－2，乙個機械人從o點出發，向正東方向走3公尺到達a1點，再向正北方向走6公尺到達a2點，再向正西方向走9公尺到達a3點．再向正南方向走12公尺到達a4點，再向正東方向走15公尺到達a5點，按如此規律走下去，當機械人走到a6點時，離隊點的距離是_______公尺．
解：15 點撥：解此題時要注意算對a1a2，a2a3，a3a4，a5a6，等各線段的長，再利用勾股定理求解．
【考題1－2】（2004、北碚，4分）如圖1－l－3，有乙個圓錐形糧堆，其正檢視是邊長為6m的正三角形abc，糧堆的母線ac的中點p處有一老鼠正在偷吃糧食，此時，小貓正在b處，它要沿圓錐側面到達p處捕捉老鼠，則小貓所經過的最短路程是m．
（結果不取近似值）
三、針對性訓練：( 分鐘) (答案： ) (如圖――)
1．直角三角形兩直角邊長分別為6和8，則斜邊上的高為
2．在直角三角形abc中，∠c＝90°，∠a=30°，b=10。則c=_______.
3．乙個三角形三個內角之比為1：1：2，則這個三角形的三邊比為_______.
4．在直角三角形abc中，∠c=90°，cd⊥ab，舉足為d，若∠a＝60○，ab=4cm，則cd＝_____
5．如圖1－1－5（1）是用硬板紙做成的兩個全等的直角三角形，兩直角邊的長分別為a和b，斜邊長為c，如圖l－l－5⑵是以c為直角邊的等腰直角三角形．請你開動腦筋，將它們拼成乙個能證明勾股定理的圖形．
（1）畫出拼成的
這個圖形的示意圖．寫出它是什麼圖形；
（2）用這個圖形證明勾股定理；
（3）假設圖（1）中的直角三角形有若干個，你能運用圖（1）中所給的直角三角形拼出另一種能證明勾股定理的圖形嗎？請畫出拼後的示意圖（無需證明）
6．等邊三角形的高為2，則它的面積是（ ）
a．2 b．4 c． d．4
7．直角三角形兩直角邊分別為6cm和scm，則連線這
兩條直角邊中點的線段長為（ ）
a．10cm b．3cm c．4cm d．5cm
8．如圖l－l－6．有一塊直角三角形紙片，兩直角邊ac=6cm，bc=8cm，現將直角邊ac沿直線 ad摺疊，使它落在斜邊ab上，且與ae重合，則cd等於（ ）
a．2cm b．3cm
c．4cm d．5cm
9．印度數學家什迦邏(2023年－2023年)曾提出過「荷花問題」：「平平湖水清可鑑，面上半尺生紅蓮；出泥不染亭亭立，忽被強風吹一邊；漁人**忙向前，花離原位二尺遠；能算諸君請解題，湖水如何知深淺？」請用學過的數爭知識回答這個問題，如圖1－1－7．
10如圖1－1－8，一架2．5公尺長的梯子ab，斜靠在一豎直的牆ac上，這時梯足b到牆底端c的距離為0．7公尺，如果梯子的頂端沿牆下滑0．4公尺，那麼梯足將向外移多少公尺？
11如圖1－1－9，在矩形abcd中，ab=8，bc=4，將矩形沿對角線ac摺疊，點d落在點d′處，求重疊部分△a fc的面積．
12.如圖1－1－10，a城氣象台測得颱風中心在a城正西方向320km的b處，以每小時40km的速度向北偏東60o的bf方向移動，距離颱風中心 200km的
範圍內是受颱風影響的區域．
（1）a城是否受到這次颱風的影響？為什麼？
（2）若a城受到這次颱風影響，那麼a城遭受這次颱風影響有多長時間？
13為籌備迎新生晚會，同學們設計了乙個圓筒形燈罩，
底色漆成白色，然後纏繞紅色油紙，如圖1－1－11，
已知圓筒高108cm，其圓筒底面周長為36cm，如
果在表面纏繞油紙4圈，應裁剪多長油紙？
考點2：勾股定理的逆定理
一、考點講解：
1．在三角形中，若兩邊的平方和等於第三邊的平方，則這個三角形為直角三角形，即aabc中，若d十b』一／，則面abc為直角三角形，士c—90＼這是判．定乙個三角形是直角三角形的方法．
2．應用勾股定理（或逆定理）研究解決問題的關鍵是發現圖中存在的直角三角形或通過新增輔助線，在圖中構造出直角三角形，有時還要借助方程、方程組和代數運算；有些代數問題，其數量關係具有「勾股關係」，根據這種關係設計、構造出相應的幾何圖形，然後借助圖形的幾何性質去解決代數問題，這就是「數形結合」的思想．
二、經典考題剖析：
【考題2－1】（2004、南山，3分）如圖1－1－12，一棵大樹在一次強颱風中在離地面5公尺處折斷倒下，倒下部分與地面成30○夾角，這棵大樹在折斷前的高度為（ ）
a．10公尺 b．15公尺c．25公尺 d．30公尺
解：b 點撥：主要考查直角三角形中30○的角所對的直角邊等於斜邊的一半．
【考題2－2】（2004、江西，3分）在△abc中，ac=,
bc＝，ab=3，則cosa=_______．
解: 點撥：先運用勾股定理逆定理判斷：ac2＋bc2 =2＋7=9，ab2 = 9，所以ac2＋bc2=ab2，所以 △abc為直角三角形．再由三角函式定義求cosa．
三、針對性訓練：( 20分鐘) (答案：227 )
l．△abc的三邊為a，b，c且滿足條件：a2c2－b2c2
=a4 －b4，試判斷三角形的形狀．
解：因為a2c2－b2c2=a4 －b4①，c2 (a2 －b2 )=（a2＋ b2）（a2 －b2）②， 所以c2 =a2＋b2③，所以△a b c為直角三角形④．
上述解答過程中，**_____出現錯誤；正確答案應為△abc是三角形．
2．如圖1－1－13，四邊形abcd中，ab=3，bc=6，ac=3，ad=2，∠d=90○，求cd的長和四邊形 abcd的面積．
3．如果三角形的三邊長分別為5 cm、12cm和13 cm，這個三角形是不是直角三角形？如果是，請指出哪條邊是直角邊；如果不是，請說明理由．
4．在△abc中，ac=2a，bc=a2+1，bc= a2－1，其中a＞1，△abc是不是直角三角形？如果是哪乙個角是直角？
5．已知a、b、c是 rt△abc的三邊，∠c＝90o， a、b、c都為整數，若a＝9時，b、c為多少？
★★★(ii)2023年新課標中考題一網打盡★★★
（59分，45分鐘）
【回顧1】（2005、北京，4分）如圖 1－1－14，電線桿ab的中點c處有一標誌物，在地面d點處測得標誌物的仰角為45○，若點 d到電線桿底部點 b的距離為山則電線桿ab的長可表示為（ ）
a、a b.2a c. a d. a
【回顧2】（2005、北京，6分）如圖l－1－15 所示，一根長2a的木棍（ab）斜靠在與地面（om）垂直的牆（on）上，設木棍的中點為p．若木棍a端沿牆下滑，且b端沿地面向右滑行．
（1）請判斷木棍滑動的過程中，點 p到點o的距離是否變化講簡述理由；
（2）在木棍滑動的過程中，當滑動到什麼位置時，△aob的面積最大？簡述理由，並求出面積的最大值．
【回顧3】（2005、荊門，3分）已知直角三角形兩邊x，
y的長滿足則第三邊的長為
【回顧4】（2005、江西，3分）如圖1－1－16，正方形網格中，每個小正方形的邊長為1，則網格上的三角形abc中，邊長為無理數的邊數是（ ）
a．0 b．1 c．2 d．3
【回顧5】（2005、紹興，10分）如圖1－1－17，在平面直角座標系中，已知點a（－2，0）b(2，0〕
（1）畫出等腰直角三角形abc(畫出乙個即可)
（2）寫出（1）中畫出的△abc頂點c的座標．
【回顧6】（2005、麗水，4分）圖1－1－18，在rt△abc中，∠acb＝90○，cd⊥ab於d，若 ad=1，bd=4，則cd等於（ ）
a．2 b．4
c． d．3
【回顧7】（2005、臨沂，10分）△abc中,bc=a，c
a＝b，ab=c,若∠c=90○．如圖l－1－19，根據勾股定理，則a2 + b2＝c2．若△abc不是直角三角形，如圖1－1－20和圖l－1－21，請你模擬勾股定理，試猜想a2 + b2與c2的關係，並證明你的結論
【回顧8】（2005、衡州，4分）如圖l－l－22，在rt ab
c中，∠acb＝90○ ,cd⊥ab，d為垂足，且ad=3，則斜邊ab的長為（ ）
a、3 b.15
c.9 d、3－3
【回顧9】（2005、武漢，3分）如圖l－l－23，一電線桿ab的高為10公尺，當太陽光線與地面的夾角為60度時，其影長ac約為（在取1．732，結果保留 3個有效數字）
a．5．00公尺b．8．66公尺
第一章勾股定理
一 仔細選一選 每題4分,共24分 1 如果梯子的底端離建築物 5公尺，13公尺長的梯子可以達到該建築物的高度是 a 12公尺 b.13公尺 c.14公尺 d.15公尺 2 下列各組數中，以a，b，c為邊的三角形不是直角三角形的是 a.a 1.5，b 2,c 3b.a 7,b 24,c 25 c.a...
第一章勾股定理教案
1.1 探索勾股定理 一 學習目標 了解勾股定理並能運用勾股定理解決一些實際問題，提高探索新知的能力 通過自主學習 合作 學會探索勾股定理的方法.重點 勾股定理的探索和驗證 難點 用面積法驗證勾股定理.一 複習回顧 1 三角形三個內角的關係如何？直角三角形兩個銳角之間的關係如何？2 三角形三條邊的關...
第一章《勾股定理》自主評價
一，選擇題 1.a，b，c表示以直角三角形三邊為邊長的正方形的面積 則下列結論正確的是 a.a2 b2 c2 b.ab c c.a b c d.a b c2 2.下列各組數中以a，b，c為邊的三角形不是rt 的是 a a 2，b 3,c 4b a 7,b 24,c 25 c a 6,b 8,c 10...