乙個圓過定點問題的**和推廣
已知圓的方程為,直線過定點且與圓相切.
(1)求直線的方程;
(2)設圓與軸交與兩點,是圓上異於的任意一點,過點且與軸垂直的直線為
,直線交直線於點,直線交直線於點.求證:以為直徑的圓總經過定點,並求出定點座標.
解:(1)省略;
(2)對於圓方程,令,得,即.
又直線過點且與軸垂直，∴直線方程為.
設，則直線方程為
解方程組,得
同理可得,
∴以為直徑的圓的方程為，
又，∴整理得，
若圓經過定點,只需令,從而有,解得，
∴圓總經過定點座標為.
備註:本題是09年江蘇省蘇北四市(徐州、宿遷、淮安、連雲港)第三次調研考試第17題)
筆者對命題者提出的參考解法不是很認同,參考解法中引進的引數不太合理,導致後期定點的出現不自然,同時完全掩蓋了該問題的幾何背景.對此,筆者給出了如下的改進解法:
解:設直線的斜率分別為,則
直線,令,則,
直線,令,則,
以為直徑的圓的方程為,
即令,則.即以為直徑的圓總經過定點座標為.
從上述的改進解法中,我們注意到,由點在圓上運動而生成的兩個動點始終滿足乙個不變的條件,即它們縱座標的乘積始終為定值.記以為直徑的圓與軸的交點為,則由圓的相交弦定理可得到結論:,易知,點即為以為直徑的圓經過的定點.
由此,我們不難發現,此類圓過定點的問題是根據圓的相交弦定理來命制的.將問題一般化後,即可得到如下的命題:
命題1:已知圓與軸交與兩點,垂直於軸的直線過定點,是圓上異於的任意一點,若直線交直線於點,直線交直線於點,則以為直徑的圓總經過定點.
證明:設直線的斜率分別為,則
直線,令,則,
直線,令,則,
即設以為直徑的圓與軸的交點為,則由圓的相交弦定理可得,所以即為以為直徑的圓經過的定點.
在得到圓的優美結論後,我們自然會產生聯想,圓錐曲線也有這樣的優美性質嗎?筆者經過**,得到如下的一組命題:
命題2:已知橢圓與軸交與兩點,垂直於軸的直線過定點,是橢圓上異於的任意一點,若直線交直線於點,直線交直線於點,則以為直徑的圓總經過定點.
證明:設直線的斜率分別為,則
直線,令,則,
直線,令,則,
即設以為直徑的圓與軸的交點為,則由圓的相交弦定理可得,所以即為以為直徑的圓經過的定點.
特別地,當時,以為直徑的圓經過橢圓的右焦點.
命題3:已知雙曲線與軸交與兩點,垂直於軸的直線過定點,是雙曲線上異於的任意一點,若直線交直線於點,直線交直線於點,則以為直徑的圓總經過定點.
證明:設直線的斜率分別為,則
直線,令,則,
直線,令,則,
即設以為直徑的圓與軸的交點為,則由圓的相交弦定理可得,所以即為以為直徑的圓經過的定點.
特別地,當時,以為直徑的圓經過橢圓的右焦點.
命題4:已知拋物線,垂直於軸的直線過定點,是拋物線上異於的任意一點,點在直線上的射影為點,直線交直線於點,則以為直徑的圓總經過定點.
證明:設,則直線,令,則
,所以設以為直徑的圓與軸的交點為,則由圓的
相交弦定理可得,
所以即為以為直徑的圓經過的定點.
特別地,當時,以為直徑的圓經過拋物線的焦點.
圓的動點問題 經典習題及答案
圓的動點問題 25 本題滿分14分，第 1 小題4分，第 2 小題5分，第 3 小題5分 已知 在中，acb 90 bc 6，ac 8，過點作直線mn ac，點e是直線mn上的乙個動點，1 如圖1，如果點e是射線am上的乙個動點 不與點a重合 聯結ce交ab於點p 若ae為，ap為，求y關於x的函式...
例說圓錐曲線中證明 求 直線過定點的問題
漆紹傑在圓錐曲線中直線與圓錐曲線相結合的問題是較為複雜的問題，其中有一類問題是證明 求 直線過一定點，對於這一類問題如何去思考呢？它們的共同的解題思路是怎樣的呢？下面讓我們一起來 一下。既然直線過一定點，說明此直線的斜率是不定的，這使我們聯想到過定點的直線系方程，過一定點的直線系方程可以寫成的，那麼...
動點問題訓練
動點問題訓練三 2016年7月19日 1.2014年福建三明 已知二次函式y x2 2bx c，當x 1時，y的值隨x值的增大而減小，則實數b的取值範圍是 a.b 1 b.b 1 c.b 1 d.b 1 2.2014年廣東省 二次函式的大致圖象如圖所示，關於該二次函式，下列說法錯誤的是 a.函式有最...