動點問題的幾何題應該怎麼答?
動態幾何問題解法指要
以運動中的幾何圖形為載體構建的綜合題稱動態幾何問題，其已成為各地市中考壓軸題的首選題型。由於這種能把三角、平幾、函式、方程等集於一身的題型靈活性強、難度較大，廣大考生均感棘手。今析解兩例，望對同學們有所啟迪。
動態幾何問題解法指要：
1. 考慮運動全貌，善於「動」中捕「靜」，並能以「靜」制「動」。對運動全過程的深刻把握，有助於抓住運動中的某些關鍵時刻（靜止），同時便於站在更高角度鳥瞰全域性，不致以偏概全。
2. 善於「數形結合」。以數折形，精確；以形論數，直觀。
例1. 已知：如圖所示，等邊三角形abc中，ab＝2，點p是ab邊上的任意一點（點p可以與點a重合，但不與點b重合），過點p作pe⊥bc，垂足為e；過點e作ef⊥ac，垂足為f；過點f作fq⊥ab，垂足為q，設。
（1）寫出y與x之間的函式關係式；
（2）當bp的長等於多少時，點p與點q重合；
（3）當線段pe、fq相交時，寫出線段pe、ef、fq所圍成三角形的周長的取值範圍（不必寫出解題過程）。
分析：考慮運動全貌，明了運動變化趨勢，找到關鍵點，可以知曉如下情況：（參見圖2）
圖21. p與b重合時（假設能重合），e、b重合，f為ac中點，（見圖中四點）；p與a重合時，e為bc中點，（見圖中四點）；p**段ba上由b至a運動時，e從向運動，f從向運動，q從向運動，即p、q互相靠近；於是，ep、fq＝直線的交點經歷由△abc外到ab邊上到△abc內的過程；
2. 如圖1所示為運動過程的乙個情形，借助三角函式容易由bp→be→ec→cf→af→aq完成過渡，找到y與x關係；
圖13. p、b重合，p、q重合，p、a重合是三個關鍵時刻，是分情況討論的基礎。
解：（1）在rt△bep中，
∴同理，
af＝ac－cf＝1＋
aq＝af×cos60°＝
（2）如圖3，當p、q重合時，圖3∴
∴（3）如圖4，設三角形的周長為c圖4則
第（3）步解析：
易證∠oef＝∠ofe＝60°
則△oef為正三角形，求周長範圍轉為求3ef範圍，而
ef＝ec×sin60°＝
∵pe、fq相交時，
∴∴－1≤2－
∴例2. 如圖5，梯形abcd中，ad∥bc，∠abc＝90°，ad＝9，bc＝12，ab＝a，**段bc上任取一點p，鏈結dp，作射線pe⊥dp，pe與直線ab交於點e。
（1）試確定cp＝3時，點e的位置；
（2）若設cp＝x，be＝y，試寫出y與自變數x的關係式；
（3）若**段bc上能找到不同的兩點，使按上述作法得到的點e都與點a重合，試求a的取值範圍。
圖5分析：隨著a值及點p在bc上位置的變化，運動過程中可能出現以下幾種狀態：
①圖7中，易分析得dp⊥bc時，cp＝3，此時e與b重合；
②圖6、圖8、圖9中，均易得∠pdh＝90°－∠dph＝∠epb，從而△pdh∽△epb，進而利用比例線段確定y與x關係式；
③對於圖10，若e與a重合且∠epd＝90°，則必有在以ad為直徑的圓上，亦即bc與此圓相交，由此可確定a的取值範圍，這體現了數形結合的優勢。
圖10解：（1）過d作dh⊥bc於h，則四邊形abhd為矩形，bh＝ad＝9
∴ch＝12－9＝3
∴當cp＝3時，p與h重合，此時e與b重合
（2）無論點e在ba的延長線上，**段ab上或在ab的延長線上，都有
∠pdh＝90°－∠dph＝∠epb
故有△pdh∽△epb
∴，其中
pb＝bc－pc＝12－x
i：當0≤x＜3時，
e在ab延長線上，pu＝3－x ∴
ii：當3≤x＜12時，
e在射線ba上，ph＝x－3
∴（3）若**段bc上，e與a重合，又∠epd＝90°
∴在以ad為直徑的圓上
即此圓與直線bc相交故有
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