動點問題
題型方法歸納
動態幾何特點----問題背景是特殊圖形，考查問題也是特殊圖形，所以要把握好一般與特殊的關係；分析過程中，特別要關注圖形的特性（特殊角、特殊圖形的性質、圖形的特殊位置。）
動點問題一直是中考熱點，近幾年考查**運動中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、
相似三角形、平行四邊形、梯形、特殊角或
其三角函式、線段或面積的最值。
下面就此問題的常見題型作簡單介紹，解題方法、關鍵給以點撥。
一、三角形邊上動點
1、（2023年齊齊哈爾市）直線與座標軸分別交於兩點，動點同時從點出發，同時到達點，運動停止．點沿線段運動，速度為每秒1個單位長度，點沿路線→→運動．
（1）直接寫出兩點的座標；
（2）設點的運動時間為秒，的面積為，求出與之間的函式關係式；
（3）當時，求出點的座標，並直接寫出以點為頂點的平行四邊形的第四個頂點的座標．
提示：第（2）問按點p到拐點b所有時間分段分類；
第（3）問是分類討論：已知三定點o、p、q ，**第四點構成平行四邊形時按已知線段身份不同分類-----op為邊、oq為邊， op為邊、oq為對角線，③op為對角線、oq為邊。然後畫出各類的圖形，根據圖形性質求頂點座標。
2、（2023年衡陽市）
如圖，ab是⊙o的直徑，弦bc=2cm，
∠abc=60．
（1）求⊙o的直徑；
（2）若d是ab延長線上一點，鏈結cd，當bd長為多少時，cd與⊙o相切；
（3）若動點e以2cm/s的速度從a點出發沿著ab方向運動，同時動點f以1cm/s的速度從b點出發沿bc方向運動，設運動時間為，鏈結ef，當為何值時，△bef為直角三角形．
注意：第（3）問按直角位置分類討論
3、（2009重慶綦江）如圖，已知拋物線經過點，拋物線的頂點為，過作射線．過頂點平行於軸的直線交射線於點，在軸正半軸上，鏈結．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若動點從點出發，以每秒1個長度單位的速度沿射線運動，設點運動的時間為．問當為何值時，四邊形分別為平行四邊形？直角梯形？等腰梯形？
（3）若，動點和動點分別從點和點同時出發，分別以每秒1個長度單位和2個長度單位的速度沿和運動，當其中乙個點停止運動時另乙個點也隨之停止運動．設它們的運動的時間為，連線，當為何值時，四邊形的面積最小？並求出最小值及此時的長．
注意：發現並充分運用特殊角∠dab=60°
當△opq面積最大時，四邊形bcpq的面積最小。
二、 特殊四邊形邊上動點
4、（2023年吉林省）如圖所示，菱形的邊長為6厘公尺，．從初始時刻開始，點、同時從點出發，點以1厘公尺/秒的速度沿的方向運動，點以2厘公尺/秒的速度沿的方向運動，當點運動到點時，、兩點同時停止運動，設、運動的時間為秒時，與重疊部分的面積為平方厘公尺（這裡規定：點和線段是面積為的三角形），解答下列問題：
（1）點、從出發到相遇所用時間是秒；
（2）點、從開始運動到停止的過程中，當是等邊三角形時的值是秒；
（3）求與之間的函式關係式．
提示：第(3)問按點q到拐點時間b、c所有時間分段分類 ； 提醒----- 高相等的兩個三角形面積比等於底邊的比 。
5、（2023年哈爾濱）如圖1，在平面直角座標系中，點o是座標原點，四邊形abco是菱形，點a的座標為（，4），點c在x軸的正半軸上，直線ac交y軸於點m，ab邊交y軸於點h．
（1）求直線ac的解析式；
（2）連線bm，如圖2，動點p從點a出發，沿折線abc方向以2個單位／秒的速度向終點c勻速運動，設△pmb的面積為s（），點p的運動時間為t秒，求s與t之間的函式關係式（要求寫出自變數t的取值範圍）；
（3）在（2）的條件下，當 t為何值時，∠mpb與∠bco互為餘角，並求此時直線op與直線ac所夾銳角的正切值．
注意：第（2）問按點p到拐點b所用時間分段分類；
第（3）問發現∠mbc=90°，∠bco與∠abm互餘，畫出點p運動過程中，
∠mpb=∠abm的兩種情況，求出t值。
利用ob⊥ac,再求op與ac夾角正切值.
6、(2023年溫州)如圖，在平面直角座標系中，點a(，0)，b(3，2)，c（0，2)．動點d以每秒1個單位的速度從點0出發沿oc向終點c運動，同時動點e以每秒2個單位的速度從點a出發沿ab向終點b運動．過點e作ef上ab，交bc於點f，鏈結da、df．設運動時間為t秒．
(1)求∠abc的度數；
(2)當t為何值時，ab∥df；
(3)設四邊形aefd的面積為s．
①求s關於t的函式關係式；
②若一拋物線y=x2+mx經過動點e，當s<2時，求m的取值範圍(寫出答案即可)．
注意：發現特殊性，de∥oa
7、（07黃岡）已知：如圖，在平面直角座標系中，四邊形abco是菱形，且
∠aoc=60°，點b的座標是，點p從點c開始以每秒1個單位長度的速度**段cb上向點b移動，同時，點q從點o開始以每秒a（1≤a≤3）個單位長度的速度沿射線oa方向移動，設秒後，直線pq交ob於點d.
（1）求∠aob的度數及線段oa的長；
（2）求經過a，b，c三點的拋物線的解析式；
（3）當時，求t的值及此時直線pq的解析式；
（4）當a為何值時，以o，p，q，d為頂點的三角形與相似？當a 為何值時，以o，p，q，d為頂點的三角形與不相似？請給出你的結論，並加以證明.
8、（08黃岡）已知：如圖，在直角梯形中，，以為原點建立平面直角座標系，三點的座標分別為，點為線段的中點，動點從點出發，以每秒1個單位的速度，沿折線的路線移動，移動的時間為秒．
（1）求直線的解析式；
（2）若動點**段上移動，當為何值時，四邊形的面積是梯形面積的？
（3）動點從點出發，沿折線的路線移動過程中，設的面積為，請直接寫出與的函式關係式，並指出自變數的取值範圍；
（4）當動點**段上移動時，能否**段上找到一點，使四邊形為矩形？請求出此時動點的座標；若不能，請說明理由．
9、(09年黃岡市)如圖,在平面直角座標系xoy中,拋物線與x軸的交點為點a,與y軸的交點為點b. 過點b作x軸的平行線bc,交拋物線於點c,鏈結ac．現有兩動點p,q分別從o,c兩點同時出發,點p以每秒4個單位的速度沿oa向終點a移動,點q以每秒1個單位的速度沿cb向點b移動,點p停止運動時,點q也同時停止運動,線段oc,pq相交於點d,過點d作de∥oa,交ca於點e,射線qe交x軸於點f．設動點p,q移動的時間為t(單位:秒)
(1)求a,b,c三點的座標和拋物線的頂點的座標;
(2)當t為何值時,四邊形pqca為平行四邊形?請寫出計算過程;
(3)當0＜t＜時,△pqf的面積是否總為定值?若是,求出此定值, 若不是,請說明理由;
(4)當t為何值時,△pqf為等腰三角形?請寫出解答過程．
提示：第（3）問用相似比的代換，
得pf=oa（定值）。
第（4）問按哪兩邊相等分類討論
pq=pf, pq=fq, qf=pf.
三、 直線上動點
8、（2023年湖南長沙）如圖，二次函式（）的圖象與軸交於兩點，與軸相交於點．鏈結兩點的座標分別為、，且當和時二次函式的函式值相等．
（1）求實數的值；
（2）若點同時從點出發，均以每秒1個單位長度的速度分別沿邊運動，其中乙個點到達終點時，另一點也隨之停止運動．當運動時間為秒時，鏈結，將沿翻摺， 點恰好落在邊上的處，求的值及點的座標；
（3）在（2）的條件下，二次函式圖象的對稱軸上是否存在點，使得以為項點的三角形與相似？如果存在，請求出點的座標；如果不存在，請說明理由．
提示：第（2）問發現
特殊角∠cab=30°,∠cba=60°
特殊圖形四邊形bnpm為菱形；
第(3)問注意到△abc為直角三角形後，按直角位置對應分類；先畫出與△abc相似的△bnq ，再判斷是否在對稱軸上。
9、（2009眉山）如圖，已知直線與軸交於點a，與軸交於點d，拋物線與直線交於a、e兩點，與軸交於b、c兩點，且b點座標為 (1，0)。
⑴求該拋物線的解析式；
⑵動點p在x軸上移動，當△pae是直角三角形時，求點p的座標p。
⑶在拋物線的對稱軸上找一點m，使的值最大，求出點m的座標。
提示：第（2）問按直角位置分類討論後畫出圖形----p為直角頂點ae為斜邊時，以ae為直徑畫圓與x軸交點即為所求點p， a為直角頂點時，過點a作ae垂線交x軸於點p， e為直角頂點時，作法同；
第（3）問，三角形兩邊之差小於第三邊，那麼等於第三邊時差值最大。
10、（2023年蘭州）如圖①，正方形 abcd中，點a、b的座標分別為（0，10），（8，4）， 點c在第一象限．動點p在正方形 abcd的邊上，從點a出發沿a→b→c→d勻速運動，同時動點q以相同速度在x軸正半軸上運動，當p點到達d點時，兩點同時停止運動，設運動的時間為t秒．
(1)當p點在邊ab上運動時，點q的橫座標（長度單位）關於運動時間t（秒）的函式圖象如圖②所示，請寫出點q開始運動時的座標及點p運動速度；
(2)求正方形邊長及頂點c的座標；
(3)在（1）中當t為何值時，△opq的面積最大，並求此時p點的座標；
(4)如果點p、q保持原速度不變，當點p沿a→b→c→d勻速運動時，op與pq能否相等，若能，寫出所有符合條件的t的值；若不能，請說明理由．
注意：第（4）問按點p分別在ab、bc、cd邊上分類討論；求t值時，靈活運用等腰三角形「三線合一」。
11、（2023年北京市）如圖，在平面直角座標系中，△abc三個頂點的座標分別為
，，，延長ac到點d,使cd=,過點d作de∥ab交bc的延長線於點e.
（1）求d點的座標；
（2）作c點關於直線de的對稱點f,分別鏈結df、ef，若過b點的直線將四邊形cdfe分成周長相等的兩個四邊形，確定此直線的解析式；
（3）設g為y軸上一點，點p從直線與y軸的交點出發，先沿y軸到達g點，再沿ga到達a點，若p點在y軸上運動的速度是它在直線ga上運動速度的2倍，試確定g點的位置，使p點按照上述要求到達a點所用的時間最短。（要求：簡述確定g點位置的方法，但不要求證明）
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