旋轉問題
考查三角形全等、相似、勾股定理、特殊三角形和四邊形的性質與判定等。
旋轉性質----對應線段、對應角的大小不變,對應線段的夾角等於旋轉角。注意旋轉過程中三角形與整個圖形的特殊位置。
一、 直線的旋轉
1、(2023年浙江省嘉興市)如圖,已知a、b是線段mn上的兩點,,,.以a為中心順時針旋轉點m,以b為中心逆時針旋轉點n,使m、n兩點重合成一點c,構成△abc,設.
(1)求x的取值範圍;
(2)若△abc為直角三角形,求x的值;
(3)**:△abc的最大面積?
2、(2023年河南)如圖,在rt△abc中,∠acb=90°, ∠b =60°,bc=2.點0是ac的中點,過點0的直線l從與ac重合的位置開始,繞點0作逆時針旋轉,交ab邊於點d.過點c作ce∥ab交直線l於點e,設直線l的旋轉角為α.
(1)①當度時,四邊形edbc是等腰梯形,此時ad的長為
②當度時,四邊形edbc是直角梯形,此時ad的長為
(2)當α=90°時,判斷四邊形edbc是否為菱形,並說明理由.
3、(2023年北京市)
在中,過點c作ce⊥cd交ad於點e,將線段ec繞點e逆時針旋轉得到線段ef(如圖1)
(1)在圖1中畫圖**:
①當p為射線cd上任意一點(p1不與c重合)時,鏈結ep1繞點e逆時針旋轉得到線段ec1.判斷直線fc1與直線cd的位置關係,並加以證明;
②當p2為線段dc的延長線上任意一點時,鏈結ep2,將線段ep2繞點e 逆時針旋轉得到線段ec2.判斷直線c1c2與直線cd的位置關係,畫出圖形並直接寫出你的結論.
(2)若ad=6,tanb=,ae=1,在①的條件下,設cp1=,s=,求與之間的函式關係式,並寫出自變數的取值範圍.
分析:此題是綜合開放題-------已知條件、問題結論、解題依據、解題方法這四個要素中缺少兩個或兩個以上,條件需要補充,結論需要**,解題方法、思考方向有待搜尋。
解決此類問題,一般要經過觀察、實驗、分析、比較、模擬、歸納、推斷等**活動來尋找解題途徑。可從簡單、特殊的情況入手,由此獲得啟發和感悟,進而找到解決問題的正確途徑,是我們研究數學問題,進行猜想和證明的思維方法。華羅庚說:
善於退,足夠地退,退到最原始而不失重要性的地方,這是學好數學的乙個訣竅。
提示:(1)運用三角形全等,
(2)按cp=ce=4將x取值分為兩段分類討論;發現並利用好ec、ef相等且垂直。
4、(2009 黑龍江大興安嶺)
已知:在中,,動點繞的頂點逆時針旋轉,且,鏈結.過、的中點、作直線,直線與直線、分別相交於點、.
(1)如圖1,當點旋轉到的延長線上時,點恰好與點重合,取的中點,鏈結、,根據三角形中位線定理和平行線的性質,可得結論(不需證明).
(2)當點旋轉到圖2或圖3中的位置時,與有何數量關係?請分別寫出猜想,並任選一種情況證明.
二、 角的旋轉
5、(2023年中山)(1)如圖1,圓心接中,,、為的半徑,於點,於點求證:陰影部分四邊形的面積是的面積的.
(2)如圖2,若保持角度不變,
求證:當繞著點旋轉時,由兩條半徑和的兩條邊圍成的圖形(圖中陰影部分)面積始終是的面積的.
(2009襄樊市)如圖,在梯形中,點是的中點,是等邊三角形.
(1)求證:梯形是等腰梯形;
(2)動點、分別**段和上運動,且保持不變.設求與的函式關係式;
(3)在(2)中:
①當動點、運動到何處時,以點、和點、、、中的兩個點為頂點的四邊形是平行四邊形?並指出符合條件的平行四邊形的個數;
②當取最小值時,判斷的形狀,並說明理由.
提示:第(3)①問,兩種情形----
pm∥ab , pm∥cd
第(3)②問, 求出y最小值為3,此時x=pc=2,點p到bc中點,pm⊥bc .
6、(2023年重慶市)已知:如圖,在平面直角座標系中,矩形oabc的邊oa在y軸的正半軸上,oc在x軸的正半軸上,oa=2,oc=3.過原點o作∠aoc的平分線交ab於點d,連線dc,過點d作de⊥dc,交oa於點e.
(1)求過點e、d、c的拋物線的解析式;
(2)將∠edc繞點d按順時針方向旋轉後,角的一邊與y軸的正半軸交於點f,另一邊與線段oc交於點g.如果df與(1)中的拋物線交於另一點m,點m的橫座標為,那麼ef=2go是否成立?若成立,請給予證明;若不成立,請說明理由;
(3)對於(2)中的點g,在位於第一象限內的該拋物線上是否存在點q,使得直線gq與ab的交點p與點c、g構成的△pcg是等腰三角形?若存在,請求出點q的座標;若不存在,請說明理由.
提示:第(3)問,△pgc為等腰三角形按哪兩邊相等分類討論,求出點p座標,再求點q座標。
三、 三角形的旋轉
7、(2023年邵陽市)如圖,將rt△abc(其中∠b=34,∠c=90)繞a點按順時針方向旋轉到△ab1 c1的位置,使得點c、a、b1 在同一條直線上,那麼旋轉角最小等於( )
a.56 b.68 c.124 d.180
8、(2023年包頭)如圖,已知與是兩個全等的直角三角形,量得它們的斜邊長為10cm,較小銳角為30°,將這兩個三角形擺成如圖(1)所示的形狀,使點在同一條直線上,且點與點重合,將圖(1)中的繞點順時針方向旋轉到圖(2)的位置,點在邊上,交於點,則線段的長為 cm(保留根號).
9、(2009河池)如圖9,的頂點座標分別為.若將繞點順時針旋轉,得到,則點的對應點的座標為
10、(2023年郴州市)如圖,桌面上平放著一塊三角板和一把直尺,小明將三角板的直角頂點緊靠直尺的邊緣,他發現無論是將三角板繞直角頂點旋轉,還是將三角板沿直尺平移,與的和總是保持不變,那麼與的和是_______度.
11、(2023年台州市)如圖,三角板中,,,.
三角板繞直角頂點逆時針旋轉,當點的對應點落在邊的起始位置上時即停止轉動,則點轉過的路徑長為
12、(2023年涼山州)將繞點逆時針旋轉到使在同一直線上,若,,則圖中陰影部分面積為cm2.
13、(2023年郴州市)如圖6,在下面的方格圖中,將abc先向右平移四個單位得到ab1c1,再將ab1c1繞點a1逆時針旋轉得到ab2c2,請依次作出ab1c1和ab2c2。
14、(2023年達州)如圖7,在△abc中,ab=2bc,點d、點e分別為ab、ac的中點,鏈結de,將△ade繞點e旋轉180得到△cfe.試判斷四邊形bcfd的形狀,並說明理由.
15、(2009襄樊市)如圖所示,在中,將繞點順時針方向旋轉得到點在上,再將沿著所在直線翻轉得到連線
(1)求證:四邊形是菱形;
(2)連線並延長交於連線請問:四邊形是什麼特殊平行四邊形?為什麼?
16、(2023年株洲市)如圖,在中,,,將繞點沿逆時針方向旋轉得到.
(1)線段的長是
的度數是
(2)鏈結,求證:四邊形是平行四邊形;
(3)求四邊形的面積.
17、(2009煙台市)如圖,直角梯形abcd中,,,且,過點d作,交的平分線於點e,連線be.
(1)求證:;
(2)將繞點c,順時針旋轉得到,連線eg..求證:cd垂直平分eg.
(3)延長be交cd於點p.求證:p是cd的中點.即.
18、(2023年山西省)
在中,將繞點順時針旋轉角得交於點,分別交於兩點.
(1)如圖1,觀察並猜想,在旋轉過程中,線段與有怎樣的數量關係?並證明你的結論;
(2)如圖2,當時,試判斷四邊形的形狀,並說明理由;
(3)在(2)的情況下,求的長.
提示:(1)考查三角形旋轉過程中的不變數再匯出圖形各線段間的各種關係;
(2)在特殊條件下,
得到線段間的特殊關係。
19、(2023年牡丹江)
已知中,為邊的中點, 繞點旋轉,它的兩邊分別交、(或它們的延長線)於、當繞點旋轉到於時(如圖1),易證
當繞點旋轉到不垂直時,在圖2和圖3這兩種情況下,上述結論是否成立?若成立,請給予證明;若不成立,、、又有怎樣的數量關係?請寫出你的猜想,不需證明.
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