專題一動點型問題（一）參***
（建立動點問題的函式解析式（或函式影象）、動態幾何型壓軸題）
例1、思路分析： 根據題意設出點p運動的路程x與點p到點a的距離y的函式關係式，然後對x從0到2a+2a時分別進行分析，並寫出分段函式，結合圖象得出答案．
解：設動點p按沿折線a→b→d→c→a的路徑運動，
∵正方形abcd的邊長為a，
∴bd=a，
則當0≤x＜a時，y=x，
當a≤x＜（1+）a時，y=，
當a（1+）≤x＜a（2+）時，y=，
當a（2+）≤x≤a（2+2）時，y=a（2+2）﹣x，
結合函式解析式可以得出第2，3段函式解析式不同，得出a選項一定錯誤，
根據當a≤x＜（1+）a時，函式圖象被p在bd中點時，分為對稱的兩部分，故b選項錯誤，
再利用第4段函式為一次函式得出，故c選項一定錯誤，
故只有d符合要求，
故選：d．
點評： 此題主要考查了動點問題的函式圖象問題；根據自變數不同的取值範圍得到相應的函式關係式是解決本題的關鍵．
思路分析： 首先根據點d的座標求得點a的座標，從而求得線段oa和線段oc的長，然後根據運動時間即可判斷三角形eof的面積的變化情況．
例2 、解：∵d（5，4），ad=2．
∴oc=5，cd=4 oa=5
∴運動x秒（x＜5）時，oe=of=x，
作eh⊥oc於h，ag⊥oc於點g，
∴eh∥ag
∴△eho∽△ago
即：∴eh=x
∴s△eof=ofeh=×x×x=x2，
故a、b選項錯誤；
當點f運動到點c時，點e運動到點a，此時點f停止運動，點e在ad上運動，△eof的面積不變，
點在dc上運動時，如右圖，
ef=11﹣x，oc=5
∴s△eof=occe=×（11﹣x）×5=﹣x+是一次函式，故c正確，
點評： 本題考查了動點問題的函式圖象，解題的關鍵是根據動點確定分段函式的圖象．
例3 、思路分析： （1）利用等腰直角三角形的性質得到∠bad=∠dac=∠b=∠c=45°，進而得到ad=bd=dc，為證明△aed≌△cfd提供了重要的條件；
（2）利用s四邊形aedf=s△aed+s△adf=s△cfd+s△adf=s△adc=9 即可得到y與x之間的函式關係式；
（3）依題意有：af=be=x﹣6，ad=db，∠abd=∠dac=45°得到∠daf=∠dbe=135°，從而得到△adf≌△bde，利用全等三角形面積相等得到s△adf=s△bde從而得到s△edf=s△eaf+s△adb即可確定兩個變數之間的函式關係式．
解： （1）證明：∵∠bac=90° ab=ac=6，d為bc中點
∴∠bad=∠dac=∠b=∠c=45°
∴ad=bd=dc （2分）
∵ae=cf∴△aed≌△cfd
（2）解：依題意有：fc=ae=x，
∵△aed≌△cfd
∴s四邊形aedf=s△aed+s△adf=s△cfd+s△adf=s△adc=9 ∴∴；
（3）解：依題意有：af=be=x﹣6，ad=db，∠abd=∠dac=45°
∴∠daf=∠dbe=135°
∴△adf≌△bde
∴s△adf=s△bde
∴s△edf=s△eaf+s△adb=∴．
點評： 本題考查了等腰直角三角形的性質及全等三角形的判定與性質，考查的知識點雖然不是很多但難度較大．
例4、思路分析： （1）已知直線ab的解析式，令解析式的x=0，能得到a點座標；令y=0，能得到b點座標；在rt△oab中，知道oa、ob的長，用正切函式即可得到∠abo的讀數．
（2）當c、a重合時，就告訴了點c的座標，然後結合oc的長以及等邊三角形的特性求出od、oe的長，即可得到d、e的座標，利用待定係數即可確定a的值．
（3）此題需要結合圖形來解，首先畫出第一次相切時的示意圖（詳見解答圖）；已知的條件只有圓的半徑，那麼先連線圓心與三個切點以及點e，首先能判斷出四邊形cpmn是正方形，那麼cp與⊙m的半徑相等，只要再求出pe就能進一步求得c點座標；那麼可以從pe=eq，即rt△mep入手，首先∠ced=60°，而∠mep=∠meq，易求得這兩個角的度數，通過解直角三角形不難得到pe的長，即可求出pe及點c、e的座標．然後利用c、e的座標確定a的值，進而可求出ac的長，由此得解．
解：（1）當x=0時，y=1；當y=0時，x=﹣，
∴oa=1，ob=，∴a的座標是（0，1）
∠abo=30°．
（2）∵△cde為等邊△，點a（0，1），
∴tan30°=，∴，
∴d的座標是（﹣，0），
e的座標是（，0），
把點a（0，1），d（﹣，0），e（，0）代入 y=a（x﹣m）2+n，
解得：a=﹣3．
（3）如圖，設切點分別是q，n，p，連線mq，mn，mp，me，過點c作ch⊥x軸，h為垂足，過a作af⊥ch，f為垂足．
∵△cde是等邊三角形，∠abo=30°
∴∠bce=90°，∠ecn=90°
∵ce，ab分別與⊙m相切，∴∠mpc=∠cnm=90°，∴四邊形mpcn為矩形，∵mp=mn
∴四邊形mpcn為正方形…6分
∴mp=mn=cp=cn=3（1﹣）a（a＜0）．
∵ec和x軸都與⊙m相切，∴ep=eq．
∵∠nbq+∠nmq=180°，∴∠pmq=60°
∴∠emq，=30°，∴在rt△mep中，tan30°=，∴pe=（﹣3）a
∴ce=cp+pe=3（1﹣）a+（﹣3）a=﹣2a
∴dh=he=﹣a，ch=﹣3a，bh=﹣3a，
∴oh=﹣3a﹣，oe=﹣4a﹣
∴e（﹣4a﹣，0）
∴c（﹣3a﹣，﹣3a）
設二次函式的解析式為：y=a（x+3a+）2﹣3a
∵e在該拋物線上
∴a（﹣4a﹣+3a+）2﹣3a=0
得：a2=1，解之得a1=1，a2=﹣1
∵a＜0，∴a=﹣1
∴af=2，cf=2，∴ac=4
∴點c移動到4秒時，等邊△cde的邊ce第一次與⊙m相切．
點評： 這道二次函式綜合題目涉及的知識點較多，有：待定係數法確定函式解析式、等邊三角形的性質、切線長定理等重點知識．難度在於涉及到動點問題，許多數值都不是具體值；（3）題中，正確畫出草圖、貫徹數形結合的解題思想是關鍵．
例5、思路分析： （1）①當直線經過圓心m（4，2）時，將圓心座標代入直線解析式，即可求得b的值；
②當若直線與⊙m相切，如答圖1所示，應有兩條符合條件的切線，不要遺漏．
欲求此時b的值，可以先求出切點p的座標，代入解析式即可；欲求切點p的座標，可以構造相似三角形△pmn∽△bao，求得pn=2mn，然後在rt△pmn中利用勾股定理求出mn和pn，最後求出p點座標；
（2）本問關鍵是弄清直線掃過矩形abcd的運動過程，可以分為五個階段，分別求出每一階段s的表示式，如答圖2﹣4所示．
解：（1）①直線l：y=﹣2x+b（b≥0）經過圓心m（4，2）時，則有：2=﹣2×4+b，∴b=10；
②若直線l：y=﹣2x+b（b≥0）與⊙m相切，如答圖1所示，應有兩條符合條件的切線．
設直線與x軸、y軸交於a、b點，則a（，0）、b（0，b），∴ob=2oa．
由題意，可知⊙m與x軸相切，設切點為d，連線md；
設直線與⊙m的乙個切點為p，連線mp並延長交x軸於點g；過p點作pn⊥md於點n，ph⊥x軸於點h．
易證△pmn∽△bao，∴pn：mn=ob：oa=2：1，∴pn=2mn．
在rt△pmn中，由勾股定理得：pm2=pn2+mn2，解得：mn=，pn=，
∴ph=nd=md﹣mn=2﹣，oh=od﹣hd=od﹣pn=4﹣，
∴p（4﹣，2﹣），代入直線解析式求得：b=10﹣2；
同理，當切線位於另外一側時，可求得：b=10+2．
（2）由題意，可知矩形abcd頂點d的座標為（2，2）．
由一次函式的性質可知，當b由小到大變化時，直線l：y=﹣2x+b（b≥0）向右平移，依次掃過矩形abcd的不同部分．
可得當直線經過a（2，0）時，b=4；當直線經過d（2，2）時，b=6；當直線經過b（6，0）時，b=12；當直線經過c（6，0）時，b=14．
①當0≤b≤4時，s=0；
②當4＜b≤6時，如答圖2所示．
設直線l：y=﹣2x+b與x軸交於點p，與ad交於點q．
令y=0，可得x=，∴ap=﹣2；
令x=2，可得y=b﹣4，∴aq=b﹣4．
∴s=s△apq=apaq=（﹣2）（b﹣4）=b2﹣2b+4；
③當6＜b≤12時，如答圖3所示．
設直線l：y=﹣2x+b與x軸交於點p，與cd交於點q．
令y=0，可得x=，∴ap=﹣2；
令y=2，可得x=﹣1，∴dq=﹣3．
s=s梯形apqd=（dq+ap）ad=b﹣5；
④當12＜b≤14時，如答圖4所示．
設直線l：y=﹣2x+b與bc交於點p，與cd交於點q．
令x=6，可得y=b﹣12，∴bp=b﹣12，cp=14﹣b；
令y=2，可得x=﹣1，∴dq=﹣3，cq=7﹣．
s=s矩形abcd﹣s△pqc=8﹣cpcq=b2+7b﹣41；
⑤當b＞14時，s=s矩形abcd=8．
綜上所述，當b由小到大變化時，s與b的函式關係式為：
．點評： 本題是動線型壓軸題，綜合考查了一次函式的圖象與性質、圓的切線性質、相似三角形、矩形、梯形、勾股定理以及圖形面積等重要知識點，涉及的考點較多，難度較大，對同學們的解題能力提出了很高的要求．本題的難點在於：（i）第（1）②問中，圓的切線有兩條，容易遺漏．求切點座標時候，注意運用相似關係化簡運算；（ii）第（2）問中，動直線的運動過程分析是難點，注意劃分為五個階段，分別求出每個階段s的表示式．
例6、思路分析： （1）構造全等三角形，由全等三角形對應線段之間的相等關係，求出點d、點e的座標；
（2）利用待定係數法求出拋物線的解析式；
（3）本問非常複雜，須小心思考與計算：
①為求s的表示式，需要識別正方形（與拋物線）的運動過程．正方形的平移，從開始到結束，總共歷時秒，期間可以劃分成三個階段：當0＜t≤時，對應圖（3）a；當＜t≤1時，對應圖（3）b；當1＜t≤時，對應圖（3）c．每個階段的表示式不同，請對照圖形認真思考；
②當運動停止時，點e到達y軸，點e（﹣3，2）運動到點e′（0，），可知整條拋物線向右平移了3個單位，向上平移了個單位．由此得到平移之後的拋物線解析式，進而求出其頂點座標．
解：（1）由題意可知：ob=2，oc=1．
初一動點問題答案
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11考數學複習專題講座十一 動點型問題 一 學生版
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