中考專題訓練中考壓軸題（二）------動態問題（動點）
1.(07河北省)26. 如圖16，在等腰梯形abcd中，ad∥bc，ab=dc=50，ad=75，bc=135．點p從點b出發沿折線段ba-ad-dc以每秒5個單位長的速度向點c勻速運動；點q從點c出發沿線段cb方向以每秒3個單位長的速度勻速運動，過點q向上作射線qk⊥bc，交折線段cd-da-ab於點e．點p、q同時開始運動，當點p與點c重合時停止運動，點q也隨之停止．設點p、q運動的時間是t秒（t＞0）．
（1）當點p到達終點c時，求t的值，並指出此時bq的長；
（2）當點p運動到ad上時，t為何值能使pq∥dc？
（3）設射線qk掃過梯形abcd的面積為s，分別求出點e運動到cd、da上時，s與t的函式關係式；（不必寫出t的取值範圍）
（4）△pqe能否成為直角三角形？若能，寫出t的取值範圍；若不能，請說明理由．
解：（1）t=（50＋75＋50）÷5=35（秒）時，點p到達終點c．
此時，qc=35×3=105，∴bq的長為135－105=30．
（2）如圖8，若pq∥dc，又ad∥bc，則四邊形pqcd
為平行四邊形，從而pd=qc，由qc=3t，ba+ap=5t
得50＋75－5t=3t，解得t=．
經檢驗，當t=時，有pq∥dc．
（3）①當點e在cd上運動時，如圖9．分別過點a、d
作af⊥bc於點f，dh⊥bc於點h，則四邊形
adhf為矩形，且△abf≌△dch，從而
fh= ad=75，於是bf=ch=30．∴dh=af=40．
又qc=3t，從而qe=qc·tanc=3t·=4t．
（注：用相似三角形求解亦可）
∴s=s⊿qce=qe·qc=6t2；
②當點e在da上運動時，如圖8．過點d作dh⊥bc於點h，由①知dh=40，ch=30，又qc=3t，從而ed=qh=qc－ch=3t－30．
∴s= s梯形qcde=(ed＋qc)dh =120 t－600．
（4）△pqe能成為直角三角形．
當△pqe為直角三角形時，t的取值範圍是0＜t≤25且t≠或t=35．
（注：（4）問中沒有答出t≠或t=35者各扣1分，其餘寫法酌情給分）
下面是第（4）問的解法，僅供教師參考：
①當點p在ba（包括點a）上，即0＜t≤10時，如圖9．過點p作pg⊥bc於點g ，則pg=pb·sinb=4t，又有qe=4t= pg，易得四邊形pgqe為矩形，此時△pqe總能成為直角三角形．
②當點p、e都在ad（不包括點a但包括點d）上，即10＜t≤25時，如圖8．
由qk⊥bc和ad∥bc可知，此時，△pqe為直角三角形，但點p、e不能重合，即
5t－50＋3t－30≠75，解得t≠．
③當點p在dc上（不包括點d但包括點c），
即25＜t≤35時，如圖10．由ed＞25×3－30=45，
可知，點p在以qe=40為直徑的圓的外部，故
∠epq不會是直角．
由∠peq＜∠deq，可知∠peq一定是銳角．
對於∠pqe，∠pqe≤∠cqe，只有當點p與c
重合，即t=35時，如圖11，∠pqe=90°，△pqe
為直角三角形．
綜上所述，當△pqe為直角三角形時，t的取值範圍是0＜t≤25且t≠或t=35．
2. (07吉林省) 28．如圖①，在邊長為的正方形中，是對角線上的兩個動點，它們分別從點，點同時出發，沿對角線以的相同速度運動，過作垂直交的直角邊於；過作垂直交的直角邊於，連線，．設，，，圍成的圖形面積為，，，圍成的圖形面積為（這裡規定：線段的面積為）．到達到達停止．若的運動時間為，解答下列問題：
（1）當時，直接寫出以為頂點的四邊形是什麼四邊形，並求為何值時，．
（2）①若是與的和，求與之間的函式關係式．（圖②為備用圖）
②求的最大值．
解: （1）以為頂點的四邊形是矩形．
正方形邊長為，．
，過作於，則．
，，．當時，．
解得（捨去），．
當時，．
（2）①當時，
．當時，，，．．
．②解法1：當時，
，當時，的最大值為．
當時，，
當時，的最大值為．
綜上可得，的最大值為．
解法2：，
當時，的最大值為．
，當時，的最大值為．
綜上可得，的最大值為．
3. (07哈爾濱市)28. 如圖，梯形在平面直角座標系中，上底平行於軸，下底交軸於點，點（4，），點，，．
（1）求直線的解析式；
（2）若點的座標為，動點從出發，以1個單位/秒的速度沿著邊向點運動（點可以與點或點重合），求的面積（）隨動點的運動時間秒變化的函式關係式（寫出自變數的取值範圍）；
（3）在（2）的條件下，當秒時，點停止運動，此時直線與軸交於點．另一動點開始從出發，以1個單位/秒的速度沿著梯形的各邊運動一周，即由到，然後由到，再由到，最後由回到（點可以與梯形的各頂點重合）．設動點的運動時間為秒，點為直線上任意一點（點不與點重合），在點的整個運動過程中，求出所有能使與相等的的值．
4. （07揚州市）26.如圖，矩形中，厘公尺，厘公尺（）．動點同時從點出發，分別沿，運動，速度是厘公尺／秒．過作直線垂直於，分別交，於．當點到達終點時，點也隨之停止運動．設運動時間為秒．
（1）若厘公尺，秒，則______厘公尺；
（2）若厘公尺，求時間，使，並求出它們的相似比；
（3）若在運動過程中，存在某時刻使梯形與梯形的面積相等，求的取值範圍；
（4）是否存在這樣的矩形：在運動過程中，存在某時刻使梯形，梯形，梯形的面積都相等？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．
解: （1），
（2），使，相似比為
（3），
，即，當梯形與梯形的面積相等，即
化簡得，
，，則，
（4）時，梯形與梯形的面積相等
梯形的面積與梯形的面積相等即可，則
，把代入，解之得，所以．
所以，存在，當時梯形與梯形的面積、梯形的面積相等．
4. （06山東濟寧卷）如圖，以o為原點的直角座標系中，a點的座標為（0，1），直線x=1交x軸於點b。p為線段ab上一動點，作直線pc⊥po，交直線x=1於點c。
過p點作直線mn平行於x軸，交y軸於點m，交直線x=1於點n。
（1）當點c在第一象限時，求證：△opm≌△pcn；
（2）當點c在第一象限時，設ap長為m，四邊形pobc的面積為s，請求出s與m間的函式關係式，並寫出自變數m的取值範圍；
（3）當點p**段ab上移動時，點c也隨之在直線x=1上移動，△pbc是否可能成為等腰三角形？如果可能，求出所有能使△pbc成為等腰三角形的點p的座標；如果不可能，請說明理由。
[解] （1）∵om∥bn，mn∥ob，∠aob=900，
四邊形obnm為矩形。
mn=ob=1,∠pmo=∠cnp=900
ao=bo=1，
am=pm。
om=oa-am=1-am，pn=mn-pm=1-pm
∴om=pn
∵∠opc=900
∴∠opm+cpn=900
又∵∠opm+∠pom=900
∴∠cpn=∠pom
∴△opm≌△pcn
（2）∵am=pm=apsin450=
∴nc=pm=
∴bn=om=pn=1-
∴bc=bn-nc=1--=
（3）△pbc可能為等腰三角形。
①當p與a重合時，pc=bc=1，此時p（0，1）
②當點c在第四象限，且pb=cb時，
有bn=pn=1－
∴bc=pb=pn=-m
∴nc=bn+bc=1－+-m
由⑵知：nc=pm=
∴1－+-m=
∴m=1
∴pm==，bn=1－=1－
∴p（,1－）
∴使△pbc為等腰三角形的的點p的座標為（0，1）或（,1－）
[點評]此題的設計比較精巧，將幾何知識放在座標系中進行考查，第1題運用相似形等幾何知識不難得證，第2小題需利用第1小問的結論來建立函式解析式，第3小題需分類討論，不要漏解，運用方程思想可以得到答案。
5. （06山西卷）如圖，已知拋物線與座標軸的交點依次是，，．
（1）求拋物線關於原點對稱的拋物線的解析式；
（2）設拋物線的頂點為，拋物線與軸分別交於兩點（點在點的左側），頂點為，四邊形的面積為．若點，點同時以每秒1個單位的速度沿水平方向分別向右、向左運動；與此同時，點，點同時以每秒2個單位的速度沿堅直方向分別向下、向上運動，直到點與點重合為止．求出四邊形的面積與運動時間之間的關係式，並寫出自變數的取值範圍；
（3）當為何值時，四邊形的面積有最大值，並求出此最大值；
（4）在運動過程中，四邊形能否形成矩形？若能，求出此時的值；若不能，請說明理由．
[解] （1）點，點，點關於原點的對稱點分別為，，．
設拋物線的解析式是，則
解得所以所求拋物線的解析式是．
（2）由（1）可計算得點．
過點作，垂足為．
當運動到時刻時，，．
根據中心對稱的性質，所以四邊形是平行四邊形．
所以．所以，四邊形的面積．
因為運動至點與點重合為止，據題意可知．
所以，所求關係式是，的取值範圍是．
（3），（）．
所以時，有最大值．
提示：也可用頂點座標公式來求．
（4）在運動過程中四邊形能形成矩形．
由（2）知四邊形是平行四邊形，對角線是，所以當時四邊形是矩形．
所以．所以．
所以．解之得（舍）．
所以在運動過程中四邊形可以形成矩形，此時．
[點評]本題以二次函式為背景，結合動態問題、存在性問題、最值問題，是一道較傳統的壓軸題，能力要求較高。
5. （06廣東課改卷）如圖所示，在平面直角座標中，四邊形oabc是等腰梯形，bc∥oa，oa=7，ab=4，∠ coa=60°，點p為x軸上的—個動點，點p不與點0、點a重合．鏈結cp，過點p作pd交ab於點d．
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