高三理科班數學附加題速成教材
矩陣（一）基礎知識
1. 矩陣的定義：同一橫（豎）排中按原來次序的兩個數叫做矩陣的行（列），組成矩陣的每乙個數都叫做矩陣的元素，其中，從左上角到右下角的這條對角線稱為矩陣的主對角線。
由4個元素a,b,c,d排成的正方形數表稱為二階矩陣。
2. 二階行矩與平面向量的乘法定義：規定二階矩陣a=，與向量的乘積為=；
數乘平面向量：設，是任意乙個實數，則；
.平面向量的加法：設，，則
數乘結合律：；分配律：；
二階行矩乘法=；
復合變換與二階矩陣的乘法（左乘）：；
如：已知△abc，a(－1，0)，b(3，0)，c(2，1)，對它先作關於x軸的反射變換，再將所得圖形繞原點逆時針旋轉90°．分別求兩次變換所對應的矩陣m1，m2；求點c在兩次連續的變換作用下所得到的點的座標．
解m＝m2 m1＝＝ ．c座標是(1，2)．
說明連續兩次變換所對應二階矩陣相乘的順序m2 m1．
5.幾種常見的平面變換
(1) 恒等變換陣（即單位矩陣）：任何乙個列向量在作用下均保持不變，稱為恒等變換陣。
(2) 伸壓變換定義：將每個點的橫座標變為原來的倍，縱座標變為原來的倍，這樣的幾何變換為
伸壓變換；
向量在矩陣的作用下變換為向量，也就是矩陣把平面上的點變換為橫座標
不變，縱座標為原來的2倍的點；從幾何直觀上看即把乙個幾何圖形保持x軸方向不變，而沿y軸
方向拉長為原來的2倍的變換。
(3) 反射變換：把平面上任意一點p對應到它關於直線對稱點p』的線性變換叫做關於直線的反射；
形如矩陣將圖形變為關於y軸、關於x軸軸反射以及關於原點對稱中心對稱圖形
變換矩陣，成為反射變換。
（4）旋轉變換：矩陣，逆時針旋轉90度，順時針旋轉90度
如：已知曲線：（1）將曲線繞座標原點逆時針旋轉後，求得到的曲線的方程；
（2）求曲線的焦點座標和漸近線方程. ；由（1）知，
只須把曲線的焦點、漸近線繞座標原點順時針旋轉後，即可得到曲線的
焦點座標和漸近線方程。曲線的焦點座標是，漸近線方程，
矩陣變換後，曲線的焦點座標是。而把直線要原點順時針旋轉
恰為軸與軸，因此曲線的漸近線方程為和。
（5）投影變換：定義：將平面上每個點p對應到它在直線上的投影p』（即垂足），這個變換稱為關於
直線的投影變換，點投影到x軸上，橫座標不變，縱座標為0.
，點投影到y=x上； ；
（6）切變換定義：將每一點p（x,y）沿著與x軸平行的方向平移個單位，稱為平行於x軸的切變變換。
將每一點p（x,y）沿著與y軸平行的方向平移個單位，稱為平行於y軸的切變變換；
如：設矩陣對應的變換是把座標平面上的點的橫座標伸長3倍，再將縱座標伸長2倍的兩個伸壓
變換的復合，求其逆矩陣以及圓在的作用下的新曲線的方程．
3.逆變換與逆矩陣：逆變換：設是乙個線性變換，如果存在乙個線性變換，使得＝＝，（是恒等變換）則稱變換可逆，其中是的逆變換。
逆矩陣：設ａ是乙個二階可逆矩陣，如果存在二階矩陣ｂ，使ａｂ＝ｂａ＝e，則稱二階矩陣ａ是可逆矩陣，稱ｂ是二階矩陣ａ的逆矩陣（簡稱逆陣）記作a-1。提醒：
證明逆矩陣必須全面，ａｂ＝ｂａ＝e。
如：給定矩陣m=，n=及向量e1=，e2=．
（ⅰ）證明m和n互為逆矩陣；
（ⅱ）證明e1和e2都是m特徵向量．
4.特徵值和特徵向量：,存在和非零向量滿足=，
即=，，
則=0。設稱為特徵多項式，則叫a的乙個特徵值，叫特徵向量。
用特徵值和特徵向量定義求二階矩陣的方法：
如：已知二階矩陣a的屬於特徵值－1的乙個特徵向量為，屬於特徵值3的乙個特徵向量為，
求矩陣a．
解設a=，由題知=， =3．所以a=．
（二）基本計算
1.的計算:一般地，。
意義表示旋轉變換，逆時針連續逆時針旋轉度；
如：設a=，則a6
歸納猜想：設矩陣a＝（a≠0）．（1）求a2，a32）猜想an（n∈n*）；
解 （1）a2＝， a32）an＝（n∈n*）；
如：m=，向量求： m3；
如：已知m=，試計算
答案:矩陣m的特徵多次式為，特徵向量分別為和，
而，所以；
設數列滿足，且滿足，試求二階矩陣．
解：，則
2.求逆矩陣常見的方法：ａｂ＝ｂａ＝e
（1）用待定係數法求逆矩陣：設ａ是乙個二階可逆矩陣，ａｂ＝ｂａ＝e；
（2）公式法：＝，記為：deta，有，當且僅當deta=0；
（3）從幾何變換的角度求解二階矩陣乘法的逆矩陣4）(ab)－1＝b－1a－1 。
3. 變換前後的曲線方程：
座標轉移法；求變換前的曲線方程：座標轉移法；
求變換矩陣：根據特殊點座標變換待定係數法
如：設平面上伸縮變換的座標表示式為，求圓在此伸縮變換下的方程，並指出變換後
的方程表示什麼曲線.
解：由可得，代入圓的方程得，即，
它表示中心在原點、焦點在軸上的橢圓.
如：已知向量, 將繞原點按逆時針方向旋轉得到,則與同向的單位向量
是________
4利用逆矩陣解方程組的步驟： 可以表示成=，
簡寫成,
如：設a=，試解方程ax=b。
答案：由已知，x=，即
行列式解方程：，
5.求特徵向量和特徵值的步驟：
（1）=0；
（2）解；
（3）取或者；
6. ,如何求的步驟，是乙個特徵向量：，, ,依此，。
7.如何求的步驟：
（1）求，即m的特徵值和特徵向量；
（2）用特徵向量線性表示向量，即是常數，但一般不是；
（3）代入=,
因為， =，依此， =；如：矩陣m= ，向量= 求m3：
m3= m3（31+2）=3 m31+ m32 =3131+232
=3×43+（-2）3×=；
典型例題：
1．已知△abc，a(－1，0)，b(3，0)，c(2，1)，對它先作關於x軸的反射變換，再將所得圖形繞原點逆時針旋轉90°．
（1）分別求兩次變換所對應的矩陣m1，m2；
（2）求點c在兩次連續的變換作用下所得到的點的座標．
解 （1）m1＝，m2＝；
（2）因為m＝m2 m1＝＝，所以m＝＝．
故點c在兩次連續的變換作用下所得到的點的座標是(1，2)．
2．二階矩陣m對應的變換將點(1，－1)與(－2，1)分別變換成點(－1，－1)與(0，－2)．
（1）求矩陣m；
（2）設直線l在變換m作用下得到了直線m：x－y＝4，求l的方程．
解 （1）設m=，則有=， =，
所以且解得，所以m=．
（2）任取直線l上一點p(x，y)經矩陣m變換後為點p』(x』，y』)．
因為，所以又m：，
所以直線l的方程(x+2y)－(3x+4y)=4，即x+y+2=0．
3．設矩陣m的特徵值為λ1=3，λ2=－1，其對應的乙個特徵向量分別為，．若，試求m20．
解設，解得，所以
m20= m20=4（m20）－3（m20）=4（λ120）－3（λ220）
=．4．已知二階矩陣a的屬於特徵值－1的乙個特徵向量為，屬於特徵值3的乙個特徵向量為，
求矩陣a．
解設a=，由題知=， =3．
即，解之得： 所以a=．
5．運用旋轉變換矩陣．求曲線xy＝3繞原點順時針旋轉45°角後所得的曲線方程．
解繞原點順時針旋轉45°的變換矩陣為，即．
任取曲線上一點p(x，y)繞原點順時針旋轉45°角後所得點p』(x』，y』)．
則＝＝，
所以解得
代入xy＝3得，x』2－y』2＝6．故曲線的方程為x2－y2＝6．
6．（1）求矩陣a=的逆矩陣； （2）利用逆矩陣知識解方程組．
解（1）設逆矩陣為，則由，
得 ，解得， 所以．
(2)，即．
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