線段與角的動點問題
1．如圖，射線om上有三點a、b、c，滿足oa＝20cm，ab＝60cm，bc＝10cm（如圖所示），點p從點o出發，沿om方向以1cm/秒的速度勻速運動，點q從點c出發**段co上向點o勻速運動（點q運動到點o時停止運動），兩點同時出發．
（1）當p運動到線段ab上且pa＝2pb時，點q運動到的位置恰好是線段oc的三等分點，求點q的運動速度；
（2）若點q運動速度為3cm/秒，經過多長時間p、q兩點相距70cm？
【解答】解：（1）p**段ab上，由pa＝2pb及ab＝60，可求得pa＝40，op＝60，故點p運動時間為60秒．
若cq＝oc時，cq＝30，點q的運動速度為30÷60＝（cm/s）；
若oq＝oc，cq＝60，點q的運動速度為60÷60＝1（cm/s）．
（2）設運動時間為t秒，則t+3t＝90±70，解得t＝5或40，
∵點q運動到o點時停止運動，
∴點q最多運動30秒，當點q運動30秒到點o時pq＝op＝30cm，之後點p繼續運動40秒，則
pq＝op＝70cm，此時t＝70秒，
故經過5秒或70秒兩點相距70cm．
2．如圖，直線l上依次有三個點o，a，b，oa＝40cm，ob＝160cm．
（1）若點p從點o出發，沿oa方向以4cm/s的速度勻速運動，點q從點b出發，沿bo方向勻速運動，兩點同時出發
①若點q運動速度為1cm/s，則經過t秒後p，q兩點之間的距離為 |160﹣5t| cm（用含t的式子表示）
②若點q運動到恰好是線段ab的中點位置時，點p恰好滿足pa＝2pb，求點q的運動速度．
（2）若兩點p，q分別**段oa，ab上，分別取oq和bp的中點m，n，求的值．
【解答】解：（1）①依題意得，pq＝|160﹣5t|；
故答案是：|160﹣5t|；
②如圖1所示：4t﹣40＝2（160﹣4t），解得 t＝30，
則點q的運動速度為：＝2（cm/s）；
如圖2所示：4t﹣40＝2（4t﹣160），解得t＝7，
則點q的運動速度為：＝（cm/s）；
綜上所述，點q的運動速度為2cm/s或cm/s；
（2）如圖3，兩點p，q分別**段oa，ab上，分別取oq和bp的中點m，n，求的值．
op＝xbq＝y，則mn＝（160﹣x）﹣（160﹣y）+x＝（x+y），
所以，＝＝2．
3．如圖，射線om上有三點a、b、c，滿足oa＝60cm，ab＝60cm，bc＝10cm（如圖所示），點p從點o出發，沿om方向以1cm/秒的速度勻速運動．
（1）當點p運動到ab的中點時，所用的時間為 90 秒．
（2）若另有一動點q同時從點c出發**段co上向點o勻速運動，速度為3cm/秒，求經過多長時間p、q兩點相距30cm？
【解答】解：（1）當點p運動到ab的中點時，點p運動的路徑為60cm+30cm＝90cm，
所以點p運動的時間＝＝90（秒）；
故答案為90；
（2）當點p和點q在相遇前，t+30+3t＝60+60+10，解得t＝25（秒），
當點p和點q在相遇後，t+3t﹣30＝60+60+10，解得t＝40（秒），
答：經過25秒或40秒時，p、q兩點相距30cm．
4．如圖，在數軸上點a表示的數是﹣3，點b在點a的右側，且到點a的距離是18；點c在點a與點b之間，且到點b的距離是到點a距離的2倍．
（1）點b表示的數是 15 ；點c表示的數是 3 ；
（2）若點p從點a出發，沿數軸以每秒4個單位長度的速度向右勻速運動；同時，點q從點b出發，沿數軸以每秒2個單位長度的速度向左勻速運動．設運動時間為t秒，在運動過程中，當t為何值時，點p與點q之間的距離為6？
（3）在（2）的條件下，若點p與點c之間的距離表示為pc，點q與點b之間的距離表示為qb，在運動過程中，是否存在某一時刻使得pc+qb＝4？若存在，請求出此時點p表示的數；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）點b表示的數是﹣3+18＝15；點c表示的數是﹣3+18×＝3．
故答案為：15，3；
（2）點p與點q相遇前，4t+2t＝18﹣6，解得t＝2；
點p與點q相遇後，4t+2t＝18+6，解得t＝4；
（3）假設存在，
當點p在點c左側時，pc＝6﹣4t，qb＝2t，
∵pc+qb＝4，∴6﹣4t+2t＝4，
解得t＝1．
此時點p表示的數是1；
當點p在點c右側時，pc＝4t﹣6，qb＝2t，
∵pc+qb＝4，∴4t﹣6+2t＝4，解得t＝．
此時點p表示的數是．
綜上所述，在運動過程中存在pc+qb＝4，此時點p表示的數為1或．
5．將一副三角板放在同一平面內，使直角頂點重合於點o．
（1）如圖①，若∠aob＝155°，求∠aod、∠boc、∠doc的度數．
（2）如圖①，你發現∠aod與∠boc的大小有何關係？∠aob與∠doc有何關係？直接寫出你發現的結論．
（3）如圖②，當△aoc與△bod沒有重合部分時，（2）中你發現的結論是否還仍然成立，請說明理由．
【解答】解：（1）∠aod＝∠boc＝155°﹣90°＝65°，
∠doc＝∠bod﹣∠boc＝90°﹣65°＝25°；
（2）∠aod＝∠boc，
∠aob+∠doc＝180°；
（3）∠aob+∠cod+∠aoc+∠bod＝360°，
∵∠aoc＝∠bod＝90°，
∴∠aob+∠doc＝180°．
6．以直線ab上點o為端點作射線oc，使∠boc＝60°，將直角△doe的直角頂點放在點o處．
（1）如圖1，若直角△doe的邊od放在射線ob上，則∠coe＝ 30° ；
（2）如圖2，將直角△doe繞點o按逆時針方向轉動，使得oe平分∠aoc，說明od所在射線是∠boc的平分線；
（3）如圖3，將直角△doe繞點o按逆時針方向轉動，使得∠cod＝∠aoe．求∠bod的度數．
【解答】解：（1）∵∠boe＝∠coe+∠cob＝90°，
又∵∠cob＝60°，
∴∠coe＝30°，
故答案為：30°；
（2）∵oe平分∠aoc，
∴∠coe＝∠aoe＝coa，
∵∠eod＝90°，
∴∠aoe+∠dob＝90°，∠coe+∠cod＝90°，
∴∠cod＝∠dob，
∴od所在射線是∠boc的平分線；
（3）設∠cod＝x°，則∠aoe＝5x°，
∵∠doe＝90°，∠boc＝60°，
∴6x＝30或5x+90﹣x＝120
∴x＝5或7.5，
即∠cod＝5°或7.5°
∴∠bod＝65°或52.5°．
7．如圖1，點o為直線ab上一點，過點o作射線oc，使∠boc＝130°，將一直角三角板的直角頂點放在點o處，一邊om在射線ob上，另一邊on在直線ab的下方．
（1）將圖1中的三角板繞點o逆時針旋轉至圖2，使一邊om在∠boc的內部，且恰好平分∠boc，問：此時直線on是否平分∠aoc？請直接寫出結論：
直線on 平分 （平分或不平分）∠aoc．
（2）將圖1中的三角板繞點o以每秒5°的速度沿逆時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，第t秒時，直線on恰好平分銳角∠aoc，則t的值為 13或49 ．（直接寫出結果）
（3）將圖1中的三角板繞點o順時針旋轉，請**：當on始終在∠aoc的內部時（如圖3），∠aom與∠noc的差是否發生變化？若不變，請求出這個差值；若變化，請舉例說明．
【解答】解：（1）平分，理由：延長no到d，
∵∠mon＝90°∴∠mod＝90°
∴∠mob+∠nob＝90°，
∠moc+∠cod＝90°，
∵∠mob＝∠moc，
∴∠nob＝∠cod，
∵∠nob＝∠aod，
∴∠cod＝∠aod，
∴直線no平分∠aoc；
（2）分兩種情況：
①如圖2，∵∠boc＝130°
∴∠aoc＝50°，
當直線on恰好平分銳角∠aoc時，∠aod＝∠cod＝25°，
∴∠bon＝25°，∠bom＝65°，
即逆時針旋轉的角度為65°，
由題意得，5t＝65°
解得t＝13（s）；
②如圖3，當no平分∠aoc時，∠noa＝25°，
∴∠aom＝65°，
即逆時針旋轉的角度為：180°+65°＝245°，
由題意得，5t＝245°，
解得t＝49（s），
綜上所述，t＝13s或49s時，直線on恰好平分銳角∠aoc；
（3）∠aom﹣∠noc＝40°，
理由：∵∠aom＝90°﹣∠aon∠noc＝50°﹣∠aon，
∴∠aom﹣∠noc
＝（90°﹣∠aon）﹣（50°﹣∠aon）
＝40°．
9．已知∠aoc＝40°，∠bod＝30°，∠aoc和∠bod均可繞點o進行旋轉，點m，o，n在同一條直線上，op是∠cod的平分線．
（1）如圖1，當點a與點m重合，點b與點n重合，且射線oc和射線od在直線mn的同側時，求∠bop的餘角的度數；
（2）在（1）的基礎上，若∠bod從on處開始繞點o逆時針方向旋轉，轉速為5°/s，同時∠aoc從om處開始繞點o逆時針方向旋轉，轉速為3°/s，如圖2所示，當旋轉6s時，求∠dop的度數．
【解答】解：（1）∵∠aoc＝40°，∠bod＝30°，
∴∠cod＝180°﹣40°﹣30°＝110°，
∵op是∠cod的平分線，
∴∠dop＝∠cod＝55°，
∴∠bop＝85°，
∴∠bop的餘角的度數為5°；
（2）∠dop的度數為49°，旋轉6s時，∠moa＝3×6°＝18°，∠nob＝5×6°＝30°，
∴∠com＝22°，∠don＝60°，
∴∠cod＝180°﹣∠com﹣∠don＝98°，
∵op是∠cod的平分線，
∴∠dop＝∠cod＝49°．
10．如圖1，點o為直線ab上一點，過點o作射線oc，將一直角三角形的直角頂點放在點o處，一邊om在射線ob上，另一邊on在直線ab的下方．
（1）將圖1中的三角板繞點o逆時針旋轉至圖2，使一邊om在∠boc的內部，且恰好平分∠boc，問：直線on是否平分∠aoc？請說明理由；
（2）若∠boc＝120°．將圖1中的三角板繞點o按每秒6°的速度沿逆時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，第t秒時，直線on恰好平分銳角∠aoc，則t的值為 10或40 （直接寫出結果）；
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