專題二：動點問題
題型方法歸納
動態幾何特點----問題背景是特殊圖形，考查問題也是特殊圖形，所以要把握好一般與特殊的關係；分析過程中，特別要關注圖形的特性（特殊角、特殊圖形的性質、圖形的特殊位置。）
動點問題一直是中考熱點，近幾年考查**運動中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、
相似三角形、平行四邊形、梯形、特殊角或其三角函式、線段或面積的最值。
下面就此問題的常見題型作簡單介紹，解題方法、關鍵給以點撥。
一、三角形邊上動點
1、（2023年齊齊哈爾市）直線與座標軸分別交於兩點，動點同時從點出發，同時到達點，運動停止．點沿線段運動，速度為每秒1個單位長度，點沿路線→→運動．
（1）直接寫出兩點的座標；
（2）設點的運動時間為秒，的面積為，
求出與之間的函式關係式；
（3）當時，求出點的座標，並直接寫出以點
為頂點的平行四邊形的第四個頂點的座標．
提示：第（2）問按點p到拐點b所有時間分段分類；第（3）問是分類討論：已知三定點o、p、q ，**第四點構成平行四邊形時按已知線段身份不同分類-----①op為邊、oq為邊，②op為邊、oq為對角線，③op為對角線、oq為邊。
然後畫出各類的圖形，根據圖形性質求頂點座標。
2、（2023年衡陽市）
如圖，ab是⊙o的直徑，弦bc=2cm，
∠abc=60．
（1）求⊙o的直徑；
（2）若d是ab延長線上一點，鏈結cd，當bd長為多少時，cd與⊙o相切；
（3）若動點e以2cm/s的速度從a點出發沿著ab方向運動，同時動點f以1cm/s的速度從b點出發沿bc方向運動，設運動時間為，鏈結ef，當為何值時，△bef為直角三角形．
注意：第（3）問按直角位置分類討論
解：（1）∵ab是⊙o的直徑（已知）
acb＝90（直徑所對的圓周角是直角）
abc＝60（已知）
bac＝180－∠acb－∠abc＝ 30（三角形的內角和等於180）
∴ab＝2bc＝4cm（直角三角形中，30銳角所對的直角邊等於斜邊的一半）
即⊙o的直徑為4cm．
（2）如圖10（1）cd切⊙o於點c，鏈結oc，則oc＝ob＝1/2·ab＝2cm．
∴cd⊥co（圓的切線垂直於經過切點的半徑）
∴∠ocd＝90（垂直的定義）
bac＝ 30（已求）
cod＝2∠bac＝ 60（在同圓或等圓中一條弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的一半）
d＝180－∠cod－∠ocd＝ 30（三角形的內角和等於180）
∴od＝2oc＝4cm（直角三角形中，30銳角所對的直角邊等於斜邊的一半）
∴bd＝od－ob＝4－2＝2（cm）
∴當bd長為2cm，cd與⊙o相切．
（3）根據題意得：
be＝（4－2t）cm，bf＝tcm；
如圖10（2）當ef⊥bc時，△bef為直角三角形，此時△bef∽△bac
∴be：ba＝bf：bc
即：（4－2t）：4＝t：2
解得：t＝1
如圖10（3）當ef⊥ba時，△bef為直角三角形，此時△bef∽△bca
∴be：bc＝bf：ba
即：（4－2t）：2＝t：4
解得：t＝1.6
∴當t＝1s或t＝1.6s時，△bef為直角三角形．
3、（2009重慶綦江）如圖，已知拋物線經過點，拋物線的頂點為，過作射線．過頂點平行於軸的直線交射線於點，在軸正半軸上，鏈結．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若動點從點出發，以每秒1個長度單位的速度沿射線運動，設點運動的時間為．問當為何值時，四邊形分別為平行四邊形？直角梯形？等腰梯形？
（3）若，動點和動點分別從點和點同時出發，分別以每秒1個長度單位和2個長度單位的速度沿和運動，當其中乙個點停止運動時另乙個點也隨之停止運動．設它們的運動的時間為，連線，當為何值時，四邊形的面積最小？並求出最小值及此時的長．
注意：發現並充分運用特殊角∠dab=60°
當△opq面積最大時，四邊形bcpq的面積最小。
解：（1）拋物線經過點，
1分二次函式的解析式為： 3分
（2）為拋物線的頂點過作於，則，
4分當時，四邊形是平行四邊形
5分當時，四邊形是直角梯形
過作於，則
（如果沒求出可由求）
6分當時，四邊形是等腰梯形
綜上所述：當、5、4時，對應四邊形分別是平行四邊形、直角梯形、等腰梯形． 7分
（3）由（2）及已知，是等邊三角形
則過作於，則 8分
= 9分
當時，的面積最小值為 10分
此時 11分
二、 特殊四邊形邊上動點
4、（2023年吉林省）如圖所示，菱形的邊長為6厘公尺，．從初始時刻開始，點、同時從點出發，點以1厘公尺/秒的速度沿的方向運動，點以2厘公尺/秒的速度沿的方向運動，當點運動到點時，、兩點同時停止運動，設、運動的時間為秒時，與重疊部分的面積為平方厘公尺（這裡規定：點和線段是面積為的三角形），解答下列問題：
（1）點、從出發到相遇所用時間是秒；
（2）點、從開始運動到停止的過程中，當是等邊三角形時的值是秒；
（3）求與之間的函式關係式．
提示：第(3)問按點q到拐點時間b、c所有時間分段分類 ； 提醒----- 高相等的兩個三角形面積比等於底邊的比 。
解：（1）6．（2）8．（3）①當0時，
． （5分）
②當3時，
= （7分）
③當時，設與交於點．
過作則為等邊三角形．
5、（2023年哈爾濱）如圖1，在平面直角座標系中，點o是座標原點，四邊形abco是菱形，點a的座標為（，4），點c在x軸的正半軸上，直線ac交y軸於點m，ab邊交y軸於點h．
（1）求直線ac的解析式；
（2）連線bm，如圖2，動點p從點a出發，沿折線abc方向以2個單位／秒的速度向終點c勻速運動，設△pmb的面積為s（），點p的運動時間為t秒，求s與t之間的函式關係式（要求寫出自變數t的取值範圍）；
（3）在（2）的條件下，當 t為何值時，∠mpb與∠bco互為餘角，並求此時直線op與直線ac所夾銳角的正切值．
注意：第（2）問按點p到拐點b所用時間分段分類；
第（3）問發現∠mbc=90°，∠bco與∠abm互餘，畫出點p運動過程中，
∠mpb=∠abm的兩種情況，求出t值。
利用ob⊥ac,再求op與ac夾角正切值.
6、(2023年溫州)如圖，在平面直角座標系中，點a(，0)，b(3，2)，c（0，2)．動點d以每秒1個單位的速度從點0出發沿oc向終點c運動，同時動點e以每秒2個單位的速度從點a出發沿ab向終點b運動．過點e作ef上ab，交bc於點f，鏈結da、df．設運動時間為t秒．
(1)求∠abc的度數；
(2)當t為何值時，ab∥df；
(3)設四邊形aefd的面積為s．
①求s關於t的函式關係式；
②若一拋物線y=x2+mx經過動點e，當s<2時，求m的取值範圍(寫出答案即可)．
注意：發現特殊性，de∥oa
7、（07黃岡）已知：如圖，在平面直角座標系中，四邊形abco是菱形，且
∠aoc=60°，點b的座標是，點p從點c開始以每秒1個單位長度的速度**段cb上向點b移動，同時，點q從點o開始以每秒a（1≤a≤3）個單位長度的速度沿射線oa方向移動，設秒後，直線pq交ob於點d.
（1）求∠aob的度數及線段oa的長；
（2）求經過a，b，c三點的拋物線的解析式；
（3）當時，求t的值及此時直線pq的解析式；
（4）當a為何值時，以o，p，q，d為頂點的三角形與相似？當a 為何值時，以o，p，q，d為頂點的三角形與不相似？請給出你的結論，
並加以證明.
8、（08黃岡）已知：如圖，在直角梯形中，，以為原點建立平面直角座標系，三點的座標分別為，點為線段的中點，動點從點出發，以每秒1個單位的速度，沿折線的路線移動，移動的時間為秒．
（1）求直線的解析式；
（2）若動點**段上移動，當為何值時，四邊形的面積是梯形面積的？
（3）動點從點出發，沿折線的路線移動過程中，
設的面積為，請直接寫出與的函式關係式，
並指出自變數的取值範圍；
（4）當動點**段上移動時，能否**段上找到
一點，使四邊形為矩形？請求出此時動點的座標；
若不能，請說明理由
（1）設直線bc的解析式為y=kx+b 依題意得：
4=k×0+4
10=8k+b
解之得：kb= 4
所以直線bc的解析式為y=x+4
（2） t=
（3） s=t （8>t>0）
s=44-2x （18>x≥8）
s=- （4）不存在。理由如下：過c作cm⊥ab於m,易知cm=oa=8
am=oc=4,所以bm=6.假設四邊形cqpd為矩形，則pq=cd=5,pq‖cd,
根據rt△paq∽ rt△bdp可求pb=5,pb=pd,這與三角形pbd是直角三角形相矛盾，所以假設不成立在oa上不存在點q,,使四邊形cqpd為矩形
9、(09年黃岡市)如圖,在平面直角座標系xoy中,拋物線與x軸的交點為點a,與y軸的交點為點b. 過點b作x軸的平行線bc,交拋物線於點c,鏈結ac．現有兩動點p,q分別從o,c兩點同時出發,點p以每秒4個單位的速度沿oa向終點a移動,點q以每秒1個單位的速度沿cb向點b移動,點p停止運動時,點q也同時停止運動,線段oc,pq相交於點d,過點d作de∥oa,交ca於點e,射線qe交x軸於點f．設動點p,q移動的時間為t(單位:秒)
(1)求a,b,c三點的座標和拋物線的頂點的座標;
(2)當t為何值時,四邊形pqca為平行四邊形?請寫出計算過程;
(3)當0＜t＜時,△pqf的面積是否總為定值?若是,求出此定值, 若不是,請說明理由;
(4)當t為何值時,△pqf為等腰三角形?請寫出解答過程．
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