一、直角三角形
勾股定理及其逆定理
（1）勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方。
（2）勾股定理的應用：①已知直角三角形的兩邊求第三邊；
②已知直角三角形的一邊，求另兩邊的關係；③用於證明有關線段平方關係的問題。
（3）勾股定理的逆定理：如果三角形兩直角邊的平方和等於第三邊的平方，那麼這個三角形是直角三角形。
（4）勾股定理的逆定理的應用：判斷乙個三角形是否為直角三形。
（5）勾股定理的各種表示式：在rt△abc中，∠c=900，∠a、∠b、∠c的對邊分別為a、b、c，則有a2=c2-b2，b2=c2-a2，c2=a2+b2，c= ，a=，b=。
例1、已知：△abc中，∠a = 60°, ab = 9cm, ac = 6cm, 則bc
互逆命題與互逆定理
（1）互逆命題：將乙個命題的條件與結論互換，就得到這個命題的逆命題。相對於逆命題來說，原來的命題叫做原命題，原命題與逆命題是互逆關係，因而是相對的，我們將原命題與逆命題稱為互逆命題。
原命題正確，逆命題不一定正確，如命題「如果兩個有理數相等，那麼它們的平方相等」是正確的，而它的逆命題「如果兩個有理數的平方相等，那麼這兩個有理數相等」是錯誤的。正確的命題是真命題，錯誤的命題是假命題，所以一對互逆命題的真假性不一定一致。
（2）互逆命題定理：如果乙個定理的逆命題經過證明是真命題，那麼它也是乙個定理，我們就說這兩個定理為互逆定理。其中乙個定理稱為另乙個定理的逆定理。
如「兩直線平行，同位角相等」與「同位角相等，兩直線平行」是一對互逆定理。
例2、a.命題「兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等」的逆命題是
b.命題「矩形是正方形」是乙個命題，它的逆命題是
這是乙個命題.
直角三角形全等的判定定理（hl）
（1）定理：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等。
（2）定理的應用：判定兩個直角三角形全等。
（3）判定兩個直角三角形全等的方法共有五種：sas、aas、asa、sss、hl
【基礎練習】
1.如圖1-16，已知：△abc中，∠c = 90°, ad是∠bac的平
分線，cd = 1.5cm, bd = 2.5cm, 則accm；
2.已知三條線段的長度之比為︰︰2，那麼這三條線段（ ）；
a. 能構成銳角三角形b. 能構成直角三角形
c. 能構成鈍角三角形d. 不能構成三角形
3.若三角形三個內角的度數之比為1︰2︰3，則此三角形三個內角的對邊長度之比為（ ）.
a. 1b. 1︰2︰3
c. 1︰︰2d. 3︰4︰5
4.已知：如圖1-17，在正方形abcd中，e為ab的中點，f為ad上一點，且af =，求證：ce⊥ef.
【綜合練習】
如圖1-18，沿ae摺疊矩形abcd，使點b落在cd邊上的點f處，已知ab = 10cm, bc = 8cm, 連線ef, 求ef的長.
二、線段的垂直平分線
1、線段垂直平分線的性質：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等
例1如圖，在δabc中，ab=ac=32，mn是ab的垂直平分線，且有bc=21，求δbcn的周長。
對應訓練：
1、如圖，在δabc中，de是ac的垂直平分線，ae=3cm，δabd 的周長為13cm，求δabc的周長。
2、已知△abc中，ab=ac，ab的垂直平分線交ac於點d，△abc和△dbc的周長分別是60cm和38cm，求△abc的腰長和底邊的長
3．如圖7，△abc中，ba=bc，∠b=120°，ab的垂直平分線交ac於點d，求證：ad=dc．
4、△abc中，∠c=90°，∠a=15°,ab的垂直平分線交ac於點d，交ab於點e,ad=3,則cd= ．
2、線段垂直平分線的判別：到一條線兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上
例2、如圖，四邊形abcd是乙隻「風箏」的骨架，其中ab=ad,cb=cd
(1) 小明觀察了這個「風箏」的骨架後，他認為四邊形的兩條
對角線ac⊥bd,垂足為e,並且be=ed，你同意小明的判斷嗎？請說明理由
(2) 設對角線ac=a,bd=b,請用含a,b的式子表示四邊形abcd的面積
對應訓練：如圖，已知：ab=ac，db=dc，e是ad上的
一點，求證：be=ce。
3、線段垂直平分線的尺規作圖：
例3、已知底邊及底邊上的高，求作等腰三角形。
已知：線段a，h(如圖)
求作：△abc，使ab=ac，且bc=a，高ad=h。
作法： （1）作線段bc=a；
（2）作線段bc的垂直平分線mn，mn與bc相交於點d；
（3）在直線mn上擷取線段ad=h
（4）連線ab，ac，△abc為所求的等腰三角形．
考點：選擇題，選擇出作圖四個步驟中，有錯誤的一步。考查了學生用簡練、準確地運用幾何語言表達作圖方法與步驟的能力．
4、三角形三邊中垂線的性質定理：三角形三條邊的垂直平分線相交於一點，並且這一點到三個頂點的距離相等
三種三角形三邊中垂線交點的位置不同：
銳角三角形交點在三角形
鈍角三角形交點在三角形
直角三角形交點在三角形
例4、如圖6，△abc中，ab=ac，ad是bc邊上的中線，ab的垂直平分線交ad於點o，交ab於點e．
求證：點o在ac的垂直平分線上．
對應訓練：
1、到平面上三點 a，b，c距離相等的點（ ）
a．只有乙個 b．有二個 c．三個或三個以上 d．乙個或沒有
2、如果乙個三角形的三邊中垂線的交點恰好在三角形的一邊上，則這個三角形是（ ）
a、銳角三角形 b、直角三角形 c、鈍角三角形 d、任意三角形
3、在銳角三角形abc中，∠a=60°，ab，ac兩邊的垂直平分線相交於點o，則∠boc= ．
三、角平分線
1角平分線的定義：從乙個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的角平分線。
2、角平分線的性質
定理1、角平分線上的一點到角的兩邊距離相等。
定理2、角的內部到角的兩端距離相等的點在角的平分線上。（逆運用）
3、三角形頂點到其內角的角平分線交對邊的點連的一條線段，叫三角形的角平分線三角形的角平分線。
區別：三角形的角平分線不是角的平分線：乙個是線段，乙個是射線。
4、三角形角平分線的性質：
定理：三角形三條角平分線相交於一點，（交點叫做內心），並且該點到三條邊的距離相等。
補充：三角形內角平分線分對邊所得的兩條線段和這個角的兩邊對應成比例。
如：三角形abc中角a的平分線為ad，則ab:ac=bd:cd。
例1.角平分線的尺規作法 ：
已知：，求作：射線，使，
作法：①以o為圓心，以任意半徑作圓，在和上分別擷取，，使
分別以，為圓心，以大於長為半徑作弧，在內兩弧交於點
③作射線
則就是所求作的射線
課堂檢測：
1.若直角三角形兩直角邊上的中線長分別為5cm和2cm，則這個直角三角形的斜邊長為（ ）.
a. 10cm b. 4cm c. cm d. 2cm
2、已知：如圖，△ａｂｃ中，ａｂ的中垂線交ｂｃ於ｄ，ａｃ的中垂線交ｂｃ於ｅ，ｍ、ｎ為垂足，若b求證：∠ｂ＝４５°
3、已知，d是直角斜邊ac的中點，於d交bc於e，，求：的度數。
4、如圖，a、b表示兩個倉庫，要在a、b一側的河岸邊建造乙個碼頭，使它到兩個倉庫的距離相等，碼頭應建在什麼位置?
5、已知線段a，求作以為a底、以a為高的等腰三角形。這個等腰三角形有什麼特徵？
6.如圖，直線、、表示三條相互交叉的公路，現要建乙個貨物中轉站，要求它到三條公路的距離相等，則可選擇的位址有幾處？
家庭作業：
填空：有乙個角是的三角形是直角三角形。
「勾股定理
直角三角形兩銳角 。
直角三角形斜邊上的中線等於
在直角三角形中，30°角所對直角邊等於
「勾股定理逆定理
角平分線上的一點到相等
線段垂直平分線上的點到相等
1.若等腰三角形的頂角是120°，底邊長為2cm，則它的腰長等於（ ）；
a. cm b. cm c. 2cm d. cm
2.若直角三角形兩直角邊上的中線長分別為5cm和2cm，則這個直角三角形的斜邊長為（ ）.
a. 10cm b. 4cm c. cm d. 2cm
3.已知：如圖，梯形abcd中，ab∥dc, bc = cd = da = = 10cm. 試求該梯形的面積.
4.已知：△abc中，ab = 13, bc = 10, bc邊上的中線ad = 12. 求證：△abc是等腰三角形.
垂直平分線角平分線等腰三角形綜合題目
基礎題第1題.已知等腰三角形的乙個內角為80 則它的另兩角為 圖4圖2 圖3a 8 2ab 8 ac 6 ad 6 2a 第4題.如圖2，o是 abc中 abc和 acb的平分線的交點，od ab交bc於d，oe ac交bc於e點，若bc 10cm，那麼 ode的周長為 a 8cmb 9cmc 10...
角平分線,垂直平分線求線段長度
1 如圖，在 abc中，c 90 ab的垂直平分線交ab於d，交bc於e，連線ae，若ce 5，ac 12，則be的長是 2 如圖，abc中，de是ac的垂直平分線，ae 4cm，abd的周長為14cm，則 abc的周長為 3 如圖，abc中，b 40 ac的垂直平分線交ac於d，交bc於e，且 e...
線段的垂直平分線 角平分線經典習題及答案
3.線段的垂直平分線 4.角平分線 例1 1 在 abc中，ab ac，ab的垂直平分線交ab於n，交bc的延長線於m，a altimg w 34 h 25 求 nmb的大小 2 如果將 1 中 a的度數改為 altimg w 34 h 25 其餘條件不變，再求 nmb的大小 3 你發現有什麼樣的規...