（一）知識要點：
1．定義: 設y=f(x)，x∈a，如果對於任意∈a，都有，則稱y=f(x)為偶函式。
設y=f(x)，x∈a，如果對於任意∈a，都有，則稱y=f(x)為奇函式。
如果函式是奇函式或偶函式，則稱函式y=具有奇偶性。
2.性質：
①函式具有奇偶性的必要條件是其定義域關於原點對稱，
②y=f(x)是偶函式y=f(x)的圖象關於軸對稱, y=f(x)是奇函式y=f(x)的圖象關於原點對稱,
③偶函式在定義域內關於原點對稱的兩個區間上單調性相反，奇函式在定義域內關於原點對稱的兩個區間上單調性相同，
④偶函式無反函式，奇函式的反函式還是奇函式，
⑤若函式f(x)的定義域關於原點對稱，則它可表示為乙個奇函式與乙個偶函式之和
⑥奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[兩函式的定義域d1 ，d2，d1∩d2要關於原點對稱]
⑦對於f(x)=f[g(x)]:若g(x)是偶函式，則f(x)是偶函式
若g(x)是奇函式且f(x)是奇函式，則f(x)是奇函式
若g(x)是奇函式且f(x)是偶函式，則f(x)是偶函式
3．奇偶性的判斷
①看定義域是否關於原點對稱 ②看f(x)與f(-x)的關係
（二）主要方法：
1．判斷函式的奇偶性，首先要研究函式的定義域，有時還要對函式式化簡整理，但必須注意使定義域不受影響；
2．牢記奇偶函式的圖象特徵，有助於判斷函式的奇偶性；
3．判斷函式的奇偶性有時可以用定義的等價形式：，．
4．設，的定義域分別是，那麼在它們的公共定義域上：奇+奇=奇，奇奇=偶
偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇．
5．注意數形結合思想的應用．
（三）例題分析：
例1．判斷下列函式的奇偶性、
非奇非偶函式
偶函式奇函式
④ 既是奇函式又是偶函式
⑤ a=0時偶函式，a≠0時非奇非偶函式
⑥例2．定義在實數集上的函式f(x)，對任意x，y∈r，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)且f(0)≠0
①求證：f(0)=1 ②求證：y=f(x)是偶函式
證：①令x=y=0，則f(0)+f(0)=2f2(0) ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1
②令x=0，則f(y)+f(-y)=2f(0)·f(y) ∴f(-y)=f(y) ∴y=f(x)是偶函式
變式：定義在r上的函式y=f(x)，對任意x1，x2都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，判斷函式y=f(x)的奇偶性並證明。
解：令x1=x2=0則f(0)=f(0)+f(0) ∴f(0)=0
令x1=x x2= -x則f(0)=f(x)+f(-x) ∴f(-x)= - f(x) ∴y=f(x)是奇函式
例3．已知函式f(x)，當x<0時，f(x)=x2+2x-1
①若f(x)為r上的奇函式，能否確定其解析式？請說明理由。
②若f(x)為r上的偶函式，能否確定其解析式？請說明理由。
答案：①可確定，
②不可確定，∵x>0時，雖可確定f(x)=x2-2x-1，但x=0時，f(0)取任意實數都可以。
變式：已知函式是定義在實數集上的奇函式，求函式的解析式。
分析：用f(-x)=-f(x) (x∈r)較繁，用f(0)=0可較方便地求得a=1，
例4．已知g(x)是奇函式，，求f(3)
簡解：相加得：
例5．已知f(x)是定義在ｒ上的偶函式，且在上為減函式，若，求實數a的取值範圍。
簡解：f(x)是ｒ上的偶函式且在上為減函式，∴由有： 解得a≤-1或a≥2.
例6．設為實數，函式，．
（1）討論的奇偶性； （2）求的最小值．
解：（1）當時，，此時為偶函式；
當時，，，∴
此時函式既不是奇函式也不是偶函式．
（2）①當時，函式，
若，則函式在上單調遞減，∴函式在上的最小值為；
若，函式在上的最小值為，且．
②當時，函式，
若，則函式在上的最小值為，且；
若，則函式在上單調遞增，∴函式在上的最小值．
綜上，當時，函式的最小值是，當時，函式的最小值是，
當，函式的最小值是．
（四）鞏固練習：
1、以下五個函式：（1）；（2）；（3）；（4）；
（5），其中奇函式是______，偶函式是______，非奇非偶函式是
變題：已知函式對一切實數都有，則的奇偶性如何？
2、函式是偶函式的充要條件是
3、已知，其中為常數，若，則
4、若函式是定義在r上的奇函式，則函式的圖象關於（ ）
（a）軸對稱 （b）軸對稱 （c）原點對稱 （d）以上均不對
5、函式是偶函式，且不恆等於零，則（ ）
（a）是奇函式b）是偶函式
（c）可能是奇函式也可能是偶函式 （d）不是奇函式也不是偶函式
答案：1、（1）（5）；（2）；（3）（4） 變題：奇函式 2、 3、17 4、b 5、a
小結：１．定義域關於原點對稱是函式是奇（偶）函式的必要不充分條件；
２．y=f(x)是奇（偶）函式y=f(x)的圖象關於原點（軸）對稱
３．f(x)=f[g(x)]的奇偶性
４．若函式f(x)的定義域關於原點對稱，則
５．函式奇偶性的判斷與應用。
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