高等代數習題冊
作業說明：教師每次講完章節內容，同學們完成相應的習題，從開課第二週起一般每週交一次作業。作業直接寫在習題冊上，寫不下可寫背面
第一章行列式
§1引言
一填空題
1．最小的數環是最小的數域是
2．一非空數集,包含0和1, 且對加減乘除四種運算封閉，則其為
二證明題
1. 證明是乙個數域，其中.
2．證明是乙個數環.也是乙個數域嗎？
3．證明兩個數環的交還是乙個數環.
§2-§3 排列與n級行列式的定義
一選擇或判斷
1．以下乘積中（ ）是階行列式中取負號的項.
.；.；．；.
2. 對任一排列施行偶數次對換後，排列的奇偶性不變.（ ）
二填空題
1. 按自然數從小到大為標準次序，排列的逆序數為 ，的逆序
數為 .
2. 按自然數從小到大為標準次序，若級排列是奇排列，則
3. 設級排列的逆序數為，則
4. 設， 則________.
三計算題
1．按定義計算行列式.
2．由行列式定義計算中與的係數.
§4 行列式的性質
一．選擇題
1. 對於「命題甲：將級行列式的主對角線上元素反號, 則行列式變為；命題乙：對換行列式中兩行的位置, 則行列式反號」有( ) .
.甲成立, 乙不成立甲不成立, 乙成立；
.甲, 乙均成立甲, 乙均不成立.
二．填空題
三．計算下列各行列式：
1.； 2.； 3.；
4. 5..
四. 證明：
1.;2.
§5 行列式按一行（列）展開
一選擇題
行列式中，元素的代數余子式是（ ）.
二填空題
1. 設行列式中，代數余子式，則
2. 設，則
3. 行列式的余子式的值為
三計算下列各行列式：
1. ； 2.； 3. ；4.； 5.；
6.； 7.；
8..9．求的末尾的零的個數.
10．求的展開式的正項總數.
11．計算的值（），其中是的任一根.
12． 設均為實數，且. 令. 證明：.
13．計算.
§7 crammer法則
1. 用克萊姆法則解線性方程組
2444. 用克萊姆法則解線性方程組（其中）.
第二章線性方程組
§1一般線性方程組的消元法，§2 n維向量空間
1. 已知, 求.
2．已知向量組，計算向量.
3. 用消元法解線性方程組
4．用消元法解線性方程組
§3 線性相關性
一．選擇題
1.維向量組線性無關的充分必要條件是（ ）
.存在一組不全為零的數，使
.中任意兩個向量組都線性無關
．中存在乙個向量，它不能用其餘向量線性表示
.中任意乙個向量都不能由其餘向量線性表示
2. 若向量組中含有零向量，則此向量組（ ）
.線性相關 .線性無關 ．線性相關或線性無關 .不一定
3．設為任意非零向量，則（ ）．
.線性相關 .線性無關 ．線性相關或線性無關 ．不一定
4.維向量組線性無關，為一維向量，則
.，線性相關
.一定能被線性表出
．一定不能被線性表出
.當時，一定能被線性表出
5.（1）若兩個向量組等價，則它們所含向量的個數相同
（2）若向量組線性無關，可由線性表出，則向量組也線性無關
（3）若線性無關，則也線性無關
（4）若線性相關，則一定可由線性表出
以上說法正確的有（ ）個.
.1 個 .2 個 ．3 個 .4個
6．設有向量組ⅰ：和ⅱ：，則必有（ ）.
.ⅰ無關ⅱ無關無關ⅰ無關
.ⅰ無關ⅱ相關相關ⅰ相關
7. 設向量組線性無關.線性相關，則
.線性表示 .線性表示
．線性表示 .以上都不對
二．填空題
1. 已知向量組，，，
，則該向量組的秩是
2. 若可由唯一表示, 則線性 .
3. 設為維向量組, 且，則 .
4. 個維向量構成的向量組一定是線性的.（無關，相關）
5. 已知向量組線性無關，則 _______.
三．計算與證明
1. 判別向量組=(0,0,2,3), =(1,2,3,4)， =(1,2,1,1)， =(1,0,1,0)是否線性相關，並求, , ,的乙個極大線性無關組.
2. 求向量組，，的乙個極大線性無關組，並將其餘向量表為該極大線性無關組的線性組合.
3. 已知向量組若各向量組的秩分別為3 , (ⅲ) = 4 ,證明向量組（ⅳ）：的秩為4.
4. 設向量組的秩為，證明：當時，.
5. 設向量組線性無關，而向量組線性相關，證明：可以由線性表出，且表示法唯一.
§4 矩陣的秩
一．選擇題
1. 設為階方陣，且，則中
. 必有個行向量線性無關任意個行向量線性無關
．任意個行向量構成乙個極大無關組
. 任意乙個行向量都能被其他個行向量線性表示
2. 設是矩陣，若（ ），則元線性方程組有非零解.
. .的秩等於的秩等於
3. 設矩陣，僅有零解的充分必要條件是( ).
.的行向量組線性相關 .的行向量組線性無關
．的列向量組線性相關 .的列向量組線性無關
4. 設元齊次線性方程組的係數矩陣的秩為，則有非零解的充分必要
條件是（ ）.
5. 如果矩陣的秩等於，則（ ）。
. 至多有乙個階子式不為零所有階子式都不為零
. 所有階子式全為零，且至少有乙個階子式不為零
. 所有低於階子式都不為零
二．填空題
1．乙個級矩陣的行（或列）向量組線性無關，則的秩為 .
2. 設矩陣，且,則
3. 設為階矩陣，且,則________.
4.含有個未知量個方程的齊次線性方程組有非零解的充分且必要條件是
三．計算與證明
1. 設=，已知, 求.
2. 求矩陣=的秩.
3. 確定的值，使齊次線性方程組有非零解.
§5 線性方程組有解判別定理
一．選擇題
1. 設線性方程組，則（ ）
.當取任意實數時，方程組均有解; .當時，方程組無解;
．當時，方程組無解當時，方程組無解.
2. 設線性方程組的增廣矩陣是，則這個方程組解的情況是（ ）.
.有唯一解 .無解 ．有四個解 .有無窮多個解
3. 設線性方程組及相應的齊次線性方程組，則下列命題成立的是（ ）.
.只有零解時，有唯一解；
.有非零解時，有無窮多個解；
．有唯一解時，只有零解；
.解時，也無解.
4. 當（ ）時，方程組有無窮多解.
．1 ．2 ．3 ．4
二．填空題
1. 方程組有解的充要條件是
2. 方程組有解的充要條件是
三．計算
1.選擇，使方程組無解.
2．問取何值時，線性方程組有解？
§6 線性方程組解的結構
一．填空題
1.乙個齊次線性方程組中共有個線性方程、個未知量，其係數矩陣的秩為，若它有非零解，則它的基礎解系所含解的個數為
二．計算與證明
1.討論取何值時，方程組有解，並求解.
2. 問取何值時，非齊次線性方程組有無限多個解？並在有無窮多解時求其通解.
3. 求線性齊次方程組的基礎解系.
4. 設線性方程組為討論為何值時，該線性方程組有唯一解？無解？有無窮多解？並在有無窮多解時求其通解（要求用匯出組的基礎解系及它的特解形式表示其通解）。
第三章矩陣
§1-2 矩陣的概念與運算
一．選擇題
1. 若矩陣，滿足，則（ ）.
.或；.且；．且；.以上結論都不正確
2. 設為階方陣，，且，則
. .或． .
3. 設為矩陣，為矩陣，為矩陣，則下列乘法運算不能進行的是（ ）。
4. 設，則的充要條件是（ ）.
.； （b
二．計算與證明
1. 設, 則當滿足何條件時, ？ ？為什麼？
2. 設，．計算及.
3．設，, 則
§3 矩陣乘積的行列式與秩
一．選擇題
1. 如果，那麼矩陣的行列式應該有（ ）.
2.是階矩陣，是非零常數，則( ).
3為階方陣，，且，則（ ）.
.；.；．；..
二．證明
1．設、為同階矩陣，求證：
2．設、為階方陣，證明：如果，那麼
3． 設為階方陣，求證，.
4.階方陣滿足，若的秩為，證明：的秩也為.
§4 矩陣的逆
一．選擇題
1．設，為的代數余子式, 則
2. 設為階方陣的伴隨矩陣且可逆，則結論正確的是（ ）.
3. 設為階方陣的伴隨矩陣，則（ ）.
4. 設、為階方陣，則有（ ）.
考研高等代數線性空間選講習題
1 對於多項式的加法與乘法，1 是否是q上的線性空間？2 是否是c上的線性空間？2 對於矩陣的加法與數乘，下列集合是否是指定數域上的線性空間？1 2 取定，3 考研題 設維v n,則 1 v中任n個線性無關的向量都是基？2 可由線性表出，則是基？4 下列空間的維數是多少？基是？1 2 5 設是v的一...
線性代數習題1答案 高等教育出版社
習題11.設,求實數.解 即,得 2.計算下列矩陣的乘積.3 解 5.計算,其中 1 2 解 1 2 7.設a,b都是n階對稱陣,試證 ab是對稱陣的充要條件是a與b可交換.證明 充分性 若a與b可交換,即ab ba,則,即ab是對稱陣 必要性 若ab是對稱陣,即,則,即a與b可交換 11.當取何值...
高等數學高等數學之《線性代數》練習題
一 單項選擇題 1.若,則的範圍為 a.且 b.或 cd.2.a.abcdb.abcdc.2abcd d.2abcd 3.中的代數余子式為 a.0b.36c.12d.12 4.將n階行列式d中所有元素都反號 形成的行列式的值為 a.0b.dc.dd.5.下列階行列式的值必為零的是 a.主對角元全為零...