高考立體幾何創新試題設計的幾個視角

張海強(江蘇省宜興市彙文中學 214200)

立體幾何歷來是高考改革的一塊試驗田.隨著高考改革的不斷深入，獨具匠心的立體幾何創新試題層出不窮，常令人目不暇接、望「題」興嘆.那麼高考創新試題的設計有哪些規律呢？

縱觀近十年高考試題（立體幾何），這裡談幾個設計視角.

一、「大跨度組合」的視角

「組合即創造」.藝術和科學上的許多事實印證了這一點：達文西將數學中的「透視法」和繪畫結合起來使繪畫藝術進入乙個新境界，孟德爾將「概率統計」和生物學結合起來創立了遺傳學，牛頓和萊布尼茲則將微分和積分結合起來發明了微積分.

高考強調在知識的交匯處設計試題，這就使實現大跨度組合成為了可能，近年在許多省份出現了這樣的試題，為逐步擺脫題海戰術，起到了良好的導向作用.

例1、（2023年北京）如圖，在正方體中，p是側面內一動點，若p到直線bc與直線的距離相等，則動點p的軌跡所在的曲線是（）

a．直線 b．圓 c．雙曲線 d．拋物線

評注：本題將立體幾何中的「距離」與解析幾何中的「軌跡」巧妙地組合起來，揭示了不同數學分支之間的內在聯絡，令人倍感清新和諧、回味無窮.

二、「歸納、模擬」的視角

克卜勒說：「我珍視模擬勝於任何別的東西，它是我最信賴的老師，它能揭示自然界的秘密，在幾何學中它應該是最不容忽視的」.

立體幾何是考查學生思維能力和空間想像能力的絕好素材，歸納、模擬是思維能力的重要組成部分，因此立體幾何便成為模擬創新型試題的最佳載體.此類題型在近年高考中頻頻出現，有效地考查了學生的創新能力.

例2、⑴ (2002上海春季)如圖，若從點o所作的兩條射線om、on上分別有點m1、m2與點n1、n2，則三角形面積之比，若從點o所作的不在同一平面內的三條射線op、oq和or上，分別有點p1、p2，點q1、q2和點r1、r2，則類似的結論為

評注：以上三道試題都體現了由「低維」向「高維」的模擬模式，即由平面幾何的性質推廣到空間立體幾何的相關性質.它們有效地考查了學生合情推理能力，對考查學生的創新能力起到了積極的推動作用.

三、「改變知識呈現方式」的視角

詩的魅力不在於它所描述的故事，而在故事後面的情趣，以及用一種恰如其分的簡樸而雋永的語言表現出來的藝術本領.

數學是一種語言，它不僅具有嚴謹性的特點，而且還富有詩的情趣.因為乙個知識可以有多種不同的呈現方式，不同的呈現方式代表著學生不同的思維方式和思維習慣.因此改變知識的呈現方式就成為高考創新試題設計的又乙個新的視角.

例3、⑴（2023年全國）如圖，在直四稜柱a1b1c1d1—abcd中，

當底面四邊形abcd滿足條件時，有a1c⊥b1d1

(注：填上你認為正確的一種即可，不必考慮所有可能的情形)

⑵(2023年全國)是兩個不同的平面，是平面及之外的兩條不同直線.給出四個論斷：①；②；③；④.以其中三個論斷作為條件，餘下乙個論斷作為結論，寫出你認為正確的乙個命題

評注：通過改變條件與結論之間呈現的順序與組合，使問題具備了探索性，將分析—猜想—證明的思維過程巧妙地融入了解題過程；同時也使問題具有了開放性，走出了數學答案唯一確定的誤區.它們以新穎的知識呈現方式改變學生的常規思維，考查學生的創新能力.

四、「實驗操作」的視角

數學在將獲得的知識和結論按一定的邏輯體系整理後是一門演繹科學，但對知識的形成過程來說，又是一門實驗科學.但數學實驗有別於物理、化學實驗，它更偏重於思維實驗.

以「實驗操作」為視角設計的高考試題，讓學生親身經歷了「做」數學的過程，體現了直觀幾何和論證幾何的結合.它將空間想像能力的考查發揮到了極致.

例5、（2023年北京）關於直角aob在定平面內的射影有如下判斷：①可能是0的角；②可能為銳角；③可能為直角；④可能為鈍角；⑤可能為180的角.其中正確判斷的序號是注：

把你認為是正確判斷的序號都填上）

評注：本題一方面可用三角板做實驗，從直觀幾何的角度猜測出結論；另一方面要求學生能從不同的角度思考問題，將運動的觀點納入立體幾何的考查.