湖南祁東育賢中學周友良 421600
一、 2023年高考數列壓軸題分析
近年來，解析幾何題一般不再作為壓軸題，而最後一道難度最大的壓軸題可能是數列和不等式，函式、導數、不等式綜合考查的題目，導數和向量已成為出題重點，探索性問題必將融入大題中。下面重點談談2023年高考數列作為壓軸題的情況。
浙江省2023年高考理科第20題是一道涉及函式、數列、導數、解析幾何等知識的有關點列的綜合題；重慶2023年高考理科第20題的內容主要是用數列來證明不等式，在它所設計的兩個問題中，第一問還相對容易，第二問就比較難了，需要學生將放縮法用得恰到好處，才能順利解題；湖北2023年高考理科第22題意境全新，搭配和諧，數列與不等式自然銜接，開放與限制有結合，既有考生展示才華的空間，又有區分度的選拔功能；湖南2023年高考理科第20題考查數列的應用性問題，涉及到遞推數列和探索猜想歸納法證明等相關知識，2023年上海高考數學試卷（理工農醫類）第20題也考查數列的應用性問題，將等差、等比數列知識置入社會熱點問題住房建設之中，要求首先要分析題意，根據實際問題建立數列模型，再利用數列知識加以解決；2005高考北京卷第19題根條件寫出數列的前幾項，猜測出結論，瞄準方向再用綜合法、遞推法或數學歸納法證明；2005高考江西卷理科第21題考查數列的基礎知識，考查運算能力和推理能力.第（1）問是證明遞推關係，聯想到用數學歸納法，第（2）問是計算題，也必須通過遞推關係進行分析求解； 2005高考山東卷第21題更有新意，將傳統的數列知識與新的導數知識及二項式係數相結合；2005高考廣東卷第18題將數列求和知識與概率統計中的概率分布列相結合，更能體現新課改精神。
這些各省的高考數列壓軸題綜合考查等價變換、抽象概括、歸納推理、猜想證明等能力。立意新穎，是整份試卷中的「亮點」。
從2005高考試題來看，考試的難點已回歸到數列內容。八十年代，數列試題往往作為高考壓軸題出現，九十年代一度降溫，由於考查能力、能力立意命題的需要，高難度數列試題重新回歸高考試卷。這類命題能較好體現課本知識內容與能力要求的關係，複習中應該是乙個重點，要讓學生明確對這類問題的三種處理方法（一是利用轉化，化歸為等差或等比數列問題解決；二是可能借助數學歸納法解決；三是可望求出通項公式後一般性解決）。
二、 高考數列主要內容
數列包含了這麼幾個板塊。乙個是對數列概念的認識，如何從有序和函式的觀點認識數列。另外，兩類重要數列的研究，等差、等比相關知識的把握和綜合運用。
有關於數列求和、數列極限和數列歸納三大板塊。三大板塊又涉及到一些數學思想、函式的思想、方程的思想。
（1）數列是一種特殊的函式，用數列，特別是用等差數列、等比數列兩種基本模型反映自然規律應成為高考命題的基本走向。
例1．從社會效益和經濟效益出發，某地投入資金進行生態環境建設，並以此發展旅遊產業，根據規劃，本年度投入800萬元，以後每年投入將比上年減少，本年度當地旅遊業收入估計為400萬元，由於該項建設對旅遊業的促進作用，預計今後的旅遊業收入每年會比上年增加.
(1)設n年內(本年度為第一年)總投入為an萬元，旅遊業總收入為bn萬元，寫出an,bn的表示式；
(2)至少經過幾年，旅遊業的總收入才能超過總投入？
命題意圖：本題主要考查建立函式關係式、數列求和、不等式等基礎知識；考查綜合運用數學知識解決實際問題的能力。
知識依託：本題以函式思想為指導，以數列知識為工具，涉及函式建模、數列求和、不等式的解法等知識點.
技巧與方法：正確審題、深刻挖掘數量關係，建立數量模型是本題的靈魂，(2)問中指數不等式採用了換元法，是解不等式常用的技巧.
解：(1)第1年投入為800萬元，第2年投入為800×(1－)萬元，…第n年投入為800×(1－)n－1萬元，所以，n年內的總投入為
an=800+800×(1－)+…+800×(1－)n－1=800×(1－)k－1
=4000×［1－()n］
第1年旅遊業收入為400萬元，第2年旅遊業收入為400×(1+)，…，第n年旅遊業收入400×(1+)n－1萬元.所以，n年內的旅遊業總收入為
bn=400+400×(1+)+…+400×(1+)k－1=400×()k－1.
=1600×［()n－1］
(2)設至少經過n年旅遊業的總收入才能超過總投入，由此bn－an＞0，即：
1600×［()n－1］－4000×［1－()n］＞0，令x=()n，代入上式得：5x2－7x+2＞0.解此不等式，得x＜，或x＞1(捨去).即()n＜，由此得n≥5.
∴至少經過5年，旅遊業的總收入才能超過總投入.
（2）遞推公式給出的數列、子數列、數列極限的意義具有高考數學的傾向，是命題熱點，其中可以轉化為等差、等比數列成為命題的基本邊界。
例2 如圖,一粒子在區域上運動,在第一秒內它從原點運動到點,接著按圖中箭頭所示方向在x軸、y軸及其平行方向上運動，且每秒移動乙個單位長度．
（1）設粒子從原點到達點時，所經過的時間分別為，試寫出的通相公式；
（2）求粒子從原點運動到點時所需的時間；
（3）粒子從原點開始運動，求經過2004秒後，它所處的座標．
講解 (1) 由圖形可設，當粒子從原點到達時，明顯有
∴＝,.,．
,,即（2）有圖形知，粒子從原點運動到點時所需的時間是到達點所經過得時間再加（44－16）＝28秒，所以秒．
（3）由2004，解得，取最大得n=44,
經計算，得＝1980<2004，從而粒子從原點開始運動，經過1980秒後到達點，再向左執行24秒所到達的點的座標為（20，44）．
點評從起始項入手，逐步展開解題思維．由特殊到一般，探索出數列的遞推關係式，這是解答數列問題一般方法，也是歷年高考命題的熱點所在．
（3）歸納法、數列歸納法由顯性轉向隱性，由主體轉向區域性。
例3．設數列滿足
（1）證明對一切正整數n 成立；
（2）令,判斷的大小，並說明理由。
解析2：（i）證法一：當不等式成立. 綜上由數學歸納法可知，對一切正整數成立.
證法二：當n=1時，.結論成立.假設n=k時結論成立，即當的單增性和歸納假設有
所以當n=k+1時，結論成立.
因此，對一切正整數n均成立.
證法三：由遞推公式得上述各式相加並化簡得
（ii）解法一：
解法二：
解法三：
故.數列（主體）是以等差、等比兩種基本數列為載體考查數列的通項、求和、極限等為重點．關於抽象數列（用遞推關係給出的），講練界限要分明，只限定在「歸納—證明」之類．數列部分主要的數學解題方法有迭加法、疊代法、遞推法、錯位相減法、演繹法、歸納法、構造法、極限法、數學歸納法等。
三、常見考題型別
(1)有關數列的基本問題，這類題圍繞等差、等比數列的基本知識、基本公式、基本性質命題，難度不大，考生應注意基本方法的訓練，靈活運用相關性質。
例4．已知等差數列｛an｝的公差和等比數列｛bn｝的公比相等，且都等於d（d＞0，d≠1）.若a1=b1，a3=3b3，a5=5b5，求an，bn．
.解：由已知
由①，得a1（3d2－1）＝2d
由②，得a1（5d4－1）＝4d
因為d≠0，由③與④得2（3d2－1）＝5d4－1，
即5d4－6d2＋1＝0，
解得d＝±1，d＝±．
∵d＞0，d≠1，∴d＝．
代入③，得a1＝－，故b1=－.
an＝－＋（n－1）＝（n－6），
bn＝－×（）n－1．
評述：本小題考查等差數列和等比數列的概念、性質，方程（組）的解法以及運算能力和分析能力.
(2)研究數列的遞推公式，從而研究數列的其他性質，遞推公式簡單時往往較容易。但有些不易求出通項公式的題目，難度係數較大，觀察、歸納、猜想、證明是基本思路，數學歸納法是常用方法之一。
例5．設｛an｝是正數組成的數列，其前n項和為sn，並且對所有自然數n，an與2的等差中項等於sn與2的等比中項.
（ⅰ）寫出數列｛an｝的前三項；
（ⅱ）求數列｛an｝的通項公式（寫出推證過程）；
（ⅲ）令bn=（n∈n*），求（b1+b2+…+bn－n）.
解：（ⅰ）由題意，an＞0
令n=1時， s1=a1
解得a1=2，令n=2時有s2=a1+a2
解得a2=6，令n=3時有
s3=a1+a2+a3 解得a3=10
故該數列的前三項為2、6、10.
（ⅱ）解法一：由（ⅰ）猜想數列｛an｝有通項公式an=4n－2，下面用數學歸納法證明數列｛an｝的通項公式是an=4n－2 （n∈n*）
1°當n=1時，因為4×1－2＝2，又在（ⅰ）中已求得a1=2，所以上述結論正確.
2°假設n=k時，結論正確，即有ak=4k－2
由題意有
得ak=4k－2，代入上式得2k=，解得sk=2k2
由題意有 sk+1=sk+ak+1
得sk=2k2代入得（）2=2（ak+1+2k2）
整理ak+12－4ak+1+4－16k2=0
由於ak+1＞0，解得：ak+1=2+4k
所以ak+1=2+4k=4（k+1）－2
這就是說n=k+1時，上述結論成立.
根據1°，2°上述結論對所有自然數n成立.
解法二：由題意有，（n∈n*）
整理得sn=（an+2）2
由此得sn+1=（an+1+2）2
所以an+1=sn+1－sn=［（an+1+2）2－（an+2）2］
整理得（an+1+an）（an+1－an－4）=0
由題意知an+1+an≠0，所以an+1－an=4
即數列｛an｝為等差數列，其中a1=2，公差d=4，
所以an=a1＋（n－1）d=2+4（n－1）
即通項公式an=4n－2.
（ⅲ）令cn=bn－1，
則b1+b2+…+bn－n=c1+c2+…+cn
=所以=1.
評述：該題的解題思路是從所給條件出發，通過觀察、試驗、分析、歸納、概括、猜想出一般規律，然後再對歸納、猜想的結論進行證明.對於含自然數n的命題，可以考慮用數學歸納法進行證明，該題著重考查了歸納、概括和數學變換的能力.
(3)與函式、不等式、解析幾何結合的綜合題，有關增長率、銀行貸款等的數列應用題是屬於中高檔難度的題目。
例6．若an和bn分別表示數列和前n項的和，對任意正整數n，an=－，4bn－12an=13n.
2023年全國高考英語客觀題命題趨勢分析
2008年的高考考期臨近，今年高考考什麼，難度怎麼樣，一直是大家關心的問題。從全國的考試大綱和各地的考試 說明來看，今年的高考英語無論是難度還是題型，變化均不是很大。可以說，2008年的高考整體上將延續2007年的題型 結構和難度。單項選擇 近年來，高考英語單項選擇所考查的方向逐漸轉向了考查運用能力...
高考散文閱讀題命題型別及解題思路分析
一 高考散文閱讀題設定問題的基本型別 類 就結構形式設問1.開頭 2.結尾 3.標題。第二類 就內容表達設問1 理解 賞析。第三類 就構思和主旨設問1.思路 2.情感 3.意象。二 高考散文閱讀題答題的基本思路和方法例析 類 就結構形式設問 問 開頭 例 08年天津卷 敦煌 第18題 本文對敦煌的哪...
2023年高考數學考點及命題趨勢
狀元名師分析2013年高考數學考點及命題趨勢 周帥，畢業於北京大學，北京新東方優能中學教育高考數學王牌講師。曾獲湖北省高考狀元。四年鑽研高考，總結出獨到的解題技巧，經驗豐富。1.核心考點 集合與邏輯 o 具體內容 描述法 解不等式 集合運算 命題與量詞 充要條件 o 命題趨勢 點集 分式或指對不等式...