專題一全等三角形問題中常見的輔助線的作法
常見輔助線的作法有以下幾種：
1) 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用「三線合一」的性質解題，思維模式是全等變換中的「對折」．
2) 遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的「旋轉」．
3) 遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的「對折」，所考知識點常常是角平分線的性質定理或逆定理．
4) 過圖形上某一點作特定的平分線，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的「平移」或「翻轉摺疊」
5) 截長法與補短法，具體做法是在某條線段上擷取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質加以說明．這種作法，適合於證明線段的和、差、倍、分等類的題目．
特殊方法：在求有關三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連線起來，利用三角形面積的知識解答．
一、倍長中線（線段）造全等
例1、（「希望盃」試題）已知，如圖△abc中，ab=5，ac=3，則中線ad的取值範圍是
例2、如圖，△abc中，e、f分別在ab、ac上，de⊥df，d是中點，試比較be+cf與ef的大小.
例3、如圖，△abc中，bd=dc=ac，e是dc的中點，求證：ad平分∠bae.
應用：1、（09崇文二模）以的兩邊ab、ac為腰分別向外作等腰rt和等腰rt，連線de，m、n分別是bc、de的中點．**：am與de的位置關係及數量關係．
（1）如圖① 當為直角三角形時，am與de的位置關係是
線段am與de的數量關係是
（2）將圖①中的等腰rt繞點a沿逆時針方向旋轉(0<<90)後，如圖②所示，（1）問中得到的兩個結論是否發生改變？並說明理由．
二、截長補短
1、如圖，中，ab=2ac，ad平分，且ad=bd，求證：cd⊥ac
2、如圖，ac∥bd，ea,eb分別平分∠cab,∠dba，cd過點e，求證;ab＝ac+bd
3、如圖，已知在內，，，p，q分別在bc，ca上，並且ap，bq分別是，的角平分線。求證：bq+aq=ab+bp
4、如圖，在四邊形abcd中，bc＞ba,ad＝cd，bd平分，
求證：5、如圖在△abc中，ab＞ac，∠1＝∠2，p為ad上任意一點，求證;ab-ac＞pb-pc
應用：三、平移變換
例1 ad為△abc的角平分線，直線mn⊥ad於為mn上一點，△abc周長記為，△ebc周長記為.求證＞.
例2 如圖，在△abc的邊上取兩點d、e，且bd=ce，求證：ab+ac>ad+ae.
四、借助角平分線造全等
1、如圖，已知在△abc中，∠b=60°，△abc的角平分線ad,ce相交於點o，求證：oe=od
2、如圖，△abc中，ad平分∠bac，dg⊥bc且平分bc，de⊥ab於e，df⊥ac於f.
（1）說明be=cf的理由；（2）如果ab=，ac=，求ae、be的長.
應用：1、如圖①，op是∠mon的平分線，請你利用該圖形畫一對以op所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：
（1）如圖②，在△abc中，∠acb是直角，∠b=60°，ad、ce分別是∠bac、∠bca的平分線，ad、ce相交於點f。請你判斷並寫出fe與fd之間的數量關係；
（2）如圖③，在△abc中，如果∠acb不是直角，而(1)中的其它條件不變，請問，你在(1)中所得結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。
五、旋轉
例1 正方形abcd中，e為bc上的一點，f為cd上的一點，be+df=ef，求∠eaf的度數.
例2 d為等腰斜邊ab的中點，dm⊥dn,dm,dn分別交bc,ca於點e,f。
（1） 當繞點d轉動時，求證de=df。
（2） 若ab=2，求四邊形decf的面積。
例3 如圖，是邊長為3的等邊三角形，是等腰三角形，且，以d為頂點做乙個角，使其兩邊分別交ab於點m，交ac於點n，連線mn，則的周長為
應用：1、已知四邊形中，，，，，，繞點旋轉，它的兩邊分別交（或它們的延長線）於．
當繞點旋轉到時（如圖1），易證．
當繞點旋轉到時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段，又有怎樣的數量關係？請寫出你的猜想，不需證明．
2、（西城09年一模）已知:pa=,pb=4,以ab為一邊作正方形abcd,使p、d兩點落在直線ab的兩側.
(1)如圖,當∠apb=45°時,求ab及pd的長;
(2)當∠apb變化,且其它條件不變時,求pd的最大值,及相應∠apb的大小.
3、在等邊的兩邊ab、ac所在直線上分別有兩點m、n，d為外一點，且, ,bd=dc. **：當m、n分別在直線ab、ac上移動時，bm、nc、mn之間的數量關係及的周長q與等邊的周長l的關係．
圖1圖2圖3
（）如圖1，當點m、n邊ab、ac上，且dm=dn時，bm、nc、mn之間的數量關係是此時
（）如圖2，點m、n邊ab、ac上，且當dmdn時，猜想（）問的兩個結論還成立嗎？寫出你的猜想並加以證明；
（） 如圖3，當m、n分別在邊ab、ca的延長線上時，
若an=，則q用、l表示）．
三角形常見輔助線做法總結
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三角形全等證明輔助線做法
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三角形中的輔助線
1 輔助線口訣 題中若有角分線，兩邊垂線構全等兩邊擷取等線段，構造全等關係現。角平分線有垂線，延長垂線等腰見。角平分線平行線，等腰三角形來添。線段垂直平分線，引向兩端把線連。三角形邊兩中點，連線則成中位線。三角形中有中線，倍長中線構全等。直角三角形出現，斜邊中線等一半。遇到等腰三角形，三線合一試試看...