巧用「兩線合一」構建且證明等腰三角形問題
學習了等腰三角形的三線合一後，筆者認為，可以根據學生的實際情況，補充「三線合一」的逆命題的教學，因為這種逆命題雖然不能作為定理用，但它在解題中非常常見的。掌握了它，可以為我們解題增加一種重要思路。它有以下幾種形式：
①一邊上的高與這邊上的中線重合的三角形是等腰三角形．（線段垂直平分線的性質）
②一邊上的高與這邊所對角的平分線重合的三角形是等腰三角形．
③一邊上的中線與這邊所對角的平分線重合的三角形是等腰三角形.
因此，三角形「一邊上的高、這邊上的中線及這邊所對角的平分線」三線中「兩線合一」就能證明它是等腰三角形．
為了便於記憶，筆者簡言之：兩線合一，必等腰。
本文重點利用該逆命題作為一種思路正確地新增輔助線，構建等腰三角形且證明之來解決問題。
一、我們先來證明「三線合一」性質的逆命題三種情形的正確性：
證明①：已知:如圖1，△abc中，ad是bc邊上的中線，又是bc邊上的高。
求證：△abc是等腰三角形。
分析：ad就是bc邊上的垂直平分線，利用線段垂直平分線的性質，可以推出ab=ac，所以△abc是等腰三角形。具體證明過程略。
證明②：已知:如圖1，△abc中，ad是∠bac的角平分線，ad是bc邊上的高。
求證：△abc是等腰三角形。
分析：利用asa的方法來證明△abd≌△acd，由此推出ab=ac得出△abc是等腰三角形。具體證明過程略。
證明③：已知:如圖2，△abc中，ad是∠bac的角平分線，ad是bc邊上的中線。
求證：△abc是等腰三角形。
方法一：
分析：要證△abc是等腰三角形就是要證ab=ac，直接通過證明這兩條線段所在的三角形全等不行，那就換種思路，經驗告訴我們，在有中點的幾何證明題中常用的添輔助線的方法是「倍長中線法」（即通過延長三角形的中線使之加倍，以便構造出全等三角形來解決問題的方法），即延長ad到e點，使de=ad，由此問題就解決了。
證明：如圖2，延長ad到e點，使de=ad，連線be
在△adc和△edb中
ad=de
∠adc=∠edb
cd=bd
∴△adc≌△edb
∴ac=be,∠cad=∠bed
∵ad是∠bac的角平分線
∴∠bad=∠cad
∴∠bed=∠bad
∴ab=be
又∵ac=be
∴ab=ac
∴△abc是等腰三角形。
方法二：
分析：上面的「倍長中線法」稍微有點麻煩，經驗告訴我們，遇到角的平分線，我們可以利用角的平分線的性質：過角的平分線上一點向角的兩邊作垂線，從而構造出了高，再利用面積公式開闢出新思維。
具體做法是：如圖2，
過點d作df⊥ab，de⊥ac垂足分別為f、e。又因ad是∠bac的角平分線，所以df=de。
因為bd=dc，利用「等底同高的三角形面積相等」的原理，所以=，再根據「等積三角形高相等則底也相等」，因為===，又因df=de，所以ab=ac，可見「面積法」給解題帶來了簡便，這種方法也正是被人們易忽視的。
當然，學生在作出角的平分線上一點到角的兩邊的距離時，很容易形成思維定勢，證明兩組直角三角形分別全等，從而證明∠b=∠c，所以ab=ac，此法明顯較麻煩些，但是思路要給予肯定。
需要提醒讀者的是：以上我們證明了「三線合一」的逆定理的正確性，但是這種逆命題不能作為定理來用，掌握了它和它的證明過程，其目的是為我們解題增加一種重要思路和方法。
二、利用「三線合一」性質的逆命題新增輔助線，構建且證明等腰三角形來解決問題
1、逆命題①的應用（即線段垂直平分線的性質的應用）
例1人教版八（上）第十二章章節複習題中的第5題：如圖4，d、e分別是ab、ac的中點，cd⊥ab於d，be⊥ac於e，求證：ac=ab。
經筆者驗證，學生一拿到題目就找全等三角形或構建全等三角形，所以連線ao（圖略），證明△aoc≌△aob或者三組直角三角形分別全等，其中還要用到線段的垂直平分線的性質，證明oa=ob=oc，方法相當地麻煩。
分析：題目沒有直接給出「cd、be分別是ab、ac的垂直平分線」這樣的語句，所以學生最初拿到這個題目，很難把分立的垂直和平分兩個條件聯絡在一起。如果學生有「兩線合一，必等腰」的思維，很容易想到cd、be分別可以是以ab、ac為底邊的等腰三角形底邊上的高和中線，即「兩線合一」，因此新增輔助線，構造等腰三角形。
簡單證明：鏈結bc，∵cd⊥ab，ad=bd
∴ac=bc（注：利用線段垂直平分線的性質）
同理可得：ab=bc
∴ac=ab
由於逆命題①的應用與線段垂直平分線的性質相一致，所以筆者在此就不過多的舉例。
2、逆命題②的應用
例2已知：如圖5，在△abc中，ad平分∠bac，cd⊥ad,d為垂足，ab>ac。
求證：∠2=∠1+∠b
分析：由「ad平分∠bac，cd⊥ad」可以想到ad可以是同乙個等腰三角形底邊上的高和底邊所對角的平分線，即「兩線合一」，因此新增輔助線，構造等腰三角形。
簡單證明：延長cd交ab於點e，由題目提供的條件，可證△aed≌△acd，∠2=∠aec，又∠aec=∠1+∠b，所以結論得證。
例3在學習等腰三角形知識時，會遇到這個典型題目：如圖6，在△abc中，∠bac=900，ab=ac，be平分∠abc，且cd⊥be交be的延長線於點d，
求證：cd=be
分析：由已知條件可知：bd滿足了逆命題②的「兩線合一」，所以延長cd和ba，交於點f，補全等腰三角形。
簡單證明：由所添輔助線可證△bfd≌△bcd，可知△bcf是等腰三角形
∴cd=df=cf
再證△abe≌△acf
∴be=cf
∴cd=be
可見，學會「兩線合一，必等腰」的思維，對滿足「三線合一」性質的逆命題的條件，新增適當的輔助線來構造等腰三角形，為我們解決相關問題開闢了新思維。
筆者認為，三個逆命題中以逆命題②在幾何證明的應用中尤為突出。
例4逆命題②還可以與中位線綜合應用：
已知：如圖7，在△abc中，ad平分∠bac，交bc於點d，過點c作ad的垂線，交ad的延長線於點e，f為bc的中點，鏈結ef。
求證：ef∥ab，ef=(ac-ab)
分析：由已知可知，線段ae既是∠bac的角平分線，又是ec邊上的高，即「兩線合一」，就想到把ae所在的等腰三角形構造出來，因而就可添輔助線：分別延長ce、ab交於點g。
簡單證明：由所添輔助線可證△age≌△ace，得出△agc是等腰三角形，ag=ac
∴eg=ce
又∵點f是bc的中點
∴ef是△bgc的中位線
∴ef∥ab，ef=bg=(ag-ab)=(ac-ab)
3、逆命題③應用：
例5已知：如圖8，△abc中，ad是它的角平分線，且bd=cd，de∥ac、df∥ab分別與ab、ac相交於點e，f。求證：de=df
分析：根據已知條件，利用相似性知識，可證：點e，f分別是ab、ac的中點（初中階段不能用三角形的中位線的逆定理），又因點d是bc的中點，再利用三角形中位線的性質可知，de=ac，df=ab，可見只要證明ac=ab，題目所求證的結論就可得證。
因為ad既是∠bac的角平分線，又是bc邊上的中線，即「兩線合一」，所以△abc是等腰三角形可證，方法見逆命題③的證明。
證明：過程略。
還有的題目沒有直接給出「兩線合一」的條件，而是需要證明其中乙個條件或者通過作輔助線構建另乙個條件，使題目符合「兩線合一」思路。
例6如圖9，梯形abcd中，ab∥cd，e是bc的中點，de平分∠adc，求證：ad=cd+ab
例7分析：拿到這個題目，學生的思維很活躍，有的用「截長補短法」；有的用「角的平分線性質」；有的用「梯形問題轉化為三角形問題」的方法；筆者發現有幾個學生延長dc、ae相交於點f，易證△abe≌△fce，所以ab=cf，ae=ef，可見只要證明ad=fd，題目所求證的結論就可得證。可是學生想到這一步，思維受阻：
de此時既是∠adc的角平分線，又是af邊上的中線，△daf肯定是等腰三角形，就是不知道怎麼證明。可見，學生如果有「兩線合一，必等腰」的思維和掌握了它的證明方法，那麼此法是可行。只是此法用於這個題目較為麻煩、不可取，但是對於學生的思維火花還是要給予肯定的。
由於筆者在研究過程中，發現逆命題③的應用不是很多，所以在此就不過多的舉例。
三、請讀者小試牛刀
學習了以上「兩線合一，必等腰」的新思路，筆者最後再一次警告讀者：由於「三線合一」性質的逆命題①與線段垂直平分線的性質相吻合，所以可直接應用；但是運用逆命題②或③新增輔助線構造的等腰三角形必須先要證明，不能作為定理用，切記切記！謹防與「三線合一」性質搞混淆。
請讀者試解下面問題（前2題提示，後3題不予提示）
1、已知，如圖10，△abc中，∠bac＝90°，ad⊥bc於d，∠abc的平分線交ad於e，交ac於p，∠cad的平分線交bp於q。求證：△qad是等腰三角形。
（提示：可證∠aqb=90°，延長aq。此題把逆命題②與直角三角形的性質綜合應用）
解法：ad⊥bc於d,∠adf=∠adb=90°,∠abc+∠bad=90°,∠cad+∠bad=90°,∠abc=∠bad∠abc/2=∠bad/2,∠dbe=∠qae,∠bed=∠aeq,[對頂角]，故∠bde=∠aqe=90°,∠abq=∠fbq,bq=bq,∠bqa=∠bqf=90°,rt△bqa≌rt△bqf,[asa]aq=fq,q為rt△adf斜邊af的中點，aq=dq,△qad是等腰三角形.
2、如圖（圖略，讀者自己畫），在△abc中（ab≠ac），m為bc的中點，ad平分∠bac交bc於點d，be⊥ad於e，cf⊥ad於f．求證：me=mf．（提示：延長be、cf．）
3、如圖（圖略），be、cf是△abc的角平分線，am⊥cf於m，an⊥be於n．求證：mn∥bc．（畫圖時，注意ab≠ac）解法∵be為∠abc的角平分線，be⊥ag，
∴∠bam=∠bgm，
∴△abg為等腰三角形，
∴bm也為等腰三角形的中線，即am=gm．
同理an=dn，
∴mn為△adg的中位線，
∴mn∥bc．
4、如圖（圖略），已知梯形abcd中，ab∥cd，∠c的平分線ce⊥ad於e，且de=2ae，ce把梯形abcd分成兩部分，求這兩部分面積之比．（畫圖時，注意ab為上底，cd為下底，e點**段ad上）
證明等腰三角形
知識要點 等腰三角形的基本性質 1 等腰三角形的兩個底角相等 反之，如果乙個三角形有兩個角相等，那麼這兩個角所對的邊也相等。等邊對等角 等角對等邊 2 等腰三角形的頂角平分線 底邊上的中線 底邊上的高互相重合。三線合一定理 3 有乙個角等於60 的等腰三角形是等邊三角形。4 等腰三角形兩個底角的平分...
等腰三角形
1 2013新疆 等腰三角形的兩邊長分別為3和6，則這個等腰三角形的周長為 2 2013年武漢 如圖，abc中，ab ac，a 36 bd是ac邊上的高，則 dbc的度數是 a 18 b 24 c 30 d 36 3 2013四川南充，3，3分 如圖，abc中，ab ac,b 70 則 a的度數是 ...
等腰三角形
11.如圖，已知等邊 abc中，bd ce,ad與be相交於點p，則 ape的度數是 12 在平面直角座標系中，點a的座標是 2,0 點b的座標是 0,3 以ab為邊畫等腰三角形，則另一頂點在座標軸上的有 個.三 解答題 共56分 13.8分 電信部門要修建一座電視訊號發射塔p,按照設計要求,發射塔...