1 一次函式和正比例函式的概念
若兩個變數x，y間的關係式可以表示成y=kx+b（k，b為常數，k≠0）的形式，則稱y是x的一次函式（x為自變數），特別地，當b=0時，稱y是x的正比例函式.例如：y=2x+3，y=-x+2，y=x等都是一次函式，y=x，y=-x都是正比例函式.
說明： （1）一次函式的自變數的取值範圍是一切實數，但在實際問題中要根據函式的實際意義來確定.
（2）一次函式y=kx+b（k，b為常數，b≠0）中的「一次」和一元一次方程、一元一次不等式中的「一次」意義相同，即自變數x的次數為1，一次項係數k必須是不為零的常數，b可為任意常數.
（3）當b=0，k≠0時，y=b仍是一次函式.
（4）當b=0，k=0時，它不是一次函式.
2 確定一次函式的關係式
根據實際問題中的條件正確地列出一次函式及正比例函式的表示式，實質是先列出乙個方程，再用含x的代數式表示y．
3 函式的圖象
把乙個函式的自變數x與所對應的y的值分別作為點的橫座標和縱座標在直角座標系內描出它的對應點，所有這些點組成的圖形叫做該函式的圖象．畫函式圖象一般分為三步：列表、描點、連線．
4 一次函式的圖象
由於一次函式y=kx+b（k，b為常數，k≠0）的圖象是一條直線，所以一次函式y=kx+b的圖象也稱為直線y=kx+b．
由於兩點確定一條直線，因此在今後作一次函式圖象時，只要描出適合關係式的兩點，再連成直線即可，一般選取兩個特殊點：直線與y軸的交點（0，b），直線與x軸的交點（-，0）.但也不必一定選取這兩個特殊點.
畫正比例函式y=kx的圖象時，只要描出點（0，0），（1，k）即可.
5 一次函式y=kx+b（k，b為常數，k≠0）的性質
（1）k的正負決定直線的傾斜方向；①k＞0時，y的值隨x值的增大而增大；
②k﹤o時，y的值隨x值的增大而減小．
（2）|k|大小決定直線的傾斜程度，即|k|越大，直線與x軸相交的銳角度數越大（直線陡），|k|越小，直線與x軸相交的銳角度數越小（直線緩）；
（3）b的正、負決定直線與y軸交點的位置；
①當b＞0時，直線與y軸交於正半軸上；
②當b＜0時，直線與y軸交於負半軸上；
③當b=0時，直線經過原點，是正比例函式．
（4）由於k，b的符號不同，直線所經過的象限也不同；
①如圖11－18（l）所示，當k＞0，b＞0時，直線經過第
一、二、三象限（直線不經過第四象限）；
②如圖11－18（2）所示，當k＞0，b﹥o時，直線經過第
一、三、四象限（直線不經過第二象限）；
③如圖11－18（3）所示，當k﹤o，b＞0時，直線經過第
一、二、四象限（直線不經過第三象限）；
④如圖11－18（4）所示，當k﹤o，b﹤o時，直線經過第
二、三、四象限（直線不經過第一象限）．
（5）由於|k|決定直線與x軸相交的銳角的大小，k相同，說明這兩個銳角的大小相等，且它們是同位角，因此，它們是平行的．另外，從平移的角度也可以分析，例如：直線y=x＋1可以看作是正比例函式y=x向上平移乙個單位得到的．
6 正比例函式y=kx（k≠0）的性質
（1）正比例函式y=kx的圖象必經過原點；
（2）當k＞0時，圖象經過第
一、三象限,y隨x的增大而增大；
（3）當k＜0時，圖象經過第
二、四象限,y隨x的增大而減小．
7 點p（x0，y0）與直線y=kx+b的圖象的關係
（1）如果點p（x0，y0）在直線y=kx+b的圖象上，那麼x0,y0的值必滿足解析式y=kx+b；
（2）如果x0，y0是滿足函式解析式的一對對應值，那麼以x0，y0為座標的點p（1，2）必在函式的圖象上．
如點p（1，2）滿足直線y=x+1，即x=1時，y=2，則點p（1，2）在直線y=x+l的圖象上；點p′（2，1）不滿足解析式y=x+1，因為當x=2時，y=3，所以點p′（2，1）不在直線y=x+l的圖象上．
8 確定正比例函式及一次函式表示式的條件
（1）由於正比例函式y=kx（k≠0）中只有乙個待定係數k，故只需乙個條件（如一對x，y的值或乙個點）就可求得k的值．
（2）由於一次函式y=kx+b（k≠0）中有兩個待定係數k，b，需要兩個獨立的條件確定兩個關於k，b的方程，求得k，b的值，這兩個條件通常是兩個點或兩對x，y的值．
9 待定係數法
先設待求函式關係式（其中含有未知常數係數），再根據條件列出方程（或方程組），求出未知係數，從而得到所求結果的方法，叫做待定係數法．其中未知係數也叫待定係數．例如：函式y=kx+b中，k，b就是待定係數．
10 用待定係數法確定一次函式表示式的一般步驟
（1）設函式表示式為y=kx+b；（2）將已知點的座標代入函式表示式，解方程（組）；
（3）求出k與b的值，得到函式表示式．
如已知一次函式的圖象經過點（2，1）和（-1，-3）求此一次函式的關係式．
解：設一次函式的關係式為y＝kx+b（k≠0），由題意可知，
解∴此函式的關係式為y=．
說明： 本題是用待定係數法求一次函式的關係式，具體步驟如下：第一步，設（根據題中要求的函式「設」關係式y=kx+b，其中k，b是未知的常量，且k≠0）；第二步，代（根據題目中的已知條件，列出方程（或方程組），解這個方程（或方程組），求出待定係數k，b）；第三步，求（把求得的k，b的值代回到「設」的關係式y=kx+b中）；第四步，寫（寫出函式關係式）.
11。思想方法 （1）函式方法．
函式方法就是用運動、變化的觀點來分析題中的數量關係，抽象、昇華為函式的模型，進而解決有關問題的方法．函式的實質是研究兩個變數之間的對應關係，靈活運用函式方法可以解決許多數學問題．
（2）數形結合法．
數形結合法是指將數與形結合，分析、研究、解決問題的一種思想方法，數形結合法在解決與函式有關的問題時，能起到事半功倍的作用．
例1 下列函式中，哪些是一次函式？哪些是正比例函式？
（1）y=-x； （2）y=-； （3）y=-3-5x；
（4）y=-5x2； （5）y=6x- （6）y=x(x-4)-x2.
分析： 本題主要考查對一次函式及正比例函式的概念的理解．
解：（1）（3）（5）（6）是一次函式，（l）（6）是正比例函式．
例2 當m為何值時，函式y=-（m-2）x+（m-4）是一次函式？
分析： 某函式是一次函式，除應符合y=kx+b外，還要注意條件k≠0．
解：因為函式y=（m-2）x+（m-4）是一次函式，
所以∴m=-2.故當m=-2時，函式y=（m-2）x+（m-4）是一次函式．
說明： 某函式是一次函式應滿足的條件是：一次項（或自變數）的指數為1，係數不為0．而某函式若是正比例函式，則還需新增乙個條件：常數項為0．
例3 一根彈簧長15cm，它所掛物體的質量不能超過18kg，並且每掛1kg的物體，彈簧就伸長0．5cm，寫出掛上物體後，彈簧的長度y（cm）與所掛物體的質量x(kg）之間的函式關係式，寫出自變數x的取值範圍，並判斷y是否是x的一次函式．
分析：（1）彈簧每掛1kg的物體後，伸長0．5cm，則掛xkg的物體後，彈簧的長度y為（l5+0．5x）cm，即y=15+0．5x．
（2）自變數x的取值範圍就是使函式關係式有意義的x的值，即0≤x≤18．
(3)由y=15+0．5x可知，y是x的一次函式．
解：（l）y=15+0．5x．（2）自變數x的取值範圍是0≤x≤18．
（3）y是x的一次函式．
例4 （2003·廈門）某物體從上午7時至下午4時的溫度m（℃）是時間t（時）的函式：m=t2-5t+100（其中t=0表示中午12時，t=1表示下午1時），則上午10時此物體的溫度為
分析： 本題給出了函式關係式，欲求函式值，但沒有直接給出t的具體值．從題中可以知道，t=0表示中午12時，t=1表示下午1時，則上午10時應表示成t=-2，當t=-2時，m=（-2）3-5×（-2）+100=102（℃）．
答案：102
例5 已知y-3與x成正比例，且x=2時，y=7.
（1）寫出y與x之間的函式關係式；（2）當x=4時，求y的值；
（3）當y=4時，求x的值．
分析： 由y-3與x成正比例，則可設y-3=kx，由x=2，y=7，可求出k，則可以寫出關係式．
解：（1）由於y-3與x成正比例，所以設y-3=kx．
把x=2，y=7代入y-3=kx中，得7-3＝2k，則k＝2．
故y與x之間的函式關係式為y-3=2x，即y=2x+3．
（2）當x=4時，y=2×4+3=11．（3）當y＝4時，4=2x+3，∴x=.
例6 求直線y=-2x-3與x軸和y軸的交點，並畫出這條直線．
分析： 要注意x軸和y軸上點的特徵，x軸上所有點的縱座標為0，y軸上所有點的橫座標為0，兩個交點的座標求出後，利用這兩點就可以畫直線了．
解：令x=0，則y=-3；令y=0，則x=-．
所以該直線與x的交點為（-，0），與y軸的交點為（0，-3）圖象如圖11－20所示．
例7 （哈爾濱）若正比例函式y=（1-2m）x的圖象經過點a（x1，y1）和點b（x2，y2），當x1﹤x2時，y1＞y2，則m的取值範圍是（ ）
a．m﹤o b．m＞0 c．md．m＞m
分析： 本題考查正比例函式的圖象和性質，因為當x1＜x2時，y1＞y2，說明y隨x的增大而減小，所以1-2m﹤o,∴m＞，故正確答案為d項．
例8 已知y+a與x+b（a，b為是常數）成正比例．
（1）y是x的一次函式嗎？請說明理由；
（2）在什麼條件下，y是x的正比例函式？
分析： 判斷某函式是一次函式，只要符合y=kx+b（k，b中為常數，且k≠0）即可；判斷某函式是正比例函式，只要符合y=kx(k為常數，且k≠0)即可．
解：（1）y是x的一次函式．因為y+a與x+b是正比例函式，
所以設y+a=k(x+b)（k為常數，且k≠0）整理得y=kx+（kb-a）．
又k≠0，k，a，b為常數，所以y=kx+(kb-a)是一次函式．
（2）當kb-a=0，即a=kb時，y是x的正比例函式．
一次函式知識小結
基本概念 1 變數 在乙個變化過程中可以取不同數值的量。常量 在乙個變化過程中只能取同一數值的量。例題 在勻速運動公式中,表示速度,表示時間,表示在時間內所走的路程,則變數是 常量是 在圓的周長公式c 2 r中，變數是 常量是 2 函式 一般的，在乙個變化過程中，如果有兩個變數x和y，並且對於x的每...
一次函式知識小結
一次函式知識點總結與練習 基本概念 1 變數 在乙個變化過程中可以取不同數值的量。常量 在乙個變化過程中只能取同一數值的量。例題 在勻速運動公式中,表示速度,表示時間,表示在時間內所走的路程,則變數是 常量是 在圓的周長公式c 2 r中，變數是 常量是 2 函式 一般的，在乙個變化過程中，如果有兩個...
一次函式 一
第9講一次函式的應用1 目標考點強記憶 1 求交點座標實質就是求方程 組 的解 2 求點的座標 1 定義法 首先作出點到軸 軸的距離，轉化為求線段的長。2 已知函式解析式，求交點座標 3 待定係數法求一次函式解析式 1 設 2 求直線上點的座標 3 代點的座標入解析式建立方程組並求解 4 回代解析式...