1. 解析：（1）在如圖，以d為座標原點，建立空間直角座標
依題意，得。
，所以異面直線與所成角的余弦值為.a
（2）假設**段上存在點，使得平面.
,可設又.
由平面，得即
故，此時.
經檢驗，當時，平面.
故線段上存在點，使得平面，此時.
2. 解法二：
（ⅰ）；連,設交於於，由題意知.以o為座標原點，分別為軸、軸、軸正方向，建立座標系如圖。
設底面邊長為，則高。
於是故 ， 從而
(ⅱ)由題設知，平面的乙個法向量，平面的乙個法向量，
設所求二面角為，則,所求二面角的大小為
（ⅲ）在稜上存在一點使.由（ⅱ）知是平面的乙個法向量，且
設則而，即當時，
而不在平面內，故
3. 解法二:（1）因為ab=4, bc=cd=2, f是稜ab的中點,
所以bf=bc=cf,△bcf為正三角形, 因為abcd為
等腰梯形,所以∠bac=∠abc=60°,取af的中點m,
連線dm,則dm⊥ab,所以dm⊥cd,
以dm為x軸,dc為y軸,dd1為z軸建立空間直角座標系,
,則d（0,0,0）,a（,-1,0）,f（,1,0）,c（0,2,0）,
c1（0,2,2）,e（, ,0）,e1（,-1,1）,所以, ,設平面cc1f的法向量為則所以取,則,所以,所以直線ee//平面fcc.
（2）,設平面bfc1的法向量為,則所以,取,則,
, ,所以,由圖可知二面角b-fc-c為銳角,所以二面角b-fc-c的余弦值為.
4. 證明：（i）如圖，鏈結op，以o為座標原點，分別以ob、oc、op所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角座標系o，
則，由題意得，因，因此平面boe的法向量為，得，又直線不在平面內，因此有平面
（ii）設點m的座標為，則，因為平面boe，所以有，因此有，即點m的座標為，在平面直角座標系中，的內部區域滿足不等式組，經檢驗，點m的座標滿足上述不等式組，所以在內存在一點，使平面，由點m的座標得點到，的距離為．
5.方法二：如圖所示，建立空間直角座標系，
點為座標原點。設依題意得
所以異面直線與所成的角的大小為.
（）證明： ，
（）又由題設，平面的乙個法向量為
6. 【解法2】如圖，以d為原點建立空間直角座標系，設則，
（ⅰ）∵，
∴，∴ac⊥dp，ac⊥db，∴ac⊥平面pdb，
∴平面.
（ⅱ）當且e為pb的中點時，，
設ac∩bd=o，連線oe，
由（ⅰ）知ac⊥平面pdb於o，
∴∠aeo為ae與平面pdb所的角，
∵，∴，∴，即ae與平面pdb所成的角的大小為.
7． 解 （i） 如圖所示，由正三稜柱的性質知平面
又de平面abc，所以deaa.
而deae。aaae=a 所以de平面ac ca，又de平面ade，故平面ade平面ac ca。
解法2 如圖所示，設o使ac的中點，以o為原點建立空間直角座標系，不妨設
a a=，則ab=2，相關各點的座標分別是
a(0,-1,0)， b（，0，0）， c（0，1，）， d（，-，）。
易知=(，1，0)， =(0，2
設平面abc的法向量為n=（x，y，z）,則有
解得x=-y， z=-，
故可取n=(1，-，)。
所以，(n·)===。
由此即知，直線ad和平面ab c所成角的正弦值為。
8. （1）同方法一；
（2）如圖所示，建立空間直角座標系，則，，， ，，；設平面的乙個法向量，由可得：，令，則
。設所求角為，則，
所以所求角的大小為。
（3）由條件可得，.在中，,所以,則, ，所以所求距離等於點到平面距離的，設點到平面距離為則，所以所求距離為。
9. 以為座標原點，射線為軸的正半軸，
建立如圖所示直角座標系．依題設，．，．
（ⅰ）證明因為，，
故，．又，
所以平面．
（ⅱ）解設向量是平面的法向量，則
，．故，．
令，則，，．
等於二面角的平面角，
． 所以二面角的大小為．
10.作於點p,如圖,分別以ab,ap,ao所在直線為
軸建立座標系
,(1)證明
設平面ocd的法向量為,則
即 取,解得
(2)解設與所成的角為,
, 與所成角的大小為.
(3)解設點b到平面ocd的距離為，
則為在向量上的投影的絕對值,
由 , 得.所以點b到平面ocd的距離為
11. 如圖所示，以a為原點，建立空間直角座標系.則相關各點的
座標分別是a（0，0，0），b（1，0，0），
p（0，0，2）,
（ⅰ）證明因為，
平面pab的乙個法向量是，
所以共線.從而be⊥平面pab.
又因為平面pbe，
故平面pbe⊥平面pab.
(ⅱ)解易知
設是平面pbe的乙個法向量，則由得
所以 設是平面pad的乙個法向量，則由得所以故可取
於是， 故平面pad和平面pbe所成二面角（銳角）的大小是
12. （ⅰ）證明在△pad中pa=pd,o為ad中點，所以po⊥ad,
又側面pad⊥底面abcd,平面平面abcd=ad, 平面pad，
所以po⊥平面abcd.
(ⅱ)解以o為座標原點，的方向分別為x軸、y軸、
z軸的正方向，建立空間直角座標系o-xyz,依題意，易得
a(0,-1,0),b(1,-1,0),c(1,0,0),d(0,1,0),p(0,0,1),
所以所以異面直線pb與cd所成的角是arccos，
(ⅲ)解假設存在點q，使得它到平面pcd的距離為，
由(ⅱ)知
設平面pcd的法向量為n=(x0,y0,z0).
則所以即，
取x0=1,得平面pcd的乙個法向量為n=(1,1,1).
設由，得
解y=-或y=(捨去)，
此時，所以存在點q滿足題意，此時.
13.（ⅰ）證明取中點，鏈結．
為正三角形，．
在正三稜柱中，平面平面，
平面．取中點，以為原點，，，的方向為軸的正方向建立空間直角座標系，則，，，，，
，，．，，
，．平面．
（ⅱ）解設平面的法向量為．
，．，，
令得為平面的乙個法向量．
由（ⅰ）知平面，
為平面的法向量．
，．二面角的大小為．
（ⅲ）解由（ⅱ），為平面法向量，
．點到平面的距離．
14.解：以為原點，為單位長建立空間直角座標系．
設則，．鏈結，．
設，由已知，
由可得．解得，
所以．（ⅰ）因為，
所以．即dh與所成的角為．
（ⅱ）平面的乙個法向量是．
因為， 所以．
可得dh與平面所成的角為．
15. ⑴ 證明鏈結oc
，． 在中，由已知可得
而，即 ∴平面．
(2)解以o為原點，如圖建立空間直角座標系，
則，∴ 異面直線ab與cd所成角的余弦值為．
⑶解設平面acd的法向量為則
，∴，令得是平面acd的乙個法向量．
又 ∴點e到平面acd的距離 ．
16. (ⅰ)證明如圖,取的中點,則,∵,∴,
又平面,以為軸建立空間座標系,
則,,,,,,
,,由,知,
又,從而平面.
(ⅱ)解由,得.設平面的法向量
為,,,,
設,則∴點到平面的距離.
(ⅲ)解設面的法向量為,,,
∴設,則,故,
根據法向量的方向可知二面角的大小為.
17. （i）證明如圖，取的中點，則，因為，
所以，又平面，
以為軸建立空間座標系，
則，，，
，，，，
，由，知，
又，從而平面；
（ii）解由，得。
設平面的法向量為，，，
所以，設，則
所以點到平面的距離。
（iii）解再設平面的法向量為，，，
所以，設，則，
故，根據法向量的方向，
可知二面角的大小為。
18. 解由題意可知：ap、ad、ab兩兩垂直，可建立空間直角座標系a-xyz
由平面幾何知識知：ad＝4, d (0, 4, 0), b (2 , 0 , 0 ),
c ( 2, 2, 0 ), p (0, 0, 2), e (0, 0, 1), f (1 ,0, 1), g (1 ,1 ,1)
(1) ＝(1,0,1), ＝(－1,1,1)
∴·＝0，
∴af與bg所成角為
(2) 可證明ad⊥平面apb，
∴平面apb的法向量為n＝(0,1,0)
設平面cpd的法向量為m＝(1，y，z)
由故m＝(1,1,2)
∵cos＝
∴平面apb與平面cpd所成的銳二面角的大小為arccos.
19. 解 （1）如圖，建立空間直角座標系．
則．設為平面的法向量．
由得．取
又平面的乙個法向量
．結合圖形可知，二面角的大小為．
（ⅲ）由（ⅱ）知
點到平面的距離＝．
20. 解 （1）建立如圖的空間直角座標系o—xyz，
則a（－1，0，0），b（1，0，0），
則p（0，0，），c（1，2，0）
設為平面pac的乙個法向量，則又
令z=1，得
得又是平面abc的乙個法向量，
設二面角b—ac—p的大小為，
則（2）設為平面pcd的乙個法向量.
則由d（－1，2，0），可知），可得a=0，令，則c=2.
得，設點a到平面pcd的距離為d，則
∴點a到平面pcd的距離為
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