12軸對稱
一、知識性專題
專題1 軸對稱及軸對稱圖形
【專題解讀】 此部分內容是近幾年中考中常見的題型，也是新題型之一，解題的依據主要是軸對稱及軸對稱的性質．
例1 如圖12－112所示的是小方畫的正方形風箏圖案，她以圖中的對角線所在直線為對稱軸，在對角線的下方畫乙個三角形，使得新的風箏圖案成為軸對稱圖形，若如圖12－113所示的圖形中有一圖形為此軸對稱圖形，則此圖為
專題2 利用軸對稱變換作軸對稱變換後的圖形及設計方案
【專題解讀】 利用軸對稱變換設計精美圖案，當對稱軸改變方向時，原圖形的對稱圖形也改變方向，乙個圖形經過若干次軸對稱變換，再結合平移、旋轉等．就可以得到非常美麗的圖案．
例2 如圖12－114①所示，給出了乙個圖案的一半，其中的虛線就是這個圖案的對稱軸，請畫出這個圖案的另一半．
專題3 等腰三角形的性質和判定
【專題解讀】等腰三角形的性質和判定可以用來證明角相等、線段相等以及線段垂直，這是幾何證明中最重要的知識之一，它經常與其他幾何知識(如四邊形、圓等)綜合在一起考查．
例3 如圖12－115所示，ab＝ac，e，d分別在ab，ac上，bd和ce相交於點f，且∠abd＝∠ace．求證bf＝cf．
專題4 等邊三角形的性質和判定
【專題解讀】 等邊三角形是乙個很特殊的三角形，它的三邊都相等，三個角都是60°，正是由於它的特殊性，因此在很多的幾何證明題中都會用到．
例4 如圖12－116所示，ad是△abc的中線，∠adc＝60°，bc＝4，若將△adc沿直線ad摺疊，則c點落在點e的位置上，求be的長．
專題5 含30°角的直角三角形的性質與等腰三角形的綜合應用
【專題解讀】 直角三角形中，30°角所對的直角邊等於斜邊的一半，這條性質在實際生活中有著廣泛的應用．由角的特殊性，揭示了直角三角形中直角邊和斜邊的關係．
例5 如圖12－117所示，△abc中，ab＝ac，∠bac＝120°，ad⊥ac交bc於點d．求證be＝3ad．
二、規律方法專題
專題6 正確作輔助線解決問題
【專題解讀】 本章涉及等腰三角形的性質、角平分線及線段的垂直平分線的性質，做題時可通過新增適當的輔助線由全等等知識獲得結論．
例6 如圖12－118所示，∠b＝90°，ad＝ab＝bc，de⊥ac．求證bf＝dc．
例7 如圖12－119所示，在△abc中，ab＝ac，在ab上取一點e，在ac的延長線上取一點f，使be＝cf，ef交bc於g．求證eg＝fg．
三、思想方法專題
專題7 分類討論思想
【專題解讀】 本章涉及等腰三角形的邊、角的計算，應通過題意**其可能存在的情況，運用相關知識一一討論不難獲得結論．
例8 已知等腰三角形一腰上的中線把這個三角形的周長分為13 cm和15 cm兩部分，試求此等腰三角形的腰長和底邊長．
，專題8 數形結合思想
【專題解讀】 數形結合思想是比較常用的數學思想，在解有關三角形的問題時顯得尤為重要．
例9 (開放題) 如圖12－121所示，△abc中，已知ab＝ac，要使ad＝ae，需新增的條件是 ．
例10 (**題)如圖12－122所示，線段op的乙個端點o在直線a上，以op為一邊畫等腰三角形，並且使另乙個頂點在直線a上，這樣的等腰三角形能畫幾個?
例11 (動手操作題)如圖12－124①所示，△abc中，ab＝ac，∠a＝36°，仿照圖①請你再用兩種不同的方法，將△abc分割成3個三角形，使每個三角形都是等腰三角形(作圖工具不限，不寫作法和證明，但要標出所分得的每個等腰三角形的內角的度數)．
綜合驗收評估測試題
一、選擇題(每小題3分，共30分)
1．如圖12－125所示的四個中文藝術字中，不是軸對稱圖形的是( )
一日千里
abcd
圖12 - 125
2．如圖12－126所示，把等腰直角三角形abc沿bd摺疊，使點a落在邊bc上的點e處．下面結論錯誤的是
a．ab＝be b．ad＝dc c．ad＝ce d．ad＝ec
3．如圖12－127所示，直線cd是線段ab的垂直平分線，p為直線cd上的一點，已知線段pa＝5，則線段pb的長度為
a．6b．5c．4d．3
4．點p(3，－5)關於x軸對稱的點的座標為
a．(－3，－5) b．(5，3) c．(－3，5) d．(3，5)
5．如圖12－128所示，△abc與△a′b′c′關於直線，對稱，且∠a＝78°，∠c′＝48°，則∠b的度數為
a．48b．54c．74d．78°
6．如圖12－129所示的是一塊三角形的草坪，現要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應選在 ( )
a．△abc的三條中線的交點 b．△abc的三邊的中垂線的交點
c．△abc三條角平分線的交點 d．△abc三條高所在直線的交點
7．如圖12－130所示的是把一張長方形的紙沿長邊中點的連線對折兩次後得到的圖形，再沿虛線裁剪，外面部分展開後的圖形是圖12－131中的( )
8．如圖12－132所示，在△abc中，ab＝ac，∠a＝36°，bd，ce分別是△abc，△bcd的角平分線，則圖中的等腰三角形有
a．5個b．4個 c．3個 d．2個
9．如圖12－133所示，座標平面內一點a(2，－1)，o為原點，p是x軸上的乙個動點，如果以點p，o，a為頂點的三角形是等腰三角形，那麼符合條件的動點p的個數為
a．2b．3c．4d．5
10．如圖12－134所示，∠a＝15°，ab＝bc＝cd＝de＝ef，則∠def等於
a．90b．75°
c．70d．60°
二、填空題(每小題3分，共30分)
11．等腰三角形abc的兩邊長為2和5．則第三邊長為 ．
12．如圖12－135所示，鏡子中的號碼實際是 ．
13．如圖12－136所示．△abc中，de垂直平分ac，交ab於e，∠a＝30°，∠acb＝80°，則∠bce
14．從乙個等腰三角形紙片的底角頂點出發，能將其剪成兩個等腰三角形紙片，則原等腰三角形紙片的底角等於 ．
15．如圖12－137所示，將矩形紙片abcd摺疊，使點d與點b重合，點c落在點c′處，摺痕為ef，若∠abe＝20°，那麼∠efc′的度數為度．
16．若等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角為35°．則這個三角形的頂角為 ．
17．等邊三角形是軸對稱圖形，它有條對稱軸．
18．(1)若等腰三角形的乙個內角等於130°，則其餘兩個角分別為 ．
(2)若等腰三角形的乙個內角等於70°，則其餘兩個角分別為 ．
19．如圖12－138所示，在△abc中，∠c＝90°，ad平分∠bac，交bc於點d，cd＝3，則點d到ab的距離為 ．
20．如圖12－139所示，在△abc中，ab＝ac，∠a＝60°，be⊥ac於e，延長bc到d，使cd＝ce，連線de，若△abc的周長是24，be＝a，則△bde的周長是 ．
三、解答題(每小題10分．共60分)
21．如圖12－140所示，有分別過a，b兩個加油站的公路l1，l2相交於點o，現準備在∠aob內建乙個油庫，要求油庫的位置點p滿足到a，b兩個加油站的距離相等，而且p到兩條公路l1，l2的距離也相等．請用尺規作圖作出點p(不寫作法，保留作圖痕跡)．
22．如圖12－141所示，∠bac＝∠abd．
(1)要使oc＝od，可以新增的條件為或寫出2個符合題意的條件即可)
(2)請選擇(1)中你所新增的乙個條件．證明oc＝od．
23．如圖12－142所示，△abc中，ab＝ac，e在ca的延長線上，ae＝af，ad是bc邊上的高，試判斷ef與bc的位置關係，並說明理由．
24．如圖12－143所示，△abc中，點e在ac上，點n在bc上，在ab上找一點f，使△enf的周長最小，並說明理由．
25．如圖12－144所示，某船上午11時30分在a處觀測海島b在北偏東60°方向，該船以每小時10海浬的速度向正東方向航行，航行到c處時，再觀測海島b在北偏東30°方向，又以同樣的速度繼續航行到d處，再觀測海島b在北偏西30°方向，當輪船到達c處時恰好與海島b相距20海浬，請你確定輪船到達c處和d處的時間．
26．如圖12－145所示，在△abc中，∠abc＝2∠c，ad為bc邊上的高，延長ab到e點，使be＝bd，過點d，e引直線交ac於點f，則有af＝fc．為什麼?
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