典型例題
1、如圖，在矩形abcd中，ac、bd相交於o，ae平分∠bad，交bc於e，若∠cae = 15°，求∠boe的度數
2、如圖□abcd，四內角平分線相交於e、f、g、h；求證：四邊形efgh是矩形
3、如圖，在菱形abcd中，e、f分別是bc、cd的中點，鏈結ae、af；求證：ae = af
2．四年一度的國際數學家大會於 2023年8月20日在北京召開，大會會標如圖，它是由四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的乙個大正方形，若大正方形的面積為13，每個直角三角形的兩直角邊的和是5，求中間小正方形的面積．
[例題]如圖，矩形abcd的兩條對角線相交於點o，已知∠aod＝120°，ab＝2.5 cm．求矩形對角線的長．
例題]如圖，四邊形abcd是邊長為 13 cm的菱形，其中對角線bd長 10 cm，
求：(1)對角線ac的長度；
(2)菱形abcd的面積．
1．已知d、e、f分別是△abc中ab、bc、ca邊的中點，四邊形decf是菱形．
求證：△abc是等腰三角形．
1、如圖，在矩形abcd中，ac、bd相交於o，ae平分∠bad，交bc於e，若∠cae = 15°，求∠boe的度數
解：在矩形abcd中，
∵ae平分∠bad，∴∠bae =∠bad = 45°
又∵∠cae = 50，∴∠bao =∠bae+∠cae = 60°
△aob為等邊三角形，
∴ob=ab，∠abo = 60°
∴∠obe =∠abc－∠abo = 90－60 = 30°
∵∠bae = 45，∠bea = 45°
∴ab = be，ob = be
∴∠boe == 75°
2、如圖□abcd，四內角平分線相交於e、f、g、h；求證：四邊形efgh是矩形
證明：如圖在□abcd中，
∵ae、bg、cg、de分別為四個內角平分線
∴∠1 =∠2 = 90，∠3+∠4 = 90°
在△abh中∠ahb = 90 =∠ghe，在△aed中∠aed = 90°
同理可證∠gfe = 90，∠hgf = 90°
∴四邊形efgh為矩形
3、如圖，在菱形abcd中，e、f分別是bc、cd的中點，鏈結ae、af；求證：ae = af
證明：在菱形abcd中，ab = ad = bc = cd，∠b =∠d
又∵e、f分別是bc、cd的中點，
∴be = df
∴在△abe和△adf中，ab = ad，∠b =∠d，be = df
∴△abe≌△adf，∴ae = af
2．四年一度的國際數學家大會於 2023年8月20日在北京召開，大會會標如圖，它是由四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的乙個大正方形，若大正方形的面積為13，每個直角三角形的兩直角邊的和是5，求中間小正方形的面積．
解：設直角三角形較長的直角邊的長為a，較短的直角邊的長為b；
由題意得：a+b = 5
大正方形的邊長為：
小正方形的邊長為：ab
則：s大正方形 = ()2 = a2+b2 = 13
s小正方形 = (ab)2 = (a2+b2)2ab
由a+b = 5得：(a+b)2 = 52
即a2+b2+2ab = 25
由a2+b2 = 13，得13+2ab = 25，則2ab = 12
所以，s小正方形 = (a2+b2)2ab = 1312 = 1．
[例題]如圖，矩形abcd的兩條對角線相交於點o，已知∠aod＝120°，ab＝2.5 cm．求矩形對角線的長．
例題]如圖，四邊形abcd是邊長為 13 cm的菱形，其中對角線bd長 10 cm，
求：(1)對角線ac的長度；
(2)菱形abcd的面積．
1．已知d、e、f分別是△abc中ab、bc、ca邊的中點，四邊形decf是菱形．
求證：△abc是等腰三角形．
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