菱形知識點小結：
1、邊：四條邊都相等；
2、角：對角相等，鄰角互補；
3、對角線：對角線互相垂直且平分,並且每條對角線平分一組對角；
4、對稱性：菱形既是軸對稱圖形，對稱軸是兩條對角線所在直線，也是中心對稱圖形
5、在60°的菱形中，短對角線等於邊長，長對角線是短對角線的√3倍。
6、菱形是特殊的平行四邊形，它具備平行四邊形的一切性質。
7.菱形面積計算
（1）菱形的面積等於底乘以高，等於對角線乘積的一半。即s=底×高
（2）對角線互相垂直的四邊形，其面積就等於對角線乘積的一半。
即s=1/2對角線a×對角線b=1/2ab
菱形問題常新增輔助線：連線對角線；
作高；性質練習：
1．如圖，bd是菱形abcd的一條對角線，若∠abd=65°，則∠a=_____．
2． 乙個菱形的兩條對角線分別是6cm，8cm，則這個菱形的周長等於 cm。面積cm2
3．若菱形的周長為8cm,高為1cm,則菱形兩鄰角的度數比為
4己知：如圖，菱形abcd中，∠b=600，ab＝4，則以ac為邊長的正方形acef的周長為 .
5菱形的周長為20cm，一條對角線長為8cm，則菱形的面積為 ．
6如圖，在菱形 abcd中，e、f分別是ad、bd的中點，如果ef=2，
那麼菱形abcd的周長是（ ）
a. 4 b．8 c．12 d．16
7.如圖，在菱形abcd中，e、f、g、h分別是菱形四邊的
中點，鏈結eg與fh交於點o，則圖中的菱形共有( )
a．4個 b．5個 c．6個 d．7個
典型例題
例1..如圖，四邊形abcd是菱形，對角線ac=8cm，db=6cm,dh⊥ab於點h，求dh的長.
注：菱形的對角線互相垂直平分，構造直角三角形由勾股定理求邊長，由等面積法求高。
特別：若乙個菱形含60°角時，（1）可以連線該角兩邊，構造等邊三角形。
（2）過該角兩邊的乙個端點作垂線構造含60°角的直角三角形。
變式練習：1.已知菱形abcd中，ac與bd相交o點，若∠bdc=,菱形的周長為20厘公尺，求菱形的面積.
2：.菱形周長為40cm，它的一條對角線長10cm.
⑴求菱形的每乙個內角的度數.
⑵求菱形另一條對角線的長.
⑶求菱形的面積.
例2.如圖，在菱形abcd中，e、f分別是bc，cd上的點，且∠b =∠eaf= 60°，∠bae= 20°，求∠cef的度數
變式練習： 在菱形abcd中，e、f分別是bc，cd上的點，且∠b =∠eaf= 60°。
（1） 求證：△aef是等邊三角形。
（2） 若∠bae=37，求∠cef的度數
判定應用
例1:已知：如圖，ad平分∠bac，de∥ac交ab於e，df∥ab交ac於f．
求證：四邊形aedf是菱形．
變式練:1： 如圖，在△abc中，∠a、∠b的平分線交於點d，de∥ac交bc於點e，df∥bc交ac於點f．
（1）點d是△abc的________心；
（2）求證：四邊形decf為菱形．
例2：已知：如圖,□ abcd的對角線ac的垂直平分線與邊ad，bc分別交於e，f．
求證：四邊形afce是菱形
變式1： 已知，ad是△abc的角平分線，ad的垂直平分線與邊ab，ac分別交於點e、點f. 求證：四邊形aedf是菱形.
變式2：.如圖，平行四邊形abcd的兩條對角線ac、bd相交於點o，ab=5，ac=8，db=6
（1）ac、bd互相垂直嗎？為什麼？
（2）四邊形abcd是菱形嗎？為什麼？
練習：1如圖，在△abc中，∠bac=90°，ad⊥bc於d，ce平分∠acb，交ad於g，交ab於e，ef⊥bc於f，四邊形aefg是菱形嗎?
2.如圖，兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，重疊部分abcd是菱形嗎?為什麼?
3.（2008聊城）如圖，矩形中，是與的交點，過點的直線與的延長線分別交於．
（1）求證：；
（2）當與滿足什麼關係時，以為頂點的四邊形是菱形？證明你的結論．
4.如圖所示，在abcd中，∠abc=60°，且ab=bc，∠man=60°．請探索bm，dn與ab的數量關係，並證明你的結論
矩形知識點小結
1、矩形的定義：有乙個角是直角的平行四邊形叫矩形．
2、矩形的性質：
邊：矩形的對邊平行且相等
角：．矩形的四個角都是直角
對角線：矩形的對角線相等且互相平分
對稱性：矩形既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形,它有2條對稱軸.
面積公式：面積=ab
3、矩形的判定：（1）有乙個角是直角的平行四邊形是矩形（定義）。
（2）對角線相等的平行四邊形是矩形。
（3）有三個角是直角的四邊形是矩形。
推論：直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半。
練習：1.如圖所示，矩形abcd的兩條對角線相交於o，∠aod=120°，ab=4cm，
則矩形對角線ac長為______cm．
2．四邊形abcd的對角線ac，bd相交於點o，能判斷它為矩形的題設是（ ）
a．ao=co，bo=dob．ao=bo=co=do
c．ab=bc，ao=cod．ao=co，bo=do，ac⊥bd
3．如圖，adbc，則四邊形abcd是______，又對角線ac，bd交於點o，
若∠1=∠2，則四邊形abcd是______．
4．如圖，ef過矩形abcd對角線交點o，且分別交ab、cd於點e、f，那麼陰影部分的面積是矩形abcd面積的
a． b． c． d．
5.如圖，四邊形為矩形紙片．把紙片摺疊，使點恰好落在邊的中點處，摺痕為．若，則等於（ ）
a． bc． d．
6.如圖，矩形的周長為，兩條對角線相交於點，過點作的垂線，分別交於點，鏈結，則的周長為（ ）
a．5cm b．8cm c．9cm d．10cm
7. 如圖，矩形efgh的頂點f，g在等腰直角△abc的斜邊上，e、h分別在直角邊ac、bc上，若bc=45，四邊形efgh是內接矩形，且eh：ef=5:
2，則ef=_______，eh=_______
典型例題：
例1：如圖所示，矩形abcd的兩條對角線相交於o，∠aod=120°，ab=4cm，
則（1）矩形對角線ac、bc長度。
（2）求∠acb度數。
例2： 如圖，矩形abcd的兩條線段交於點o，過點o作ac的垂線ef,分別交ad、bc於點e、f，連線ce,已知的周長為24cm，則矩形abcd的周長是多少？
例3.如圖，矩形efgh的頂點f，g在等腰直角△abc的斜邊上，e、h分別在直角邊ac、bc上，若eh＝2ef，ab＝12cm，求矩形efgh的周長。
正方形知識點小結
1、正方形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形
2、正方形的性質：
邊：菱形的四條邊都相等，對邊平行且相等，鄰邊相等。
角：正方形的四個角是直角
對角線：菱形的對角線互相垂直平分，並且每一條對角線平分一組對角
對稱性：正方形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形,它有4條對稱軸．
3．正方形的判定：先判定這個四邊形是矩形，再判定這個矩形還是菱形；
或者先判定四邊形是菱形，再判定這個菱形也是矩形．
（1）：對角線相等的菱形是正方形。
（2）：有乙個角為直角的菱形是正方形。
（3）：對角線互相垂直的矩形是正方形。
（4）：一組鄰邊相等的矩形是正方形。
（5）：一組鄰邊相等且有乙個角是直角的平行四邊形是正方形。
（6）：對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形。
（7）：對角線互相垂直,平分且相等的四邊形是正方形。
（8）：一組鄰邊相等，有三個角是直角的四邊形是正方形。
（9）：既是菱形又是矩形的四邊形是正方形。
練習：①正方形的面積為4，則它的邊長為____，對角線長為_____．
②已知正方形的對角線長是4，則它的邊長是 ，面積是 。
③如圖所示，在△abc中，ab=ac，點d，e，f分別是邊ab，bc，ac的中點，
連線de，ef，要使四邊形adef是正方形，還需增加條件：_______．
例1：如圖，點e、f在正方形abcd的邊bc、cd上，ae、bf相交於點g，be=cf
求證：（1）ae=bf。（2）ae⊥bf。
變式1： (1) 如圖1,在正方形abcd中,點e,f分別在邊bc,
cd上,ae,bf交於點o,∠aof＝90°.
求證：be＝cf.
(2) 如圖2,在正方形abcd中,點e,h,f,g分別在邊ab,
bc,cd,da上,ef,gh交於點o,∠foh＝90°, ef
＝4.求gh的長.
變式2（1）.如圖，正方形中，分別是邊上的點，且求證
（2）.如圖，正方形中，分別是邊上的點，且求證
例2：已知：如圖所示，e、f分別是正方形的邊bc、dc上的點，
（1） 若∠eaf＝45°，試問be＋df＝ef成立嗎？
（2） 若△efc的周長是正方形abcd周長的一半，試問
∠eaf＝45°嗎？為什麼？
變式練習
1：如下圖e、f分別在正方形abcd的邊bc、cd上，且∠eaf=45°，試說明ef=be+df。
2：正方形abcd上，點e為bc上任一點af為∠dae的平分線，交dc與點f，試問df+be=ae嗎？（交bc與點m，交dc與點n）
3：如圖，四邊形abcd是正方形，點g是bc上的任意一點，de⊥ag於點e，bf∥de，且交ag於點f。求證：af=bf+ef
例3： 已知：如圖rt△abc中，∠acb＝90°，cd為∠acb的平分線，de⊥bc於點e，df⊥ac於點f.。求證：四邊形cedf是正方形.
練習1： 如圖12，b、c、e是同一直線上的三個點，四邊形abcd與四邊形cefg是都是正方形.連線bg、de.
（1）觀察猜想bg與de之間的大小關係，並證明你的結論.
（2）在圖中是否存在通過旋轉能夠互相重合的兩個三角形？若存在，請指出，並說出旋轉過程；若不存在，請說明理由.
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