高二上期末考試模擬試題十二
數學（測試時間：120分鐘滿分150分）
第卷一.選擇題 1.已知f是拋物線的焦點，p是該拋物線上的動點，則線段pf中點的軌跡方程是（ ）
（a） （b） （c） （d）
2.若雙曲線的兩條漸近線方程是x，焦點 f（）, () ,那麼它的兩條準線間的距離是
(a). (b) (cd)
3.點p（－3，1）在橢圓的左準線上，過點p且方向為的光線，經直線y＝－2 反射後通過橢圓的左焦點，則這個橢圓的離心率是（ ）
（a） (bcd)
4.當曲線與直線y=k(x-2)+4有兩個相異交點時， 實數k的取值範圍（ ）
（a） (b) (cd)
5.已知a,b是平面上的兩個定點，m是以a為圓心定長l為半徑的圓上的乙個動點，線段mb的中垂線交直線ma於點p，則點p的集合構成的圖形是（ ）
（a）橢圓 (b) 雙曲線的一支 (c) 拋物線 (d)不能確定
6.已知k是常數，若雙曲線的焦距與k的取值無關，則k的取值範是
（a）-25 (c) (d)
7.若直線y=kx+2與雙曲線的右支有兩個不同的交點，則k的取值範圍是（ ）
(a) (b) (c) (d)
8.已知直線l交橢圓於m,n兩點，橢圓於y軸的正半軸交於點b，若的重心恰好落在橢圓的右焦點上，則直線l的方程是（ ）
(a)5x+6y-28=0 (b) 5x－6y-28=0 (c) 6x+5y-28=0 (d) 6x－5y-28=0
9.已知點a(5,2),f是雙曲線的右焦點，m是雙曲線右支上的一點，則的最小值是a)9 (b)12 (c)16 (d)20
10.一拋物線型拱橋，當水面離橋頂2公尺時，水面寬4公尺，若水面下降1公尺時，則水面寬為
(a)公尺 (b)公尺 (c) 4.5 公尺 (d)9公尺
11.乙個酒杯的截面是拋物線的一部分，它的方程是，在杯內放入乙個玻璃球，要使球觸及酒杯底部，則玻璃球的半徑r的範圍為（ ）
（a） (b) (cd)
12.已知x,y滿足： ，則的最值是（ ）
（a）最大值為2，最小值為0b）最大值為2，無最小值
（c）無最大值，最小值為0d）無最值
二.填空題（每題4分，共16分）
13.已知圓上點a（1，0）關於直線x+2y-3=0的對稱點仍然在這個圓上，且直線x+2y-3=0被圓截得的弦長為4，則這個圓的方程是
14.以定點a（2，8）和動點b為焦點的橢圓經過點p（－4，0），q（2，0），則動點b的軌跡方程是
15.某宇宙飛船的執行軌道是以地球的中心f為左焦點的橢圓，測得近地點a距離地面m km，遠地點b距離地面n km，地球的半徑為r km，關於橢圓有以下四種說法：
（1）焦距長為n-m (2)短軸長為 （3） 離心率
(4)以ab方向為x軸的正方向，f為座標原點，則左準線方程為，
以上說法正確的是
16.若x,y為整數，則稱座標平面上的點（x,y）為格點，直線與格點的距離的最小值是
三.解答題：
17.已知雙曲線的中心在原點，焦點在座標軸上，離心率為，且過點，
（1）求雙曲線方程。
（2）若點m（3，m）在雙曲線上，求證：。
（3）求：的面積。
18.已知中心在原點的橢圓c的兩個焦點和橢圓：的兩個焦點是乙個正方形的四個頂點，且橢圓c過點a（2，－3），
（1）求橢圓c的方程
（2）若pq是橢圓c的弦，o是座標原點, ,且點p的座標為，求點q的座標。
19.已知圓
（1）求證：不論m為何值，圓心在同一直線l上。
（2）與l平行的直線中，哪些與圓相交，相切，相離；
（3）求證：任何一條平行於l且與圓相交的直線被圓截得的弦長相等。
20.設a，b（）兩點在拋物線上，l是ab得垂直平分線，
（1）當且僅當取何值時，直線l經過拋物線得焦點f？證明你的結論；（2）當時，求直線l得方程。
21.如圖所示，線段ab＝4，動圓與線段ab切於點c，且=，過點a,b分別作圓的切線，兩切線相交於p，且p均在ab的同側，
（1）建立適當的座標系，當位置變化時，求動點p的軌跡e的方程；
（2）過點b作直線l交曲線e於點m，n,求面積的最小值。
22如圖，直線：y=kx(k>0)與直線：y=-kx之間的陰影區域（不含邊界）記為w，其左半部分記為,右半部分記為，
（1） 分別用不等式組表示和；
（2） 若區域w中的動點p（x,y）到，的距離之積等於，求點p的軌跡c的方程；
（3） 設不過原點o的直線l與（2）中的曲線c相交與,且與，分別交於兩點，求證：的重心與的重心重合。
答案一．選擇題
二，填空題
13.或 14. 雙曲線的右支
15.（1）（3）（4） 16.
三．解答題
17.（1）因為 e＝所以設雙曲線方程為……………………2
因為過（4，）點,所以16－10＝，即＝6，
所以雙曲線方程為
（2）易知，，所以，
所以6因為點（3，m）在雙曲線上，所以9－＝6，＝3
故。＝－18
（3）的底=4,其高為h＝＝
所以=612
18.橢圓：的兩個焦點(), (),
又橢圓c與橢圓的焦點, , ,是乙個正方形的四個頂點，橢圓c的中心在原點，
所以，關於原點對稱，所以（0，），（0，）
故橢圓方程c可以設為3
因為橢圓c過點a（2，－3），所以，解得，或（舍）
所以橢圓c的方程是6
（2）設q（，），因為opoq,所以。＝。＝－1
所以＝－ 又因為，所以，
即，則或
故點q為或12
19.解 （1）配方得，設圓心為（x,y）
則消去m得l ：x-3y-3=02
則圓心恆在直線l：：x-3y-3=0上4
（2）設與l平行的直線是：x-3y＋b=0，則圓心到直線的距離為6
因為圓的半徑為r＝5，所以
當d當d＝r時，即b＝時，直線與圓相切，
當d>r時，即b《或b>時，直線與圓相離8
（3）對於任一平行l且與圓相交的直線：x-3y＋b=0，由於圓心到直線的距離，從而弦長＝與m無關，
所以任何一條平行於l且與圓相交的直線被圓截得的弦長都相等，………………12
20.解 （1）因為f∈l，∴∣fa∣=∣fb∣∴a，b兩點到拋物線的準線的距離相等----2分
∵拋物線的準線是x軸的平行線，y1≥0，y2≥0，依題意y1，y2不同時為0，所以上述條件等價於y1=y2x=x（x1+x2）(x1-x2)=04分
∵x1x2，上述條件等價於x1+x2=0，既當且僅當x1+x2=0時，l經過拋物線的焦點f
-------6分
（2）==2， =18
∴過點ab的直線的斜率為8分
∵l與ab垂直∴l的斜率為10分
又線段ab的中點座標為（即（-1，10）
∴l的直線方程為y-10=（x+1）
即所求的方程為x-4y+41=012分
21.解 （1）以線段ab所在直線為x軸，線段ab的中垂線為y軸，建立直角座標系，…1
如圖，設p（x,y），因為2
所以－＝－＝<4，所以點p的軌跡是以a,b為焦點，為實軸長的雙曲線的右支（除去與x軸的交點），a＝，c＝2，所以＝2，所以點p的軌跡e的方程是6
（2）設mn：x=.y＋2（），
令＝（－1<<1）,
則mn：x＝y＋28
由x＝y＋2，（）消去x得
（－1）＋4y＋2＝0，設m()，n（），則＝，
＝.＝4＝…………10
因為1<2，所以4<+1＋1＋4＝5
所以0<+1+－41，所以
當＝0，即mnx軸時，有最小值12…
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