集合概念的基本理論，稱為集合論．它是近、現代數學的乙個重要基礎．一方面，許多重要的數學分支，如數理邏輯、近世代數、實變函式、泛函分析、概率統計、拓撲等，都建立在集合理論的基礎上．另一方面，集合論及其反映的數學思想，在越來越廣泛的領域中得到應用．在小學和初中數學中，學生已經接觸過集合，對於諸如數集（整數的集合、有理數的集合）、點集（直線、圓）等，有了一定的感性認識．這節內容是初中有關內容的深化和延伸．首先通過例項引出集合與集合元素的概念，然後通過例項加深對集合與集合元素的理解，最後介紹了集合的常用表示方法，包括列舉法，描述法，還給出了畫圖表示集合的例子．本節的重點是集合的基本概念與表示方法，難點是運用集合的兩種常用表示方法———列舉法與描述法正確表示一些簡單的集合．
教學目標
1. 初步理解集合的概念，了解有限集、無限集、空集的意義，知道常用數集及其記法．
2. 初步了解「屬於」關係的意義，理解集合中元素的性質．
3. 掌握集合的表示法，通過把文字語言轉化為符號語言（集合語言），培養學生的理解、化歸、表達和處理問題的能力．
任務分析
這節內容學生已在小學、初中有了一定的了解，這裡主要根據例項引出概念．介紹集合的概念採用由具體到抽象，再由抽象到具體的思維方法，學生容易接受．在引出概念時，從例項入手，由具體到抽象，由淺入深，便於學生理解，緊接著再通過例項理解概念．集合的表示方法也是通過例項加以說明，化難為易，便於學生掌握．
教學設計
一、問題情境
1. 在初中，我們學過哪些集合？
2. 在初中，我們用集合描述過什麼？
學生討論得出：
在初中代數裡學習數的分類時，學過「正數的集合」，「負數的集合」；在學習一元一次不等式時，說它的所有解為不等式的解集．
在初中幾何裡學習圓時，說圓是到定點的距離等於定長的點的集合．幾何圖形都可以看成點的集合．
3. 「集合」一詞與我們日常生活中的哪些詞語的意義相近？
學生討論得出：「全體」、「一類」、「一群」、「所有」、「整體」，……
4. 請寫出「小於10」的所有自然數．
0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．這些可以構成乙個集合．
5. 什麼是集合？
二、建立模型
1. 集合的概念（先具體舉例，然後進行描述性定義）
（1）某種指定的物件集在一起就成為乙個集合，簡稱集．
（2）集合中的每個物件叫作這個集合的元素．
（3）集合中的元素與集合的關係：
a是集合a中的元素，稱a屬於集合a，記作a∈a；
a不是集合a中的元素，稱a不屬於集合a，記作aa．
例：設b＝｛1，2，3｝，則1∈b，4b．
2. 集合中的元素具備的性質
（1）確定性：集合中的元素是確定的，即給定乙個集合，任何乙個物件是否屬於這個集合的元素也就確定了．如上例，給出集合b，4不是集合的元素是可以確定的．
（2）互異性：集合中的元素是互異的，即集合中的元素是沒有重複的．
例：若集合a＝｛a，b｝，則a與b是不同的兩個元素．
（3）無序性：集合中的元素無順序．
例：集合｛1，2｝與集合｛2，1｝表示同一集合．
3. 常用的數集及其記法
全體非負整數的集合簡稱非負整數集（或自然數集），記作n．
非負整數集內排除0的集合簡稱正整數集，記作n*或n+；
全體整數的集合簡稱整數集，記作z；
全體有理數的集合簡稱有理數集，記作q；
全體實數的集合簡稱實數集，記作r．
4. 集合的表示方法［問題］
如何表示方程x2－3x＋2＝0的所有解？
（1）列舉法
列舉法是把集合中的元素一一枚舉出來的方法．
例：x2－3x＋2＝0的解集可表示為｛1，2｝．
（2）描述法
描述法是用確定的條件表示某些物件是否屬於這個集合的方法．
例：①x2－3x＋2＝0的解集可表示為｛x｜x2－3x＋2＝0｝．
②不等式x－3＞2的解集可表示為｛x｜x－3＞2｝．
③venn圖法
例：x2－3x＋2＝0的解集可以表示為（1，2）．
5. 集合的分類
（1）有限集：含有有限個元素的集合．例如，a＝｛1，2｝．
（2）無限集：含有無限個元素的集合．例如，n．
（3）空集：不含任何元素的集合，記作．例如，｛x｜x2＋1＝0，x∈r｝＝．
注：對於無限集，不宜採用列舉法．
三、解釋應用［例題］
1. 用適當的方法表示下列集合．
（1）由1，2，3這三個數字抽出一部分或全部數字（沒有重複）所組成的一切自然數．
（2）平面內到乙個定點o的距離等於定長l（l＞0）的所有點p．
（3）在平面a內，線段ab的垂直平分線．（4）不等式2x－8＜2的解集．
2. 用不同的方法表示下列集合．
（1）｛2，4，6，8｝．（2）｛x｜x2＋x－1＝0｝．
（3）｛x∈n｜3＜x＜7｝．
3. 已知a＝｛x∈n｜66－x∈n｝．試用列舉法表示集合a．
（a＝｛0，3，5｝）
4. 用描述法表示在平面直角座標中第一象限內的點的座標的集合．
［練習］
1. 用適當的方法表示下列集合．
（1）構成英語單詞mathematics（數字）的全體字母．
（2）在自然集內，小於1000的奇數構成的集合．（3）矩形構成的集合．
2. 用描述法表示下列集合．
（1）｛3，9，27，81，…｝．（2）
四、拓展延伸
把下列集合「翻譯」成數學文字語言來敘述．
（1）｛（x，y）｜y＝x2＋1，x∈r｝．
（2）｛y｜y＝x2＋1，x∈r｝．
（3）｛（x，y）｜y＝x2＋1，x∈r｝．
（4）｛x｜y＝x2＋1，y∈n*｝．
點評這篇案例注重新、舊知識的聯絡與過渡，以舊引新，從學生的原有知識、經驗出發，創設問題情境；從例項引出集合的概念，再結合例項讓學生進一步理解集合的概念，掌握集合的表示方法．非常注重例項的使用是這篇案例的突出特點．這樣做，通俗易懂，使學生便於學習和掌握．例題、練習由淺入深，對培養學生的理解能力、表達能力、思維能力大有裨益．拓展延伸注重數學語言的轉化和訓練，注重區分形似而質異的數學問題，加強了學生對數學概念的理解和認識．
2 集合之間的關係教材分析
集合之間的關係是集合運算的基礎和前提，是用集合觀點理清集合之間內在聯絡的橋梁和工具．這節內容是對集合的基本概念的深化，延伸，首先通過模擬、例項引出子集的概念，再結合例項加以說明，然後通過例項說明子集包括真子集和兩集合相等兩種情況．這節內容的教學重點是子集的概念，教學難點是弄清元素與子集、屬於與包含之間的區別．
教學目標
1. 通過對子集概念的歸納、抽象和概括，體驗數學概念產生和形成的過程，培養學生的抽象、概括能力．
2. 了解集合的包含、相等關係的意義，理解子集、真子集的概念，培養學生對數學的理解能力．
3. 通過對集合之間的關係即子集的學習，初步體會數學知識發生、發展、運用的過程，培養學生的科學思維方法．
任務分析
這節內容是在學生已經掌握了集合的概念和表示方法以及兩個實數之間有大小關係的基礎上，進一步學習和研究兩個集合之間的關係，採用從例項入手，由具體到抽象，由特殊到一般，再由抽象、一般到具體、特殊的方法，知識的產生、發生比較自然，易於學習、接受和掌握；採用分類討論的方法闡述子集包括真子集、等集（兩集合相等）兩種情況，這可以使學生更好地認識子集、真子集、等集三者之間的內在聯絡．
教學設計
一、問題情境1. 元素與集合之間的關係是什麼？
元素與集合是從屬關係，即對乙個元素x是某集合a中的元素時，它們的關係為x∈a．若乙個物件x不是某集合a中的元素時，它們的關係為xa．
2. 集合有哪些表示方法？列舉法，描述法，venn圖法．
數與數之間存在著大小關係，那麼，兩個集合之間是不是也存在著類似的關係呢？先看下面兩個集合：a＝｛1，2，3｝，b＝｛1，2，3，4，5｝．它們之間有什麼關係呢？
二、建立模型
1. 引導學生分析討論
集合a中的任何乙個元素都是集合b中的元素．
集合b中的元素4，5不是集合a中的元素．
2. 與學生共同歸納，明晰子集的定義
對於上述問題，教師點撥，a是b的子集，b不是a的子集．
子集：對於兩個集合a，b，如果集合a中的任何乙個元素都是集合b中的元素，即集合a包含於集合b，或集合b包含集合a，記作ab（或ba），就說集合a是集合b的子集．
用符號語言可表示為：如果任意元素x∈a，都有x∈b，那麼ab．規定：空集是任何集合的子集，即對於任意乙個集合a，有a．
3. 提出問題，組織學生討論
給出三個集合：a＝｛1，2，3｝，b＝｛1，2，3，4，5｝，c＝｛1，2，3｝．
（1）a是b的子集嗎？b是a的子集嗎？
（2）a是c的子集嗎？c是a的子集嗎？
4. 教師給出真子集與兩集合相等的定義
上述問題中，集合a是集合b的子集，並且集合b中有元素不屬於集合a，這時，我們就說集合a是集合b的真子集；集合a是集合c的子集，且集合a與集合c的元素完全相同，這時，我們就說集合a與集合c相等．真子集：如果集合a是集合b的子集，即ab，並且b中至少有乙個元素不屬於集合a，那麼集合a叫作集合b的真子集，記作ab或ba．ab的venn圖為兩集合相等：如果集合a中的每乙個元素都是集合b中的元素，即ab，反過來，集合b的每乙個元素也都是集合a 中的元素，即ba，那麼就說集合a等於集合b，記作a＝b．a＝b的venn圖為
思考：設a，b是兩個集合，ab，ab，a＝b三者之間的關係是怎樣的？
5. 子集、真子集的有關性質由子集、真子集的定義可推知：
（1）對於集合a，b，c，如果ab，bc，那麼ac．
（2）對於集合a，b，c，如果ab，bc，那麼ac．（3）aa．
（4）空集是任何非空集合的真子集．
三、解釋應用［例題］1. 用適當的符號（∈，，＝，，）填空．
（1）31，2，3｝．（2）55｝．
（3）45｝．（4）｛aa，b，c｝．
（5）06）｛a，b，cb，c｝．
（70｝．（8
（9）｛1，22，1｝．
1集合的概念及表示方法學生用
集合的含義與表示 一 教學目標 1 通過例項，了解集合的含義，體會元素與集合的理解集合 屬於 關係 2 能選擇自然語言 圖形語言 集合語言 列舉法或描述法 描述不同的具體問題，感受集合語言的意義和作用 二 教學重難點 教學重點 集合的基本概念與表示方法.教學難點 選擇恰當的方法表示一些簡單的集合.三...
112集合的表示方法
1.1.2集合的表示方法 教學目標 掌握集合的表示方法，能選擇自然語言 圖形語言 集合語言描述不同的問題.教學重點 難點 用列舉法 描述法表示乙個集合.教學過程 一 複習引入 1 回憶集合的概念 2 集合中元素有那些性質？3 空集 有限集和無限集的概念 二 講述新課 集合的表示方法 1 大寫的字母表...
2集合的表示方法
一 學習目標 掌握常用的集合表示方法，能選擇自然語言 圖形語言 集合語言描述不同的具體問題。學習重點 集合的表示方法 難點 集合的特徵性質的概念，以及運用特徵性質描述法表示集合 二 學習過程 自主學習 閱讀課本第5 6頁，完成下列問題。一 列舉法 1 列舉法的定義是什麼？2 用列舉法表示下列集合 1...