單元總結
一、知識結構網路圖
二、基本內容總結
1、關於集合的概念
（1）集合的概念
一般地，我們把研究物件統稱為元素，如1～20以內的所有質數，包括2，3，5，7，11，13，17，19，則13是我們所要研究的物件，它是其中的乙個元素。把一些元素組成的整體叫做集合，如上述2，3，5，7，11，13，17，19就組成了乙個集合。
元素與集合的關係有且只有兩種：屬於（用符號表示）和不屬於（用符號表示），如aa，ab等。
（2）集合中元素的特徵
①確定性：作為乙個集合的元素，必須是確定的。這就是說，不確定的物件就不能構成集合。
②互異性：對於乙個給定的集合，集合中的元素一定是不同的（或者說是互異的）。即集合中的任何兩個元素都是不同的物件，相同的物件歸入同一集合時只能算作集合的乙個元素。
③無序性：組成集合的元素沒有次序，如集合和表示同乙個集合。
（3）集合的分類
集合可以根據它含有的元素個數的多少分為兩類：
有限集：含有有限個元素的集合無限集：含有無限個元素的集合。
特別地，我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作，空集歸入有限集。
2、關於子集的理解
（1）子集的概念是由討論集合與集合間的關係引出的，兩個子集a與b之間的關係如下：
其中記號（或b）表示集合a不包含於集合b（或集合b不包含集合a）。
（2）子集具有以下性質：
①，即任何乙個集合都是它本身的子集如果，那麼。
③如果a，那麼ac如果ab，bc，那麼ac。
（3）包含的定義也可以表述成：如果由任意xa，可以推出xb，那麼）。
不包含的定義也可以表述成：對於兩個集合a與b，如果集合a中存在至少乙個元素不是集合b的元素，那麼。
（4）有限集合的子集個數：
n個元素的集合有個子集；②n個元素的集合有個真子集；③n個元素的集合有個非空子集；④n個元素的集合有個非空真子集。
3、關於集合的運算
（1）用定義求兩集合的交集與並集時，要注意「或」、「且」的意義，「或」是兩者皆可的意思，「且」是兩者都有的意思，在使用時不要混淆。
（2）用venn圖表示交集與並集
已知集合a與b，用陰影部分表示，如圖所示。
（3）關於交集、並集的有關性質及結論歸納如下：
①。②。
③；。④。
（4）全集與補集
它們是相互依存不可分離的兩個概念。把我們所研究的各個集合的全部元素看成乙個集合，則稱之為全集。而補集則是在時，由所有不屬於a但屬於s的元素組成的集合，記作。
數學表示式：若，則s中子集a的補集為。
（5）補集與全集的性質
4、關於函式的概念
定義：設a、b是非空的數集，如果按照某個確定的對應法則f，使對於集合a中的任意乙個數x，在集合b中都有唯一確定的數和它對應，那麼就稱f：a→b為從集合a到集合b的乙個函式，記作，，x叫做自變數，x的取值範圍叫做函式的定義域，自變數對應的函式值的集合叫做函式的值域。
三要素：定義域、值域和對應法則成為函式的三要素，其中定義域、對應法則確定後，值域隨之確定。
（2）函式的定義域
寒素的定義域是自變數x的取值範圍，它是構成函式的重要組成部分，如果沒有標明定義域，則認為定義域是使函式解析式有意義的或使實際問題有意義的x的取值範圍，但要注意，在實際問題中，定義域要受到實際意義的制約。函式的定義域是使函式有意義的自變數的取值集合，其考查題型主要有以下幾種型別：
①已知的函式表示式，求定義域；
②已知的定義域，求的定義域，其實質是由的取值範圍，求出x的取值範圍；
③已知的定義域，求的定義域，其實質是由x的取值範圍，求出的取值範圍。
（3）函式的值域
依函式定義，自變數x在對應法則f下取值的集合叫做函式的值域。
函式值域的求法：
①與二次函式有關的函式，可用配方法（注意定義域）；
②形如的形式，可用換元法。即設，轉化成二次函式再求值域（注意）；
③形如y（c0）型的函式可借助反比例函式求其值域，或用後面學到的反函式法求值域，這種函式的值域為。
④形如y（a、m中至少有乙個不為零）的函式求值域，可用判別式法求值域。
5、關於函式的單調性
（1）設函式的定義域是m，區間d是m的乙個子集，若對於任意，當時，恒有成立，則稱在區間d上是單調遞增函式。
（2）設函式的定義域是m，區間d是m的乙個子集，若對於任意，當時，恒有成立，則稱在區間d上是單調遞減函式。
（3）單調區間
單調遞增函式與單調遞減函式統稱為單調函式。若在區間d上為單調函式，則稱d是這個函式的單調區間。
與函式單調性有關的問題主要有：由函式單調性定義判斷或證明某一函式在乙個區間內的單調性；通過圖象或運用復合函式的單調性原理求函式的單調區間；應用函式的單調性證明不等式、比較數的大小、判斷某些方程是跟的個數等。
6、關於函式的奇偶性
（1）若乙個函式具有奇偶性，則它的定義域一定關於原點對稱，如果乙個函式的定義域不關於原點對稱，那麼它就失去了是奇函式或偶函式的條件，即這個函式既不是奇函式，也不是偶函式。
（2）若奇函式的定義域內有零，那麼由奇函式定義可以知道。
（3）奇、偶函式圖象的特點
如果乙個函式是奇函式，則這個函式的圖象是以座標原點為對稱中心的中心對稱圖形；反之，如果乙個函式的圖象是以座標原點為對稱中心的中心對稱圖形，則這個函式是奇函式。
如果乙個函式是偶函式，則這個函式的圖象是以y軸為對稱軸的軸對稱圖形；反之，如果乙個函式的圖象是以y軸為對稱軸的軸對稱圖形，則這個函式是偶函式。
三、基本思想總結
1、函式的思想
（1）建構函式求最值
例題1 已知，求代數式的最值。
（2）建構函式解方程或不等式
例題2 ①解方程；②解不等式。
（3）利用函式討論一元二次方程根的分布
例題3 已知關於x的方程的兩實根乙個小於1，另乙個大於1，求實數k的取值範圍。
（4）利用函式的單調性解題
例題4 設，且它們的絕對值都不大於1，求證：。
2、數形結合的思想
例題5 設全集，若，，，求a、b。
例題6 設，。已知，，試求a，b的值。
例題7 對於任意， x，中的較大者，則的最小值是
3、分類討論思想
例題8 已知函式在內的最小值為，求的解析式。
例題9 奇函式的定義域為r，且在上為增函式，問：是否存在m使對任意均成立？若存在，求出m的取值範圍，若不存在，說明理由。
例題10
已知函式對一切x，yr，都有。若，請用a表示。
新典型題分類
型別一集合的相關運算
例題1 數集a滿足條件：若，則，。
（1）自己設計乙個數屬於a，然後求出a中其他所有元素；（2）從第（1）小題中，你能發現什麼規律？
例題2 已知全集，，，，求集合m和l。
例題3 高一（2）班共有50名同學，參加物理競賽的同學有36名，參加數學競賽的同學有39名，且已知有5名同學兩科競賽都沒有參加，問：只參加數學競賽不參加物理競賽的同學有多少名？
例題4 已知集合，，若，求實數m的取值範圍。
例題5 已知集合，，。若，，求a、b的值或取值範圍。
例題6 設集合，，。問是否存在自然數k、b，是？證明你的結論。
例題7 已知整數集合，，其中，且，，的所有元素之和為124，求a。
型別二函式的性質及其應用
例題8 討論函式（a）在（2，+）上的單調性。
例題9 對於函式= ，若存在實數，使成立，則稱為的不動點。
（1）當時，求的不動點；
（2）若對於任何實數b，函式恒有兩個不相等的不動點，求實數a的取值範圍。
例題10
已知函式，。
（1）當a時，求函式的最小值；（2）若對任意，恆成立，試求實數a的取值範圍。
型別三函式的圖象及其應用
例題11
（1）如圖甲所示，給出奇函式的區域性圖象，試作出它的y軸右側的圖象並求出的值。
（2）如圖乙所示，給出偶函式的區域性圖象。比較與的大小，並試作出它的y軸右側的圖象。
例題12
設奇函式的定義域為，若當時，的圖象如圖所示，求不等式的解。
例題13
若函式是定義在r上的偶函式，在上是減函式，且，則使得的x的取值範圍是
ab、 c、 d、
例題14
在r上定義的函式是偶函式，且。若在區間是減函式，則
a、在區間上是增函式，在區間上是增函式
b、在區間上是增函式，在區間上是減函式
c、在區間上是減函式，在區間上是增函式
d、在區間上是減函式，在區間上是減函式
例題15
已知=，（1）作出函式的圖象；（2）求函式的單調區間，並指出函式的單調性；（3）求集合。
例題16
求函式在上的最大值。
集合與函式概念小結
教學目標 知識目標 梳理集合和函式概念基本知識結構，形成整體的認識，對所學的知識系統化 能力目標 用例項幫助學生進一步理解集合的有關術語和符號，通過正例和反例理解函式的概念和基本性質 情感態度價值觀 指導學生會用函式思想 數形結合思想 特殊與一般的思想等來思考和解決問題 教學重點 集合與函式概念的知...
集合與函式的概念
集合和函式的概念複習題 一 選擇題 1 下列各物件可以組成集合的是 a 與1非常接近的全體實數 b 2012年某校高一學生的全體c 高一年級視力比較好的同學 d 與無理數相差很小的全體實數2 下列六個關係式 其中正確的個數為 a 6個 b 5個 c 4個 d 少於4個 3 已知集合，則下列式子表示正...
1集合的概念與運算
一 高考要求 1理解集合 子集 補集 交集 並集的概念 了解屬於 包含 相等關係的意義 2掌握有關的術語和符號，並會用它們正確的表示一些簡單的集合 二 知識梳理 1 集合的定義 一組物件的全體形成乙個集合 2 集合的特徵 3 集合的表示法 列舉法 描述法韋恩圖 4 集合的分類 5 特殊數集 自然數集...