第一章集合與函式概念
一、集合有關概念
1、集合的含義:某些指定的物件集在一起就成為乙個集合,其中每乙個物件叫元素。
2、集合的中元素的三個特性:
1.元素的確定性; 2.元素的互異性; 3.元素的無序性
說明:(1)對於乙個給定的集合,集合中的元素是確定的,任何乙個物件或者是或者不是這個給定的集合的元素。
(2)任何乙個給定的集合中,任何兩個元素都是不同的物件,相同的物件歸入乙個集合時,僅算乙個元素。
(3)集合中的元素是平等的,沒有先後順序,因此判定兩個集合是否一樣,僅需比較它們的元素是否一樣,不需考查排列順序是否一樣。
(4)集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。
3、集合的表示: 如,
1. 用拉丁字母表示集合:a=,b=
2.集合的表示方法:列舉法與描述法和自然語言法。
注意啊:常用數集及其記法:
非負整數集(即自然數集)記作:n
正整數集 n*或 n+ 整數集z 有理數集q 實數集r
關於「屬於」的概念
集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示,如:a是集合a的元素,就說a屬於集合a 記作 a∈a ,相反,a不屬於集合a 記作 aa
列舉法:把集合中的元素一一枚舉出來,然後用乙個大括號括上。
描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號內表示集合的方法。用確定的條件表示某些物件是否屬於這個集合的方法。
①語言描述法:例:
②數學式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是或
4、集合的分類:
1.有限集含有有限個元素的集合
2.無限集含有無限個元素的集合
3.空集不含任何元素的集合例: b= 「元素相同」
結論:對於兩個集合a與b,如果集合a的任何乙個元素都是集合b的元素,同時,集合b的任何乙個元素都是集合a的元素,我們就說集合a等於集合b,即:a=b
① 任何乙個集合是它本身的子集。aa
②真子集:如果ab,且a b那就說集合a是集合b的真子集,記作a b(或b a)
③如果 ab, bc ,那麼 ac
④ 如果ab 同時 ba 那麼a=b
3. 不含任何元素的集合叫做空集,記為φ
規定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的運算
1.交集的定義:一般地,由所有屬於a且屬於b的元素所組成的集合,叫做a,b的交集.
記作a∩b(讀作」a交b」),即a∩b=.
2、並集的定義:一般地,由所有屬於集合a或屬於集合b的元素所組成的集合,叫做a,b的並集。記作:a∪b(讀作」a並b」),即a∪b=.
3、交集與並集的性質:a∩a = a, a∩φ= φ, a∩b = b∩a,a∪a = a,
a∪φ= a ,a∪b = b∪a.
4、全集與補集
(1)補集:設s是乙個集合,a是s的乙個子集(即 ),由s中所有不屬於a的元素組成的集合,叫做s中子集a的補集(或餘集)
二、函式的有關概念
1.函式的概念:設a、b是非空的數集,如果按照某個確定的對應關係f,使對於集合a中的任意乙個數x,在集合b中都有唯一確定的數f(x)和它對應,那麼就稱f:a→b為從集合a到集合b的乙個函式.記作:
y=f(x),x∈a.其中,x叫做自變數,x的取值範圍a叫做函式的定義域;與x的值相對應的y值叫做函式值,函式值的集合叫做函式的值域.
注意:2如果只給出解析式y=f(x),而沒有指明它的定義域,則函式的定義域即是指能使這個式子有意義的實數的集合;3 函式的定義域、值域要寫成集合或區間的形式.
定義域補充
能使函式式有意義的實數x的集合稱為函式的定義域,求函式的定義域時列不等式組的主要依據是:
(1)分式的分母不等於零;
(2)偶次方根的被開方數不小於零;
構成函式的三要素:定義域、對應關係和值域
再注意:(1)構成函式三個要素是定義域、對應關係和值域.由於值域是由定義域和對應關係決定的,所以,如果兩個函式的定義域和對應關係完全一致,即稱這兩個函式相等(或為同一函式)
(2)兩個函式相等當且僅當它們的定義域和對應關係完全一致,而與表示自變數和函式值的字母無關。
(3)相同函式的判斷方法:①表示式相同;②定義域一致 (兩點必須同時具備)
3. 函式圖象知識歸納
(1)定義:在平面直角座標系中,以函式 y=f(x) , (x∈a)中的x為橫座標,函式值y為縱座標的點p(x,y)的集合c,叫做函式 y=f(x),(x ∈a)的圖象.
c上每一點的座標(x,y)均滿足函式關係y=f(x),反過來,以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為座標的點(x,y),均在c上 . 即記為c=
圖象c一般的是一條光滑的連續曲線(或直線),也可能是由與任意平行與y軸的直線最多只有乙個交點的若干條曲線或離散點組成。
(3)作用:
1、直觀的看出函式的性質;2、利用數形結合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。
發現解題中的錯誤。
4.了解區間的概念
(1)區間的分類:開區間、閉區間、半開半閉區間;
(2)無窮區間;
(3)區間的數軸表示.
函式圖象既可以是連續的曲線,也可以是直線、折線、離散的點等等,注意判斷乙個圖形是否是函式圖象的依據;2 解析法:必須註明函式的定義域;3 圖象法:描點法作圖要注意:
確定函式的定義域;化簡函式的解析式;觀察函式的特徵;4 列表法:選取的自變數要有代表性,應能反映定義域的特徵.
解析法:便於算出函式值。
列表法:便於查出函式值。
圖象法:便於量出函式值
5.函式單調性
(1).增函式
設函式y=f(x)的定義域為i,如果對於定義域i內的某個區間d內的任意兩個自變數x1,x2,當x1如果對於區間d上的任意兩個自變數的值x1,x2,當x1注意:1 函式的單調性是在定義域內的某個區間上的性質,是函式的區域性性質;
2 必須是對於區間d內的任意兩個自變數x1,x2;當x1(2) 圖象的特點
如果函式y=f(x)在某個區間是增函式或減函式,那麼說函式y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性,在單調區間上增函式的圖象從左到右是上公升的,減函式的圖象從左到右是下降的.
(3).函式單調區間與單調性的判定方法
(a) 定義法:
1 任取x1,x2∈d,且x1(b)圖象法(從圖象上看公升降)_
注意:1、函式的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其並集. 2、還記得我們在選修裡學習簡單易行的導數法判定單調性嗎?
8.函式的奇偶性
(1)偶函式
一般地,對於函式f(x)的定義域內的任意乙個x,都有f(-x)=f(x),那麼f(x)就叫做偶函式.
(2).奇函式
一般地,對於函式f(x)的定義域內的任意乙個x,都有f(-x)=—f(x),那麼f(x)就叫做奇函式.
注意:1 函式是奇函式或是偶函式稱為函式的奇偶性,函式的奇偶性是函式的整體性質;函式可能沒有奇偶性,也可能既是奇函式又是偶函式。
2 由函式的奇偶性定義可知,函式具有奇偶性的乙個必要條件是,對於定義域內的任意乙個x,則-x也一定是定義域內的乙個自變數(即定義域關於原點對稱).
(3)具有奇偶性的函式的圖象的特徵
偶函式的圖象關於y軸對稱;奇函式的圖象關於原點對稱.
函式定義域關於原點對稱是函式具有奇偶性的必要條件.首先看函式的定義域是否關於原點對稱,若不對稱則函式是非奇非偶函式.若對稱,(1)再根據定義判定; (2)有時判定f(-x)=±f(x)比較困難,可考慮根據是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判定; (3)利用定理,或借助函式的圖象判定 .
9、函式的解析表示式
(1).函式的解析式是函式的一種表示方法,要求兩個變數之間的函式關係時,一是要求出它們之間的對應法則,二是要求出函式的定義域.
(2).求函式的解析式的主要方法有:待定係數法、換元法、消參法等,如果已知函式解析式的構造時,可用待定係數法;已知復合函式f[g(x)]的表示式時,可用換元法,這時要注意元的取值範圍;當已知表示式較簡單時,也可用湊配法;若已知抽象函式表示式,則常用解方程組消參的方法求出f(x)
10.函式最大(小)值
1 利用二次函式的性質(配方法)求函式的最大(小)值2 利用圖象求函式的最大(小)值3 利用函式單調性的判斷函式的最大(小)值:如果函式y=f(x)在區間[a,b]上單調遞增,在區間[b,c]上單調遞減則函式y=f(x)在x=b處有最大值f(b);如果函式y=f(x)在區間[a,b]上單調遞減,在區間[b,c]上單調遞增則函式y=f(x)在x=b處有最小值f(b);
高一數學集合與函式概念知識點總結
關於高一數學集合與函式概念知識點總結,學習高一數學必修一集合是其中的乙個重要知識點,同學們應該重視這部分知識的學習。集合集合具有某種特定性質的事物的總體。這裡的事物可以是人,物品,也可以是數學元素。例如 1 分散的人或事物聚集到一起 使聚集 緊急 2 數學名詞。一組具有某種共同性質的數學元素 有理數...
高考總複習集合與函式概念知識點及習題
第一章集合與函式概念 知識網路 第一講集合 知識梳理 一 集合的含義及其關係 1.集合中的元素具有的三個性質 確定性 無序性和互異性 2.集合的3種表示方法 列舉法 描述法 韋恩圖 3.集合中元素與集合的關係 4.常見集合的符號表示 二 集合間的基本關係 三 集合的基本運算 兩個集合的交集 兩個集合...
高一數學知識點歸納 集合與函式概念
集合 集合具有某種特定性質的事物的總體。這裡的 事物 可以是人,物品,也可以是數學元素。例如 1 分散的人或事物聚集到一起 使聚集 緊急 2 數學名詞。一組具有某種共同性質的數學元素 有理數的 3 口號等等。集合在數學概念中有好多概念,如集合論 集合是現代數學的基本概念,專門研究集合的理論叫做集合論...