第一章集合與函式概念
知識網路
第一講集合
★知識梳理
一：集合的含義及其關係
1.集合中的元素具有的三個性質:確定性、無序性和互異性;
2.集合的3種表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖；
3.集合中元素與集合的關係：
4.常見集合的符號表示
二： 集合間的基本關係
三：集合的基本運算
①兩個集合的交集:= ;
②兩個集合的並集: =;
③設全集是u,集合,則
方法:常用數軸或韋恩圖進行集合的交、並、補三種運算.
★重、難點突破
重點：集合元素的特徵、集合的三種表示方法、集合的交、並、補三種運算。
難點：正確把握集合元素的特徵、進行集合的不同表示方法之間的相互轉化，準確進行集合的交、並、補三種運算。
重難點：
1.集合的概念
掌握集合的概念的關鍵是把握集合元素的三大特性，要特別注意集合中元素的互異性，
在解題過程中最易被忽視，因此要對結果進行檢驗；
2．集合的表示法
（1）列舉法要注意元素的三個特性；（2）描述法要緊緊抓住代表元素以及它所具有的性質，如、、等的差別，如果對集合中代表元素認識不清，將導致求解錯誤：
問題：已知集合
a. ；b. ；c. ；d.
[錯解]誤以為集合表示橢圓，集合表示直線，由於這直線過橢圓的兩個頂點，於是錯選b
[正解] c； 顯然，，故
(3)venn圖是直觀展示集合的很好方法，在解決集合間元素的有關問題和集合的運算時常用venn圖。
3．集合間的關係的幾個重要結論
（1）空集是任何集合的子集，即
（2）任何集合都是它本身的子集，即
（3）子集、真子集都有傳遞性，即若，，則
4．集合的運算性質
（1）交集
（2）並集
（3）交、並、補集的關係
①；②；
★熱點考點題型探析
考點一：集合的定義及其關係
題型1：集合元素的基本特徵
[例1]（2023年江西理）定義集合運算：．設
，則集合的所有元素之和為（ ）
a．0；b．2；c．3；d．6
[解題思路]根據的定義，讓在中逐一取值，讓在中逐一取值，在值就是的元素
[解析]：正確解答本題,必需清楚集合中的元素，顯然，根據題中定義的集合運算知=，故應選擇d
【名師指引】這類將新定義的運算引入集合的問題因為背景公平，所以成為高考的乙個熱點，這時要充分理解所定義的運算即可，但要特別注意集合元素的互異性。
題型2：集合間的基本關係
[例2]．數集與之的關係是（ ）
a．；b．； c．；d．
[解題思路]可有兩種思路：一是將和的元素列舉出來，然後進行判斷；也可依選擇支之間的關係進行判斷。
[解析] 從題意看，數集與之間必然有關係，如果a成立，則d就成立，這不可能；
同樣，b也不能成立；而如果d成立，則a、b中必有乙個成立，這也不可能，所以只能是c
【名師指引】新定義問題是高考的乙個熱點，解決這類問題的辦法就是嚴格根據題中的定義，逐個進行檢驗，不方便進行檢驗的，就設法舉反例。
[新題導練]
1．第二十九屆夏季奧林匹克運動會將於2023年8月8日在北京舉行，若集合a=，集合b=，集合c=，則下列關係正確的是（ ）
a． b. c. d.
[解析] d；因為全集為，而=全集=
2．(2006山東改編）定義集合運算:,設集合,,則集合的所有元素之和為
[解析]18，根據的定義，得到，故的所有元素之和為18
3．(2007·湖北改編）設和是兩個集合，定義集合，如果，,那麼等於
[解析] ；因為，，所以
4．研究集合，，之間的關係
[解析] 與，與都無包含關係，而；因為表示
的定義域，故；表示函式的值域，；表示曲線上的點集，可見，，而與，與都無包含關係
考點二：集合的基本運算
[例3] 設集合，
（1） 若，求實數的值；
（2）若，求實數的取值範圍若，
[解題思路]對於含引數的集合的運算，首先解出不含引數的集合，然後根據已知條件求引數。
[解析]因為，
（1）由知，，從而得，即
，解得或
當時，，滿足條件；
當時，，滿足條件
所以或（2）對於集合，由
因為，所以
①當，即時，，滿足條件；
②當，即時，，滿足條件；
③當，即時，才能滿足條件，
由根與係數的關係得，矛盾
故實數的取值範圍是
【名師指引】對於比較抽象的集合，在**它們的關係時，要先對它們進行化簡。同時，要注意集合的子集要考慮空與不空,不要忘了集合本身和空集這兩種特殊情況.
[新題導練]
6．若集合，，則是（ ）
a. ；b. ；c.；d. 有限集
[解析] a；由題意知，集合表示函式的值域，故
集合；表示函式的值域，
，故7．已知集合，，那麼集合為（ ）a.；b.；c.；d.
[解析]d；表示直線與直線的交點組成的集合，a、b、c均不合題意。
8．集合,,且,求實數的值.
[解析] ；先化簡b得, .由於,故或.
因此或,解得或.
容易漏掉的一種情況是: 的情形,此時.
故所求實數的值為.
備選例題1：已知，，則中的元素個數是（ ）
a. ；b. ；c.；d.無窮多個
[解析]選a;集合表示函式的值域,是數集,並且,而集合表示滿足
的有序實數對的集合,即表示圓上的點,是點集。所以，集合與集合中的元素均不相同，因而，故其中元素的個數為0
[誤區分析]在解答過程中易出現直線與圓有兩個交點誤選c；或者誤認為中，而中，從而有無窮多個解而選d。注意，明確集合中元素的屬性（是點集還是數集）是準確進行有關集合運算的前提和關鍵。
備選例題2：已知集合和集合各有12個元素，含有4個元素，試求同時滿足下面兩個條件的集合的個數：
(ⅰ)，且中含有3個元素；
(ⅱ)（表示空集）
[解法一]因為、各有12個元素，含有4個元素，
因此，的元素個數是
故滿足條件(ⅰ)的集合的個數是
上面集合中，還滿足的集合的個數是
因此，所求集合的個數是
[解法二]由題目條件可知，屬於而不屬於的元素個數是
因此，在中只含有中1個元素的所要求的集合的個數為
含有中2個元素的所要求的集合的個數為
含有中3個元素的所要求的集合的個數為
所以，所求集合的個數是
★搶分頻道
基礎鞏固訓練：
1． （09年吳川市川西中學09屆第四次月考）設全集
, 則右圖中陰
影部分表示的集合為 ( )
a．；b．；c．；d．
[解析]c；圖中陰影部分表示的集合是，而，故
2. （韶關09屆高三摸底考）已知則=
a．；b．；c．；d．
[解析] a；因為，，所以
3. （蘇州09屆高三調研考）集合的所有子集個數為
[解析]8；集合的所有子集個數為
4.（09年無錫市高三第一次月考）集合中的代表元素設為，集合中的代表元素設為，若且，則與的關係是
[解析] 或；由子集和交集的定義即可得到結論
5．(2023年天津)設集合，則的取值範圍是（ ）
a．；b．
c．或；d．或
[解析]a；，，
所以，從而得
綜合提高訓練：
6．,則下列關係中立的是( )
a．; b．;c．;d．
[解析]a；當時，有，即
；當時，也恆成立，故
，所以7.設，，，記
，，則＝( )
a. ; b.; c. ; d.
[解析] a；依題意得，，所以，
，故應選a
8．（09屆惠州第一次調研考）設a、b是非空集合，定義
，已知a=，b=，
則a×b等於（ ）
a．；b．；c．；d．
[解析]d；，∴a=[0，2]，，∴b=（1，＋∞），
∴a∪b=[0, ＋∞），a∩b=（1，2]，則a×b＝
第2講函式與對映的概念
★知識梳理
1．函式的概念
(1)函式的定義：
設是兩個非空的數集，如果按照某種對應法則，對於集合中的每乙個數，在集合中都有唯一確定的數和它對應，那麼這樣的對應叫做從到的乙個函式，通常記為
(2)函式的定義域、值域
在函式中，叫做自變數，的取值範圍叫做的定義域；與的值相對應的值叫做函式值，函式值的集合稱為函式的值域。
(2)函式的三要素：定義域、值域和對應法則
2．對映的概念
設是兩個集合，如果按照某種對應法則，對於集合中的任意元素，在集合中都有唯一確定的元素與之對應，那麼這樣的單值對應叫做從到的對映，通常記為
★重、難點突破
重點：掌握對映的概念、函式的概念，會求函式的定義域、值域
難點：求函式的值域和求抽象函式的定義域
重難點：1．關於抽象函式的定義域
求抽象函式的定義域，如果沒有弄清所給函式之間的關係，求解容易出錯誤
問題1：已知函式的定義域為，求的定義域
[誤解]因為函式的定義域為，所以，從而
故的定義域是
[正解]因為的定義域為，所以在函式中，，
從而，故的定義域是
即本題的實質是求中的範圍
問題2：已知的定義域是，求函式的定義域
[誤解]因為函式的定義域是，所以得到，從而
，所以函式的定義域是
[正解]因為函式的定義域是，則，從而
所以函式的定義域是
即本題的實質是由求的範圍
即與中含義不同
2． 求值域的幾種常用方法
（1）配方法：對於（可化為）「二次函式型」的函式常用配方法，如求函式，可變為解決
（2）基本函式法：一些由基本函式復合而成的函式可以利用基本函式的值域來求，如函式就是利用函式和的值域來求。
（3）判別式法：通過對二次方程的實根的判別求值域。如求函式的值域
由得，若，則得，所以是函式值域中的乙個值；若，則由得，故所求值域是
（4）分離常數法：常用來求「分式型」函式的值域。如求函式的值域，因為
，而，所以，故
（5）利用基本不等式求值域：如求函式的值域
當時，；當時，，若，則
若，則，從而得所求值域是
（6）利用函式的單調性求求值域：如求函式的值域
因，故函式在上遞減、在上遞增、在上遞減、在上遞增，從而可得所求值域為
（7）圖象法：如果函式的圖象比較容易作出，則可根據圖象直觀地得出函式的值域（求某些分段函式的值域常用此法）。
集合與函式概念知識點總結
第一章集合與函式概念 一 集合有關概念 1 集合的含義 某些指定的物件集在一起就成為乙個集合，其中每乙個物件叫元素。2 集合的中元素的三個特性 1.元素的確定性 2.元素的互異性 3.元素的無序性 說明 1 對於乙個給定的集合，集合中的元素是確定的，任何乙個物件或者是或者不是這個給定的集合的元素。2...
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2012高一數學必修1各章知識點總結 第一章集合與函式概念 一 集合有關概念 1.集合的含義 2.集合的中元素的三個特性 1 元素的確定性如 世界上最高的山 2 元素的互異性如 由happy的字母組成的集合 3 元素的無序性 如 和是表示同乙個集合 3.集合的表示 如 1 用拉丁字母表示集合 a b...
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