一元二次方程及解法經典習題及解析
知識技能：
一、填空題：
1．下列方程中是一元二次方程的序號是
◆答案：
◆解析：判斷乙個方程是否是一元二次方程，要根據一元二次方程的定義，看是否同時符合條件
①含有乙個未知數；②未知數的最高次數是整式方程．若同時符合這三個條件的就是一元
次方程，否則缺一不可．其中方程②含兩個未知數，不符合條件①；方程⑥不是整式方程，lil不符合條件③；方程⑦中未知數的最高次數是3次，不符合條件②；方程⑧經過整理後；次項消掉，也不符合條件②．
2．已知，關於2的方程是一元二次方程，則
◆答案：
◆解析：方程既然是一元二次方程，必符合一元二次方程的定義，所以未知數
的最高次數是2，因此，二次項係數故
3．當時，方程不是關於x的一元二次方程．
◆答案：
◆解析：方程不是關於2的一元二次方程，則二次項係數
故4．解一元二次方程的一般方法有
◆答案：直接開平方法；配方法；公式法；因式分解法
5．一元二次方程的求根公式為
◆答案：
◆解析：此題不可漏掉的條件．
6．(2004·瀋陽市)方程的根是
◆答案：
◆解析：所以
7．不解方程，判斷一元二次方程的根的情況是
◆答案：有兩個不相等的實數根
◆解析：原方程化為
．『．原方程有兩個不相等的實數根．
8．(2004·錦州市)若關於x的方程有實數根，則k的取值範圍是
◆答案：
◆解析：『．．方程有實根，
9．已知：當時，方程有實數根．
◆答案：
◆解析：。．『方程有實數根．
10．關於x的方程的根的情況是 ．
◆答案：無實根
◆解析：
原方程無實根．
二、選擇題：
11．(2004·北京市海淀區)若a的值使得成立，則a的值為( )
a．5 8．4 c．3 d．2
◆答案：c
◆解析： 的值使得
故c正確．
12．把方程化為後，a、b、c的值分別為( )
◆答案：c◆解析：方程化為故故c正確．
13．方程的解是( )
=土1◆答案：c
◆解析：運用因式分解法得故故c正確．
14．(2006·廣安市)關於x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則k的取值
範圍是( )
且◆答案：d
◆解析：由題意知解得且
15．(2006·廣州市)一元二次方程的兩個根分別為( )
◆答案：c
16．解方程
較簡便的方法是( )
a．依次為：開平方法、配方法、公式法、因式分解法
b．依次為：因式分解法、公式法、配方法、直接開平方法
用直接開平方法，用公式法，③用因式分解法
用直接開平方法，②用公式法，用因式分解法
◆答案：d
17．(2004·雲南省)用配方法解一元二次方程則方程可變形為( )
◆答案：b
18．一元二次方程有兩個不相等的實數根，則k的取值範圍是( )
且且◆答案：b
◆解析：『．『方程有兩個不相等的實根
(1且故b正確．
19．下列方程中有兩個相等的實數根的方程是( )
◆答案：a
◆解析：只有a的判別式的值為零，故a正確．
20．(2004·大連市)一元二次方程的根的情況是( )
a．有乙個實數根b．有兩個相等的實數根
c．有兩個不相等的實數根 d．沒有實數根
◆答案：d
◆解析：方程沒有實數根，故d正確
21．下列命題正確的是( )
只有乙個實根有兩個不等的實根
c．方程有兩個相等的實根 d．方程無實根
◆答案：d
◆解析：a有兩根為有一根為有兩根為故d正確．
三、解答題：
22．(2006·浙江省)解方程
◆解：23．用因式分解法解方程：
◆解：(1)原方程化為
(3)原方程化為
24．解關於2的方程：
◆解析：解字母係數的一元二次方程時要注意區別字母係數與未知數；方程兩邊同時除以含字母
的代數式時，要考慮到分母不為零的條件，以保證除法有意義．
◆解：(1)原方程整理為或
(2)原方程化為或
25．不解方程，判別下列方程根的情況．
◆解：(1)原方程可化為
原方程有不相等兩實根；
原方程有不相等兩實根；
原方程有相等兩實根；
(4)原方程化為：
原方程無實根．
26．已知關於z的方程當k為何值時，
(1)方程有兩個不相等的實數根?
(2)方程有兩個相等的實數根?
(3)方程無實根?
◆解：當b2時，
當b2時，
當b2時，
當時，原方程有兩個不相等的實數根；
當時，原方程有兩個相等的實數根；
當時，原方程無實根．
27．已知：無實根，且a是實數，化簡
◆解：方程無實根
即解得當時，
28．k取何值時，方程有兩個相等的實數根?並求出這時方程的根．
◆解：根據題意，得
．當或時，原方程有兩個相等的實數根．
當時，方程為：
當時，方程為：
29．求證：關於2的方程有兩個不相等的實數根．
◆證明：
原方程有兩個不相等的實數根．
30．求證：無論k為何值，方程都沒有實數根．
◆證明：
．『．無論k為何值，方程都沒有實數根．
31．當是實數時，求證：方程必有兩個實數根，並求兩根相等的
條件．◆證明：
．『．方程必有兩個實數根，
當方程兩根相等時， 且且
．。．原方程兩根相等的條件是且
32．如果關於z的一元二次方程沒有實數根，求m的最小整數值．
◆解：原方程整理，得
『．。原方程無實數根
且的最小整數值為2．
綜合運用：
一、填空題：
33．方程是關於x的一元二次方程，則
◆答案：一3；1
◆解析：根據一元二次方程的定義可知:故且故
34．關於z的方程
(1)當時，這個方程是一元二次方程；
(2)當時，這個方程是一元一次方程．
◆答案：
◆解析：(1)原方程化為一般形式為當二次項係數時，
這個方程是一元二次方程，故
(2)當二次項係數時，此時二次項係數為零，而一次項係數恰好不為零，故
時這個方程是一元一次方程．
35．已知方程的根是則
◆答案：
◆解析：因為是方程的根，所以應適合於方程，把
代入方程得到關於k的一元一次方程，解得
二、選擇題：
36．(2004·郴州市)方程的左邊配成完全平方後所得方程為( )
d．以上答案都不對
◆答案：a
37．已知：關於2的方程有兩個實數根，則m的範圍為( )
且◆答案：b
◆解析：『．．方程有兩個實根．
一4mf 9解得且故b正確．
注意：不能丟掉的隱含條件．
38．已知a、b、c是的三條邊，且方程有兩個相等實數根，那
麼，這個三角形是( )
a．等邊三角形 b．等腰三角形
c．直角三角形 d．等腰直角三角形
◆答案b
◆解析：根據題意，得
或或故b正確．
注意：與之間是「或者」關係，不是「並且」關係，所以不能得到
39．(2004·海南省)已知關於2的方程有兩個不相等的實數根，那麼m的
最大整數值是( )
◆答案：c
◆解析：。．『方程有兩個不相等的實數根．
的最大整數值是0，故c正確．
三、解答題：
40．用因式分解法解下列方程：
◆解析：此題要注意運用換元的思想．
◆解：或解得
或解得:
或解得:
或解得:
41．解方程
◆解析：解含未知數絕對值的方程一般有兩種思路：一是設法填絕對值符號，把原方程化為關於
的一元二次方程，先求的值，再進一步求2的值；二是設法脫去絕對值符號，把原方程
化為關於z的一元二次方程，脫去絕對值符號的方法是要對2分類討論．
◆解法原方程可化為：
一±l或
◆解法二：當時，原方程左右兩邊的值不相等當時，原方程可化為
當時，原方程化為
42．(1)已知方程求證：或
(2)已知方程求證：或
◆證明：(1)原方程化為==+或
(2)原方程化為或
43．m為何值時，方程有兩個不相等的實數根?
◆解析：注意不可漏掉隱含條件
◆解：當且時，方程
有兩個不相等的實數根．
44．已知方程有實根，求m的取值範圍．
◆解析：注意討論一元一次方程和一元二次方程兩種情況．
◆解：根據題意得①當時即原方程為
②當時即有
的取值範圍是
45．若關於2的方程有兩個不相等的實數根，試化簡代數式
◆解析：注意負數的絕對值等於其相反數，當時，一31等於
◆解：當時原式
46、當m是什麼整數時，與的根都是整數?
◆解：。．．一元二次方程有整數根
①又。．。方程有整數根
由得：為整數
當時，方程的二次項係數為零，不合題意，捨去；
當時，方程為其根為
方程為其根為
當時，方程為其根不是整數；
．『．當時，關於2的一元二次方程與方程
的根都是整數．
47．求方程的實數解．
◆解：把原方程整理成關於2的二次方程，得
因為此方程有實數解，所以
又當時，原方程化為
．．．原方程的實數解為
48．設a、6、c為三角形的三條邊長．求證：方程無實根．
◆證明：
是三角形的三條邊，
原方程無實根．
49．若方程有兩個相等的實數根，且a、b、c是
的三條邊，求證：是等腰三角形．
◆證明：
是的三條邊
只能是等腰三角形．
50．設m、k為有理數，當k為何值時，關於z的方程
的根為有理數?
◆解：把原方程化為
要使方程的根為有理數，其判別式應為完全平方式，即關於m的二次三項式
所對應的方程有等根．因此它的判別式
即．』．當時，方程的根為有理數．
51、已知關於x的一元二次方程
(1)求證：方程有兩個不相等的實數根；
(2)設方程的兩根分別為z，，x。，且滿足求k的值
◆證明：又
．』．原方程有兩個不相等的實數根；
一元二次方程經典習題解析
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一元二次方程
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八年級數學 下 導學案 第8章 一元二次方程複習 1 設計人於敏 學習目標 1 理解一元二次方程的概念，知道一元二次方程的一般形式。2 會選擇適當的方法解一元二次方程。3 知道根的判別式與根與係數的關係，能根據它們解決簡單的問題。知識回顧 知識點一 一元二次方程的解及有關概念 常見題型 1 一元二次...